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湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考 2014-2015 学年高二 上学期期中数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)设集合 A={x|x ﹣2x<0},B={x|1≤x≤4},则 A∩B=() A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(1

,4) 2. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于() A.13 B.35 C.49 D.63 3. (5 分)流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是()

A.f(x)=x

2

B.f(x)=

C.f(x)=lnx+2x﹣6 D.f(x)=sinx

4. (5 分)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m⊥α,n?α,则 m⊥n C. 若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α 5. (5 分)若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为()

A.

B. 5
3

C.

D.4

6. (5 分)要制作一个容积为 4m ,高为 1m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每 平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是() A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元 7. (5 分)已知函数 f(x)= sinωx+cosωx(ω>0) ,x∈R,在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交 ,则 f(x)的最小正周期为() C. π D.2π

点中,若相邻交点距离的最小值为 A. B.

8. (5 分)在平面直角坐标系中,不等式组
2

(a 为常数)表示的平面区域的面积 8,

则 x +y 的最小值() A. B. 0 C.12 D.20

9. (5 分)设角 α∈(0, A.40°

) ,角 β=10°,且 tanα= C.70°

,则 α=() D.80°

B.50°

10. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中.已知向量 、 ,| |=| |=1, ? =0,点 Q 满足 ( + ) ,曲线 C={P| = cosθ+ sinθ,0≤θ≤2π},区域 Ω={P|0<r≤| C.0<r≤3<R<5

=2

|≤R,r<R}.若 C∩Ω D.3<r<R<5

为两段分离的曲线,则() A.3<r<5<R B.3<r<5≤R

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡的相应位置. ) 11. (5 分)某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法,抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按 1,2,…,840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为.

12. (5 分)从 4 名女生和 3 名男生中选出 3 人参加三个不同的培训班,每个培训班一人.若 这 3 人中至少有一名男生,则不同的选派方案共有种. (用数字作答) 13. (5 分)已知函数 f(x)=e +x (e 为自然对数的底数) ,且 f(3a﹣2)>f(a﹣1) ,则实 数 a 的取值范围为. 14. (5 分)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 3x+y﹣4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为. 15. (5 分)已知函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)与 g(x)=x +ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是.
4 x 4 |x| 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c,且满足 cos2A﹣ cos2B= (1)求角 B 的值; (2)若 且 b≤a,求 的取值范围.

17. (12 分)随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身高 数据的茎叶图如图 (Ⅰ)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (Ⅱ)计算甲班的样本方差 (Ⅲ)现从甲乙两班同学中各选取两名身高不低于 170cm 的同学,参加四项不同的体育项目, 求有多少种不同的安排方法?

18. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n﹣5an﹣85,n∈N (Ⅰ)证明:{an﹣1}是等比数列; (Ⅱ)是否存在正整数 n,使得 Sn<n﹣

*

?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由.

19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2, ∠PDA=45°,点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点.

(1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求 AF 与平面 PCB 所成的角的大小.

20. (13 分)已知:以点 C(t, ) (t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于 点 O,B,其中 O 为原点. (Ⅰ)求证:△ OAB 的面积为定值; (Ⅱ)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. (Ⅲ)EG、FH 是(II)中所求圆 C 内相互垂直的两条弦,垂足为 P(3,2) ,求四边形 EFGH 面积的最大值. 21. (14 分)已知函数 f(x)=﹣x +6xcosα﹣16cosβ,且对任意实数 t,均有 f(3﹣cost)≥0, ﹣|t| f(1+2 )≤0 恒成立. (Ⅰ)求证:f(4)≥0,f(2)=0; (Ⅱ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅲ)是否存在实数 a,使得函数 g(x)=f(x)+(a+1)x ﹣8x﹣a+ 若存在,求 a 的取值范围;若不存在,说明理由.
2 2

在 x∈[1,4]存在零点?

湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考 2014-2015 学 年高二上学期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)设集合 A={x|x ﹣2x<0},B={x|1≤x≤4},则 A∩B=() A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合.

分析: 分别解出集合 A 和 B,再根据交集的定义计算即可. 解答: 解:A={x|0<x<2},B={x|1≤x≤4}, ∴A∩B={x|1≤x<2}. 故选:C. 点评: 本题是简单的计算题,一般都是在高考的第一题出现,答题时要注意到端点是否取 得到,计算也是高考中的考查点,学生在平时要加强这方面的练习,考试时做到细致悉心,一 般可以顺利解决问题. 2. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于() A.13 B.35 C.49 D.63 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即 a1+a7=a2+a6,求出 a1+a7 的值,然后利用等差数列的前 n 项和的公式表示出 S7,将 a1+a7 的值代入即可求出. 解答: 解:因为 a1+a7=a2+a6=3+11=14, 所以 故选 C. 点评: 此题考查学生掌握等差数列的性质及前 n 项和的公式,是一道基础题. 3. (5 分)流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是()

A.f(x)=x

2

B.f(x)=

C.f(x)=lnx+2x﹣6 D.f(x)=sinx

考点: 程序框图. 专题: 操作型;算法和程序框图.

分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是输出满足条件①f(x)+f(﹣x)=0,即函数 f(x)为奇函数②f(x)存在零点,即函数 图象与 x 轴有交点.逐一分析四个答案中给出的函数的性质,不难得到正确答案. 解答: 解:由程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是输出满足条件①f(x)+f(﹣x)=0,即函数 f(x)为奇函数 ②f(x)存在零点,即函数图象与 x 轴有交点. A.∵f(x)=x ,不是奇函数,故不满足条件① B.∵f(x)= 的函数图象与 x 轴没有交点,故不满足条件② C.∵f(x)=lnx+2x﹣6 的定义域(0,+∞)不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,故不 满足条件① D.∵f(x)=sinx 既是奇函数,而且函数图象与 x 也有交点,故 D:f(x)=sinx 符合输出的 条件 故选:D 点评: 本题考查的知识点是程序框图,其中根据程序框图分析出程序的功能是解答的关键. 4. (5 分)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m⊥α,n?α,则 m⊥n C. 若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断; B.运用线面垂直的性质,即可判断; C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断; D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断. 解答: 解:A.若 m∥α,n∥α,则 m,n 相交或平行或异面,故 A 错; B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n,故 B 正确; C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,故 C 错; D.若 m∥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α 或 n⊥α,故 D 错. 故选 B. 点评: 本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质, 记熟这些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型. 5. (5 分)若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为()
2

A.

B. 5

C.

D.4

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 先根据三视图判断此几何体为直六棱柱,再分别计算棱柱的底面积和高,最后由棱 柱的体积计算公式求得结果 解答: 解:由图可知,此几何体为直六棱柱,底面六边形可看做两个全等的等腰梯形,上 底边为 1,下底边为 3,高为 1, ∴棱柱的底面积为 2× 棱柱的高为 1 ∴此几何体的体积为 V=4×1=4 故选 D =4,

点评: 本题主要考查了简单几何体的结构特征及其三视图,棱柱的体积计算公式等基础知 识,属基础题 6. (5 分)要制作一个容积为 4m ,高为 1m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每 平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是() A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 综合题;不等式的解法及应用. 分析: 设池底长和宽分别为 a,b,成本为 y,建立函数关系式,然后利用基本不等式求出最 值即可求出所求. 解答: 解:设池底长和宽分别为 a,b,成本为 y,则 ∵长方形容器的容器为 4m ,高为 1m, ∴底面面积 S=ab=4,y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80, ∵a+b≥2 =4, ∴当 a=b=2 时,y 取最小值 160, 即该容器的最低总造价是 160 元, 故选:C. 点评: 本题以棱柱的体积为载体,考查了基本不等式,难度不大,属于基础题,由实际问 题向数学问题转化是关键. 7. (5 分)已知函数 f(x)= sinωx+cosωx(ω>0) ,x∈R,在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交 ,则 f(x)的最小正周期为() C. π D.2π
3 3

点中,若相邻交点距离的最小值为 A. B.

考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据 f(x)=2sin(ωx+ 距离的最小值为 ) ,再根据曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中,相邻交点

,正好等于 f(x)的周期的 倍,求得函数 f(x)的周期 T 的值. sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ) (ω>0) ,x∈R, ,正好等于 f(x)的周

解答: 解:∵已知函数 f(x)=

在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 期的 倍, 设函数 f(x)的最小正周期为 T,则 故选:C. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象特征,得到 倍,是解题的关键,属于中档题. = ,∴T=π,

正好等于 f(x)的周期的

8. (5 分)在平面直角坐标系中,不等式组
2

(a 为常数)表示的平面区域的面积 8,

则 x +y 的最小值() A. B. 0 C.12 D.20

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;压轴题;数形结合.

分析: 先在平面直角坐标系中,画出满足不等式组的
2 2

(a 为常数) ,表示的平面

区域,再由 Z=x +y 中 Z 表示曲线 y=﹣x +Z,与 y 轴交点的纵坐标,利用图象易得到答案. 解答: 解:满足约束条件 的可行域如下图所示,

若可行域的面积为 8,则 a=2 由图可得当 x= ,y=﹣ 时, x +y 取最小值﹣ , 故选 A 点评: 本题考查的知识点是简单线性规划,其中画出约束条件对应的可行域是解答本题的 关键. 9. (5 分)设角 α∈(0, A.40° 考点: 专题: 分析: 解答:
2

) ,角 β=10°,且 tanα= C.70°

,则 α=() D.80°

B.50°

同角三角函数基本关系的运用. 三角函数的求值. 把 sinβ,cosβ 都用万能公式转化为正切,运用同角三角函数基本关系公式即可求值. 解:

tanα=

=

=

=

=tan50°

故选:B. 点评: 本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用,属于基础题.

10. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中.已知向量 、 ,| |=| |=1, ? =0,点 Q 满足 ( + ) ,曲线 C={P| = cosθ+ sinθ,0≤θ≤2π},区域 Ω={P|0<r≤| C.0<r≤3<R<5

=2

|≤R,r<R}.若 C∩Ω D.3<r<R<5

为两段分离的曲线,则() A.3<r<5<R B.3<r<5≤R 考点: 曲线与方程. 专题: 平面向量及应用.

分析: 设 =(1,0) , =(0,1) ,得出 P 点的轨迹是单位圆,Ω={P|(0<r≤|

|≤R,r<R}

表示的平面区域是以 Q 点为圆心,内径为 r,外径为 R 的圆环, 若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则单位圆与圆环的内外圆均相交,根据圆圆相交得到答案. 解答: 解:在平面直角坐标系 xOy 中,向量 、 满足| |=| |=1, ? =0, 不妨设 =(1,0) , =(0,1) , 则 =2 ( + )=(2 ,2 ) ,

= cosθ+ sinθ=(cosθ,sinθ) ,0≤θ≤2π; ∴P 点的轨迹是单位圆, Ω={P|(0<r≤| |≤R,r<R}表示的平面区域为:

以 Q 点为圆心,内径为 r,外径为 R 的圆环; 若 C∩Ω 为两段分离的曲线, 则单位圆与圆环的内外圆均相交, ∴|OQ|﹣1<r<R<|OQ|+1; 又∵|OQ|=4, ∴3<r<R<5. 故选:D. 点评: 本题考查了平面向量的应用问题,解题的关键是得出点 P 的轨迹以及 Ω={P|(0< r≤| |≤R,r<R}表示的平面区域,是较难的题目.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡的相应位置. ) 11. (5 分)某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法,抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按 1,2,…,840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为 12. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,那么从 20 人抽取 1 人.从而得出从编 号 481~720 共 240 人中抽取的人数即可. 解答: 解:使用系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,即从 20 人抽取 1 人.

∴从编号 1~480 的人中,恰好抽取 接着从编号 481~720 共 240 人中抽取

=24 人, =12 人.

故答案为:12. 点评: 本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于基础题. 12. (5 分)从 4 名女生和 3 名男生中选出 3 人参加三个不同的培训班,每个培训班一人.若 这 3 人中至少有一名男生,则不同的选派方案共有 186 种. (用数字作答) 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 分析可得,“这 3 人中至少有 1 名男生”与“只选派女生”为对立事件,即则这 3 人中至 少有 1 名男生等于从全部方案中减去只选派女生的方案数, 由排列的方法计算全部方案与只选 派女生的方案数,计算可得答案. 3 解答: 解:从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,有 A7 种选法, 3 其中只选派女生的方案数为 A4 , 分析可得,“这 3 人中至少有 1 名男生”与“只选派女生”为对立事件, 则这 3 人中至少有 1 名男生等于从全部方案中减去只选派女生的方案数, 3 3 即合理的选派方案共有 A7 ﹣A4 =186 种, 故答案为:186. 点评: 本题考查排列的运用,出现最多、至少一类问题时,常见的方法是间接法. 13. (5 分)已知函数 f(x)=e +x (e 为自然对数的底数) ,且 f(3a﹣2)>f(a﹣1) ,则实 数 a 的取值范围为 .
|x| 2

考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数式子得出 f(﹣x)=f(x)=f(|x|) ,且在(0,+∞)单调递增,把 f(3a﹣2) >f(a﹣1) ,转化为|3a﹣2|>|a﹣1|,即 8a ﹣10a+3>0,求解即得到实数 a 的取值范围. |x| 2 解答: 解:∵函数 f(x)=e +x (e 为自然对数的底数) , ∴f(﹣x)=f(x)=f(|x|) ,且在(0,+∞)单调递增, ∵f(3a﹣2)>f(a﹣1) , ∴|3a﹣2|>|a﹣1|, 即 8a ﹣10a+3>0, 实数 a 的取值范围为 a 或a ,
2 2

故答案为: (﹣∞, )∪( ,+∞) 点评: 本题考察了偶函数的性质,单调性,求解不等式,属于中档题.

14. (5 分)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 3x+y﹣4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为 .

考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由 O 向直线 3x+y﹣4=0 做垂线,垂足为 D,当 D 恰为圆与直线的切点时,圆 C 的半 径最小,此时圆的直径为 O(0,0)到直线 3x+y﹣4=0 的距离,由此能求出圆 C 面积最小值. 解答: 解:∵AB 为直径,∠AOB=90°, ∴O 点必在圆 C 上, 由 O 向直线 3x+y﹣4=0 做垂线,垂足为 D, 则当 D 恰为圆与直线的切点时,圆 C 的半径最小, 此时圆的直径为 O(0,0)到直线 3x+y﹣4=0 的距离 d= ∴此时圆的半径 r= =
2



, = .

∴圆 C 面积最小值 Smin=πr = 故答案为: .

点评: 本题考查圆的面积的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质 的合理运用.
4 x 4

15. (5 分)已知函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)与 g(x)=x +ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是 .

考点: 对数函数的图像与性质;指数函数的图像与性质. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可化为 e ﹣ ﹣ln(x+a)=0 在(0,+∞)上有解,即函数 y=e ﹣ 与 y=ln (x+a)在(0,+∞)上有交点,从而可得 ln(a)<1﹣ ,从而求解. 解答: 解:由题意知,方程 f(﹣x)﹣g(x)=0 在(0,+∞)上有解, 即 e ﹣ ﹣ln(x+a)=0 在(0,+∞)上有解, 即函数 y=e ﹣ 与 y=ln(x+a)在(0,+∞)上有交点, 函数 y=e ﹣ 与 y=ln(x+a)在(0,+∞)上的图象如下:
﹣x ﹣x ﹣x ﹣x ﹣x

则 ln(a)<1﹣ , 即 a< , .

故答案为:

点评: 本题考查了函数的图象的变换及函数与方程的关系,属于基础题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c,且满足 cos2A﹣ cos2B= (1)求角 B 的值; (2)若 且 b≤a,求 的取值范围.

考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: (1)由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sin A﹣2cos B= ﹣2sin A,求得 cos B 的值,可得 cosB 的值,从而求得 B 的值. (2)由 b= ≤a,可得 B=60°.再由正弦定理可得. 解答: 解: (1)在△ ABC 中, ∵cos2A﹣cos2B=
2 2 2 2 2 2 2 2

=2(
2

cosA+ sinA) (

cosA﹣ sinA)

=2( cos A﹣ sin A)= cos A﹣ sin A= ﹣2sin A. 又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sin A﹣(2cos B﹣1)=2﹣2sin A﹣2cos B, ∴2﹣2sin A﹣2cos B= ﹣2sin A,∴cos B= ,∴cosB=± ,
2 2 2 2 2 2 2 2

∴B=



. ≤a,∴B= = = , = =2,得 a=2sinA,c=2sinC,

(2)∵b= 由正弦

故 a﹣ c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin( 因为 b≤a,所以 所以 a﹣ c= ≤A< sin(A﹣ , )∈[ ≤A﹣ ,

﹣A)= sinA﹣ < ) . ,

cosA=

sin(A﹣

) ,

点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,三角恒等变换,属于中档题. 17. (12 分)随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身高 数据的茎叶图如图 (Ⅰ)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (Ⅱ)计算甲班的样本方差 (Ⅲ)现从甲乙两班同学中各选取两名身高不低于 170cm 的同学,参加四项不同的体育项目, 求有多少种不同的安排方法?

考点: 茎叶图;极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)观察茎叶图,可以看出数据的整体水平较高还是较低,有时不用通过具体的数 据运算直接看出,有时差别较小,就需要通过数据作出,而本题属于前者. (2)根据所给的数据,用平均数和方差的公式代入运算,因为数据较多,代入过程中不要出 错. (3)从甲乙两班同学中各选取两名身高不低于 170cm 的同学的选法有 学全排的方法有 . ,然后将四名同

解答: (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160~179 之间,而乙班身高集中于 170~180 之间.因此乙班平均身高高于甲班;…. (3 分) (2) =170

甲班的样本方差为
2 2 2

+(168﹣170)

+(168﹣170) +(170﹣170) 2 2 2 2 +(171﹣170) +(179﹣170) +(179﹣170) ]+(182﹣170) ]=57. (9 分) (3) …(12 分)

点评: 求两组数据的平均值和方差是研究数据常做的两件事,平均值反映数据的平均水平, 而方差反映数据的波动大小,从两个方面可以准确的把握数据的情况. 18. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n﹣5an﹣85,n∈N (Ⅰ)证明:{an﹣1}是等比数列; (Ⅱ)是否存在正整数 n,使得 Sn<n﹣
*

?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由.

考点: 数列递推式;数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 a1=﹣14,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣5an+5an﹣1+1,由此能证明数列{an﹣1} 是等比数列. (Ⅱ)由 ,得 ,由此能求出存在最小的 n=4. 解答: (Ⅰ)证明:当 n=1 时,a1=﹣14, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣5an+5an﹣1+1, 所以 ,…. (4 分) ,从而

又 a1﹣1=﹣15≠0, 所以数列{an﹣1}是等比数列.…(6 分) (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知: 得 所以 , ,

=n﹣15×



从而 由 Sn 得 ,

(n∈N ) ,…. (8 分)

*

,又 n>3,故存在最小的 n=4…. (12 分)

点评: 本题考查等比数列的证明,考查满足条件的实数的最小值的求法,解题时要认真审 题,注意等比数列的性质的合理运用. 19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2, ∠PDA=45°,点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求 AF 与平面 PCB 所成的角的大小.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 专题: 综合题;转化思想. 分析: (1)取 PC 的中点 G,连接 FG、EG,证出 AF∥EG,由线面平行的判定定理,即可 证出:AF∥平面 PCE. (2)先证出 AF⊥平面 PCD,再由(1) ,可证 EG⊥平面 PCD,由面面垂直的判定定理即可 证出平面 PCE⊥平面 PCD; (3)过 E 作 EQ⊥PB 于 Q 点,连 QG,则∠QGE 为所求的角,解 Rt△ EGQ 即可. 解答: 证明: (1)取 PC 的中点 G,连接 FG、EG, ∴FG 为△ CDP 的中位线∴FG CD

∵四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点 ∴AB CD∴FG AE∴四边形 AEGF 是平行四边形∴AF∥EG

又 EG?平面 PCE,AF?平面 PCE∴AF∥平面 PCE (2)∵PA⊥底面 ABCD ∴PA⊥AD,PA⊥CD,又 AD⊥CD,PA∩AD=A ∴CD⊥平面 ADP,又 AF?平面 ADP∴CD⊥AF 直角三角形 PAD 中,∠PDA=45° ∴△PAD 为等腰直角三角形∴PA=AD=2 ∵F 是 PD 的中点,∴AF⊥PD,又 CD∩PD=D ∴AF⊥平面 PCD∵AF∥EG∴EG⊥平面 PCD 又 EG?平面 PCE 平面 PCE⊥平面 PCD 解: (3)过 E 作 EQ⊥PB 于 Q 点,连 QG,CB⊥面 PAB ∴ ?QE⊥面 PCB,则∠QGE 为所求的角.

S△ PEB= BE?PA= PB?EQ?EQ= 在△ PEC 中,PE=EC= ,G 为 PC 的中点,∴EG= ,

在 Rt△ EGQ 中,sin∠EGQ= ∴∠EGQ=30°

点评: 本题考查线面位置关系,面面位置关系的判定,空间角的求解.考查空间想象能力, 转化思想,计算能力. 20. (13 分)已知:以点 C(t, ) (t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于 点 O,B,其中 O 为原点. (Ⅰ)求证:△ OAB 的面积为定值; (Ⅱ)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. (Ⅲ)EG、FH 是(II)中所求圆 C 内相互垂直的两条弦,垂足为 P(3,2) ,求四边形 EFGH 面积的最大值. 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)由已知设圆 C 的方程是(x﹣t) +(y﹣ ) =t + 积为定值 4. (Ⅱ)由已知得 OC 垂直平分线段 MN.由 kMN=﹣2,得直线 OC 的方程是 y= t=2 或 t=﹣2,由此能求出圆 C 的方程. (Ⅲ)设圆心 C 到 EG、FH 的距离分别为 d1,d2,则 的面积的最大值为 8. 解答: (Ⅰ)证明:∵圆 C 过原点 O,∴ 设圆 C 的方程是(x﹣t) +(y﹣ ) =t + 令 x=0,得 令 y=0,得 x1=0,x2=2t, ∴ = =4, ;
2 2 2 2 2 2

,由此能求出△ OAB 的面

.从而解得:

,由此能求出四边形 EFGH

. ,…(2 分)

即△ OAB 的面积为定值 4.…(4 分) (Ⅱ)解:∵OM=ON,CM=CN,∴OC 垂直平分线段 MN. ∵kMN=﹣2,∴kOC= , ∴直线 OC 的方程是 y= ∴ .

,解得:t=2 或 t=﹣2.…. (6 分) , ,

当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1) ,OC= 此时 C 到直线 y=﹣2x+4 的距离

圆 C 与直线 y=﹣2x+4 相交于两点.…. (7 分) 当 t=﹣2 时,圆心 C 的坐标为(﹣2,﹣1) ,OC= 此时 C 到直线 y=﹣2x+4 的距离 d= > ,



圆 C 与直线 y=﹣2x+4 不相交,…. (8 分) ∴t=﹣2 不符合题意舍去. ∴圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =5.…. (9 分) (Ⅲ)解:设圆心 C 到 EG、FH 的距离分别为 d1,d2, 则 ,
2 2

四边形 EFGH 的面积 S= =2 ? ≤8,…. (12 分)

所以四边形 EFGH 的面积的最大值为 8.…..(13 分) 点评: 本题考查三角形面积为定值的证明,考查圆的方程的求法,考查四边形面积的最大 值的求法,解题时要注意函数与方程思想的合理运用. 21. (14 分)已知函数 f(x)=﹣x +6xcosα﹣16cosβ,且对任意实数 t,均有 f(3﹣cost)≥0, ﹣|t| f(1+2 )≤0 恒成立. (Ⅰ)求证:f(4)≥0,f(2)=0; (Ⅱ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅲ)是否存在实数 a,使得函数 g(x)=f(x)+(a+1)x ﹣8x﹣a+ 若存在,求 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;证明题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)取 t=π,得 f(3﹣cosπ)≥0,即 f(4)≥0,取 t=0,得 f(2)≥0,且 f(2)≤0, 则 f(2)=0; (Ⅱ)由(Ⅰ) ,列出两式,由余弦函数的值域,求出 cosα,cosβ,进而得到函数的解析式; (Ⅲ)假设存在实数 a,符合题意.求出 g(x)的表达式,讨论 a=0,a≠0,g(1)>0,考虑 零点个数以及零点存在定理的运用,即可得到 a 的范围.
2 2

在 x∈[1,4]存在零点?

解答: (Ⅰ)证明:对任意实数 t,均有 f(3﹣cost)≥0,f(1+2 取 t=π,得 f(3﹣cosπ)≥0,即 f(4)≥0,
﹣|0|

﹣|t|

)≤0 恒成立.

取 t=0,得 f(3﹣cos0)≥0?f(2)≥0,f(1+2 )≤0?f(2)≤0, 则 f(2)=0; (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,f(2)=﹣4+12cosα﹣16cosβ=0?4cosβ=3cosα﹣1① f(4)=﹣16+24cosα﹣16cosβ≥0?4cosβ≤6cosα﹣4② 将①代入②,得 cosα≥1,从而 cosα=1,
2



故 f(x)=﹣x +6x﹣8; 2 (Ⅲ)解:假设存在实数 a 符合题意.由(Ⅱ)知 f(x)=﹣x +6x﹣8, 从而 1)当 a=0 时,零点为 当 a≠0 时,由于 , ,符合要求. ,

2) 若g (x) 在 x∈[1, 4]有两个零点 (含相等) , 则



3)若 g(x)在 x∈[1,4]有一个零点,则



综合可知:



点评: 本题考查函数解析式的求法和函数的零点的判断,考查特值法解决问题的方法和运 用函数零点存在定理,考查运算能力,属于中档题.


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