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高二数学数列专题练习题(含答案)


高中数学《数列》专题练习

an ? ? Sn 与 an 的关系: 1.
n ? 2 时, an =
2.等差等比数列 等差数列 定 义 通 项

(n ? 1) ? ? S1 , 已知 S n 求 an , 应分 n ? 1 时 a1 ? ? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 1)
两步,最后考虑 a1 是

否满足后面的 an .



等比数列

an ? an?1 ? d ( n ? 2 )
a n ? a1 ? (n ? 1)d , an ? am ? (n ? m)d ,(n ? m)

an?1 ? q(n ? N * ) an
, 如果 a, G, b 成等比数列, 那么 G 叫做 a 与

如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中 中 项

a?b 项. A ? 。 2
等差中项的设法:

b 的等比中项.
等比中项的设法:

a , a , aq q

前n 项 和 性 质

Sn ?

n(n ? 1) n (a1 ? a n ) , S n ? na1 ? d 2 2

am ? an ? ap ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)
2m ? p ? q ,则



若 m ? n ? p ? q ,则

若2m ? p ? q, 则有a2m ? ap ? aq ,( p, q, n, m ? N * )

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等差数列
函 数 看 数 列

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等比数列
an ? a1 n q ? Aq n q a a sn ? 1 ? 1 q n ? A ? Aq n (q ? 1) 1? q 1? q

an ? dn ? (a1 ? d ) ? An ? B sn ? d2 2 d n ? (a1 ? )n ? An 2 ? Bn 2 2

* (1)定义法:证明 an?1 ? an (n ? N ) 为一个常数; * ( 2 ) 等 差 中 项 : 证 明 2an ? an?1 ? an?1 (n ? N ,

(1)定义法:证明 常数 ( 2

a n ?1 (n ? N * ) 为一个 an
项 : 证 明

判 定 方 法

n ? 2)
(3)通项公式: an ? kn ? b(k , b 为常数)( n ? N * )
2 (4) sn ? An ? Bn ( A, B 为常数)( n ? N * )





2 an ? an?1 ?an?1 (n ? N * , n ? 2) n (3) 通项公式:an ? cq

(c, q 均是不为

0 常数)

n ( 4 ) sn ? Aq ? A ( A, q 为 常 数 ,

A ? 0,q ? 0,1)

3.数列通项公式求法。 (1)定义法(利用等差、等比数列的定义) ; (2)累加法 (3)累乘法(

(n ? 1) ? S1 an?1 ? ? cn 型) ;(4)利用公式 an ? ? ;(5)构造法 an ? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 1)

( an?1 ? kan ? b 型)(6) 倒数法 等 4.数列求和 (1)公式法; (2)分组求和法; (3)错位相减法; (4)裂项求和法; (5)倒序相加法。 5. Sn 的最值问题: 在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求 解: (1)当 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ?a m ? 0 ? m?1 (2)当 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ?a m

?a ? 0

的项数 m 使得 S m 取最大值.

?a ? 0 的项数 m 使得 S m 取最小值。 ? m?1 ? 0

也可以直接表示 Sn ,利用二次函数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问 题时,注意转化思想的应用。 6.数列的实际应用 现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面 积、等实际问题,常考虑用数列的知识来解决. 训练题 一、选择题 1.已知等差数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1 、 a ? 1 、 2a ? 3 ,则 2011 是这个数列的 ( B) A.第 1006 项 B.第 1007 项 C. 第 1008 项 D. 第 1009 项 (A D.512 ( ) )

2.在等比数列 {an } 中, a 6 ?a5 ? a7 ? a5 ? 48 ,则 S10 等于 A.1023 B.1024 C.511 3.若{an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d= A.-2 1 C.2 答案 解析 B 1 B.-2 D.2

由等差中项的定义结合已知条件可知 2a4=a5+a3,∴2d=a7-a5=-1,即 d

1 =-2.故选 B. 4.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3· a7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为( A )

A.180 C.90

B.-180 D.-90 A )

5.已知 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为( A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2
( )

a2 9 6.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则a11的值为 A.9 C.2 答案 解析 故选 D. 1 7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1+a5=2S5,且 a9=20,则 S11=( A.260 C.130 答案 解析 D B.220 D.110 D 由等比数列性质可知 a3a5a7a9a11=a5 7=243,所以得 B.1 D.3

2 a9 a7a11 a7=3,又a11= a11 =a7,

)

a1+a5 a1+a11 1 ∵S5= 2 × 5,又∵2S5=a1+a5,∴a1+a5=0.∴a3=0,∴S11= 2 × 11

a3+a9 0+20 11= 2 × 11=110,故选 D. = 2 ×
* 8.各项均不为零的等差数列{an}中,若 a2 n-an-1-an+1=0(n∈N ,n≥2),则 S2 009 等于

A.0 C.2 009 答案 解析 D

B.2 D.4 018

2 n≥2), 各项均不为零的等差数列{an}, 由于 an -an-1-an+1=0(n∈N*, 则 a2 n-

2an=0,an=2,S2 009=4 018,故选 D. 9.数列{an}是等比数列且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值等于 A.5 答案 解析 A
2 2 2 a4a6=a5 a4+2a3· a5+a4· a6=a2 由于 a2a4=a2 , 所以 a2· 3, 3+2a3a5+a5=(a3+a5)

B.10

C.15

D.20

5.又 an>0,所以 a3+a5=5.所以选 A. =25.所以 a3+a5=± 10.首项为 1,公差不为 0 的等差数列{an}中,a3,a4,a6 是一个等比数列的前三项,则

这个等比数列的第四项是 A.8 C.-6 答案 解析 B a2 a6?(1+3d)2=(1+2d)· (1+5d) 4=a3· B.-8 D.不确定

(

)

?d(d+1)=0?d=-1,∴a3=-1,a4=-2,∴q=2. ∴a6=a4· q=-4,第四项为 a6· q=-8.

1 11.在△ ABC 中,tanA 是以-4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以 为 3 第三项,9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是(B ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形
12.记等差数列 ?an ? 的前项和为 sn , 若 s3 ? s10 , 且公差不为 0, 则当 sn 取最大值时,n ? )C A.4 或 5 B.5 或 6 C.6 或 7 D.7 或 8 13.在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,且 S2 011=-2 011,a1 007=3,则 S2 012 的值为 ( A.1 006 B.-2 012 答案 解析 C 方法一 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,根据题意可得, C.2 012 D.-1 006

2 011× ? 2 011 -1? ? ?S2 011=2 011a1+ d=-2 011, 2 ? ? ?a1 007=a1+1 006d=3,

?a1+1 005d=-1, ?a1=-4 021, ? 即?a1+1 006d=3, 解得? ?d=4.
2 012× ? 2 012 -1? d 所以,S2 012=2 012a1+ 2 (-4 021)+2 012× 2 011× 2 =2 012× (4 022-4 021)=2012. =2 012× 2 011?a1+a2 011? 方法二 由 S2 011= 2 =2 011a1 006=-2 011, 解得 a1 006=-1,则 S2 012= 2 012?a1+a2 012? 2 012?a1 006+a1 007? = 2 2

2 012× ?-1+3? = =2 012. 2 2f?n?+n 14.设函数 f(x)满足 f(n+1)= (n∈N*),且 f(1)=2,则 f(20)=( 2 A.95 C.105 答案 B B.97 D.192 )

解析

? ?f? 19?=f? 18?+18, n 2 f(n+1)=f(n)+2,∴? …… ? ?f? 2?=f? 1?+1 2.


19 f? 20? =f? 19? +2,

1 2 19 19× 20 累加,得 f(20)=f(1)+(2+2+…+ 2 )=f(1)+ 4 =97. 15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 log( 2 S n ? 1) ? n ? 1 ,则通项公式为(B A. an ? 2 n (n ? N * ) C. an ? 2n?1 (n ? N * ) B. a n ? ? n ?2 (n ? 2) D. 以上都不正确

?3 (n ? 1)

16.一种细胞每 3 分钟分裂一次, 一个分裂成两个, 如果把一个这种细胞放入某个容器内, 恰好一小时充满该容器,如果开始把 2 个这种细胞放入该容器内,则细胞充满该容器的 时间为 ( D ) A.15 分钟 B.30 分钟 C.45 分钟 D.57 分钟 二、填空题 17.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,a3=3,则 S4= 8. 18.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S4=20,则 S6= 19.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 an ? 64 ,则 n 的值为 20.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 a =
2

1 2

. 48 .7

S4

.

15 2

Sn 2n a100 12.数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若Tn=3n+1,则b100=________. 199 答案 299

a1+a199 2 a100 S199 199 解析 b100=b1+b199=T199=299. 2 21.数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? 则 ?an ? 的通项公式 解 :( Ⅰ ) 由 an?1 ? 2Sn ? 1 可 得 an ? 2Sn?1 ? 1 ?n ?

? 2,

两 式 相 减 得

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2?
又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 ∴ an ? 3n?1 22.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2· a4=4,a1+a2+a3=14,则满足 an· an+1· an+
2>9的最大正整数

故 ?an ? 是 首 项 为 1 , 公 比 为 3 得 等 比 数 列

1

n 的值为________.答案 4

解析

2 a4=4.又 a3>0,因 设等比数列{an}的公比为 q,其中 q>0,依题意得 a3=a2·

1 1 (2)n-1=24-n,an· an 此 a3=a1q2=2,a1+a2=a1+a1q=12,由此解得 q=2,a1=8,an=8×
+1

1 1 1 9 3n · an+2=29-3n.由于 2-3=8>9, an 因此要使 2 - >9, 只要 9-3n≥-3, 即 n≤4, 于是满足 an· 1 · an+2>9的最大正整数 n 的值为 4.

+1

S10 31 23.等比数列{an}的首项为 a1=1,前 n 项和为 Sn,若 S5 =32,则公比 q 等于________. 答案 解析 1 -2 S10-S5 31-32 S10 31 1 1 1 因为 S5 =32,所以 S5 = 32 =-32,即 q5=(-2)5,所以 q=-2.

三、解答题 24.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

1【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26

2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 所以 an ? 3 ? (

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2

n + 1 ,所以 bn= (Ⅱ)由(Ⅰ) 知 an ? 2

1 1 1 1 1 1 1 = ? ), = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1) n 。 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

25.已知等比数列 {an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (I)求数列 {an} 的通项公式. (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 { } 的前 n 项和. 2 解:
2 2 3 2 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?

1 bn

1 . 9

由条件可知 c>0,故 q ?

1 . 3 1 . 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 . 3n

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2


1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 { } 的前 n 项和为 ?

1 bn

2n n ?1

1 1 1 1 26.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2=2(a1+a2),a3+a4+a5=64(a3+a4+ 1 a5). (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=(an+an)2,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析 (1)设{an}的公比为 q,则 an=a1qn-1.

由已知,有

? ?a +a q=2? ?a +a q?, ? 1 1 ? ? 1 ?a q +a q +a q =64?a q +a q +a q ?,
1 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 1 4

1

1

?a1q=2, 6 化简,得? ?a2 1q =64.
又 a1>0,故 q=2,a1=1. 所以 an=2
n-1

2

.

1? 1 1 ? n-1 2 (2)由(1)知,bn=?an+an?2=a2 +4n-1+2. n+an+2=4 1 1-4n 1-4n 1 1 1 n n 1 因此,Tn=(1+4+…+4 -1)+(1+4+…+4n-1)+2n= 1-4 + 1 +2n=3(4 -4 1-4
-n

)+2n+1.

27. 已 知 {an } 为 等 比 数 列 , a1 ? 1, a5 ? 256 ; Sn 为 等 差 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 ,

b1 ? 2, 5S5 ? 2S8 .
(1) 求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2) 设 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ,求 Tn . 解: (1) 设{an}的公比为 q,由 a5=a1q4 得 q=4 所以 an=4n-1.设{ bn }的公差为 d,由 5S5=2 S8 得 5(5 b1+10d)=2(8 b1+28d),

d?

3 3 a1 ? ? 2 ? 3 , 2 2

2+4· 5+42·8+…+4n-1(3n-1),① 所以 bn=b1+(n-1)d=3n-1.(2) Tn=1· 4Tn=4· 2+42· 5+43·8+…+4n(3n-1),② ②-①得:3Tn=-2-3(4+42+…+4n)+4n(3n-1) = -2+4(1-4n-1)+4n(3n-1)

=2+(3n-2)· 4n∴Tn=(n-

2 n 2 )4 + 3 3
2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

28.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

【解析】(Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ? ? 1 ?

1 2 ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3 1 3 2 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2 Sn ? nan ?1 ? n ? n ? n , 3 3 1 2 3 2 2S n ?1 ? ? n ? 1? an ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1
故数列 ? 所以

a1 ? an ? ? 是首项为 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 1 ?n?

an ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ,所以 an ? n2 . n 1 7 1 1 1 5 7 ? 1? ? ? ; (Ⅲ) 当 n ? 1 时, ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? a1 4 a1 a2 4 4 4
当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 ? ?? ? ? 1? ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? a1 a2 an 4 3 4 n 4 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ?
1 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4 1 1 1 7 ?? ? ? . 综上,对一切正整数 n ,有 ? a1 a2 an 4 ? 1?
2 ? 29. 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1,n ? N ,且

a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

2 2 1.【解析】 (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an?1 ? an ? 4
2 2 ? an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

? a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ?1?? 2n ? 1?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2
30. a2 , a5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列 ?an ? 是公差为正的等差数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ?

1 bn n ? N ? . 2

?

?

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . 2.解:(1)由 a2 ? a5 ? 12, a2 a5 ? 27.且 d ? 0 得 a2 ? 3, a5 ? 9 分 …………… 2

?d ?

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 ? an ? 2n ? 1 n ? N ? 3

?

?

……………

4

分 在 Tn ? 1 ?

1 2 1 1 bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 3 2 2 2

两式相减得 bn ?

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2? bn ?1 3 2 2

…………… 6 分

2?1? ? bn ? ? ? 3 ? 3?

n ?1

?

2 n? N? . 3n

?

?

…………… 9分

8分

(2) c n ? ?2n ? 1? ?

2 4n ? 2 ? , ……………… 3n 3n

5 2n ? 1 ? S 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 3 ?1 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , n ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ? , 3 3 ? 3 3 3n 3 ?3 3 ?3 ?
…………… 10 分

? ? 1? 1 ? 2 ? ?1 ? n ?1 ? ? ?1 ? 1 1 2 1 1 ? 2n ? 1? 9 ? 3 ? 2n ? 1 ? ? ? n ?1 ? ? S n ? 2? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 ? =2 ? 1 3 3 3 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 1? ? ? 3 ? ?
= 2? ?

?1 ?3

1 1 2n ? 1 ? 4 4 n ? 4 ? ? n?1 ? ? ? n?1 , 3 3n 3 3 ? 3
2n ? 2 3n
…………… 14 分

………………13 分

? Sn ? 2 ?

31.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ? 1. 1 ? a n?1 1 ? a n

(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

n

3 解: (I)由题设

1 1 1 ? ? 1, 即 { } 是公差为 1 的等差数列。 1 ? an ?1 1 ? an 1 ? an



1 1 1 ? 1, 故 ? n. 所以 an ? 1 ? . 1 ? a1 1 ? an n

(II)由(I)得

bn ? ?

1 ? an ?1 n

,
…………8 分

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