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四川省宜宾市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷 文(含解析)


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四川省宜宾市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. 2 2 1. (5 分)命题“若 x>a +b ,则 x>2ab”的逆命题是() 2

2 2 2 A. “若 x<a +b ,则 x<2ab” B. “若 x>a +b ,则 x≥2ab” 2 2 2 2 C. “若 x>2ab,则 x>a +b ” D. “若 x≥a +b ,则 x<2ab” 2. (5 分)下列叙述正确的是() A. 对立事件一定 是互斥事件 B. 互斥事件一定是对立事件 C. 若事件 A,B 互斥,则 P(A)+P(B)=1 D. 若事件 A,B 互为对立事件,则 P(AB)=P(A)?P(B) 3. (5 分)已知条件 p:x>0,条件 q:x≥1,则 p 是 q 成立的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 4. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A. 4

B.

C. 8

D.

5. (5 分)已知 m,n 为两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,且 n? β ,则下列叙 述正确的是() A. m∥n,m? α ? α ∥β B. α ⊥β ,m⊥n? n∥α C. m∥n, m⊥α ? α ⊥β D. α ∥β ,m? α ? m∥n 6. (5 分)如图所示的程序框图,输出的 S 的值为()

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A. 12

B. 20

C. 30

D. 40

7. (5 分)已知三棱锥 A﹣PBC 中,PA⊥面 ABC,AB⊥AC,BA=CA=2PA=2,则三棱锥 A﹣PBC 底面 PBC 上的高是() A. B. C. D.

8. (5 分)如图,在正方形 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 AB1 和平面 A1B1CD 所成角()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)在区间[﹣3,4]上随机地取一个实数 a 使得函数 f(x)=x +ax﹣4 在区间[2,4] 上存在零点的概率是() A. B. C. D.

2

10. (5 分)把一个底面边长和高都为 6 的正三棱锥(底面是正三角形,从顶点向底面作垂 线,垂足是底面的中心的三棱锥)P﹣ABC 的底面 ABC 放置在平面 α 上,现让三棱锥绕棱 BC 逆时针方向 旋转,使侧面 PBC 落在 α 内,则在旋转过程中正三棱锥 P﹣ABC 在 α 上的正投 影图的面积取值范围是()

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. [ ,12 ] B. [ ,9 ] C. [ ,12 ] D .[ ,3 ]

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)某班有男生 25 名,女生 20 名,采用分层抽样的方法从这 45 名学生中抽取一个 容量为 18 的样本,则应抽取的女生人数为名. 12. (5 分)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2)与点 B(2, 点间的距离是. ,﹣1) ,则 A,B 两

13. (5 分)某校为了解数学学科的教学情况,在一次考试中随机地抽取了 100 个同学的成 绩(满分为 100 分)作为样本,并根据这个样本数据得到了如图所示的频率分布直方图,估 计这次数学考试成绩的中位数为.

14. (5 分)甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 4 小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机 地到达,则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是. 15. (5 分)在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,给出以下命题: ①直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°; ②动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 1+ ; ③若 N 是线段 AC1 上的动点,则直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值范围是[ ④若 P、Q 是线段 AC 上的动点,且 PQ=1,则四面体 PQB1D1 的体积恒为 则上述命题中正确的有. (填写所有正确命题的序号) . ,1];

三、解答题(共 6 个题,共 75 分,要求写出解答过程)

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 16. (12 分)每年暑期,学校老师都会要求学生在家附近的图书馆查阅大量学习资料,如图 所示的茎叶图中记录了暑期中甲组 3 名同学去图书馆 A 查阅资料的次数和乙组 4 名同学去图 书馆 B 查阅资料的次数.且乙组同学去图书馆 B 查阅资料次数的平均数是 9.25. (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)在茎叶图中,从查阅资料次数大于 8 的同学中任选 2 名, 求选出的 2 名同学查阅资料的次数之和大于 20 的概率.

17. (12 分)如图.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 O 为 B1D1 的中点.求证: (Ⅰ)AO∥面 BC1D; (Ⅱ)AO⊥BD.

18. (12 分)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,两家商场对购买该商品的顾客奖 励方案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每 个扇形圆心角均为 20°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场: 从装有 3 个白球 2 个红球 1 个黄球的盒子中一次性随机地摸出 2 个球, 如果摸到的 是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

19 . (12 分)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在线段 AB 与 BC 上,且满足: BE=BF= BC,将△AED,△DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 P,并连结 PB. (Ⅰ)求证:面 PDF⊥面 PEF; (Ⅱ)求四棱锥 P﹣BFDE 的体积.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 20. (13 分)已知命题 p:? x∈R,x +2x﹣m=0;命题 q:? x∈R,mx +mx+1>0. (Ⅰ)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若命题 q 为假命题,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)若命题 p∨q 为真命题,且 p∧q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 21. (14 分)如图,在四面体 ABCD 中,AD⊥平面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 ,M 是 AD 的 中点,P,Q 分别是 BM 与 CD 的中点, (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ADC; (Ⅱ)若 DC=BC,求 PQ 与平面 BCM 所成角的正弦值; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,线段 BD 上是否存在点 E,使得平面 PQE⊥平面 BCM?若存在, 确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.
2 2

四川省宜宾市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. 2 2 1. (5 分)命题“若 x>a +b ,则 x>2ab”的逆命题是() 2 2 2 2 A. “若 x<a +b ,则 x<2ab” B. “若 x>a +b ,则 x≥2ab” 2 2 2 2 C. “若 x>2ab,则 x>a +b ” D. “若 x≥a +b ,则 x<2ab” 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 将命题的题设和结论进行互换,从而得到命题的逆命题. 2 2 解答: 解:命题“若 x>a +b ,则 x>2ab”的逆命题是: 2 2 若 x>2ab,则 x>a +b , 故选:C. 点评: 本题考查了四种命题之间的关系,是一道基础题. 2. (5 分)下列叙述正确的是() A. 对立事件一定是互斥事件 B. 互斥事件一定是对立事件 C. 若事件 A,B 互斥,则 P(A)+P(B)=1 D. 若事件 A,B 互为对立事件,则 P(AB)=P(A)?P (B)

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考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 根据对立事件,互斥事件的性质,分别进行判断即可. 解答: 解:对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件, 若事件 A,B 互斥,则 P(A)+P(B)≤1,若事件 A,B 互为对立事件,则 P(AB)=0, 故选:A. 点评: 本题考查了互斥事件与对立事件,是一道基础题. 3. (5 分)已知条件 p:x>0,条件 q:x≥1,则 p 是 q 成立的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若 x>0,则 x≥0 成立, 当 x=1 时,满足 x≥0,但 x>0 不成立, 故 p 是 q 成立的必要不充分条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 4. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A. 4

B.

C. 8

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知的三视图可得: 该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 计算出底面面积 和高,代入锥体体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 棱锥的底面面积 S= ×2×2=2, 棱锥的高 h=2,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故棱锥的体积 V= = ,

故选:D 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 5. (5 分)已知 m,n 为两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,且 n? β ,则下列叙 述正确的是() A. m∥n,m? α ? α ∥β B. α ⊥β ,m⊥n? n∥α C. m∥n, m⊥α ? α ⊥β D. α ∥β ,m? α ? m∥n 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 充分利用线面平行、面面平行、面面垂直的判定定理或者性质定理分别分析选择. 解答: 解:对于 A,m∥n,m? α ,n? β 不满足面面平行的判定定理所以? α ∥β 是错 误的; 对于 B,n? β ,α ⊥β ,m⊥n 如果 n 与两个平面的交线相交,n 与 α 不平行,所以? n∥α 是错误的; 对于 C,n? β ,m∥n,m⊥α ? n⊥α ,由面面垂直的判定定理? α ⊥β ;故正确; 对于 D,n? β ,α ∥β ,m? α ,m 与 n 可能平行或者异面,所以? m∥n 是错误的; 故选:C. 点评: 本题考查了空间线面平行、 面面平行面面垂直的性质定理和判定定理的运用, 熟练 线面关系的性质定理和判定定理是关键,综合性较强,属于中档题. 6. (5 分)如图所示的程序框图,输出的 S 的值为()

A. 12

B. 20

C. 30

D. 40

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,S 的值,当 i=5 时,不满足条件 i<5, 退出循环,输出 S 的值为 20. 解答: 解:执行程序框图,可得 i=1,S=0 满足条件 i<5,S=2,i=2 满足条件 i<5,S=6,i=3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 满足条件 i<5,S=12,i=4 满足条件 i<5,S=20,i=5 不满足条件 i<5,退出循环,输出 S 的值为 20. 故选:B. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法, 正确得到每次循环 S 的值是解题的关键, 属于基 础题. 7. (5 分)已知三棱锥 A﹣PBC 中,PA⊥面 ABC,AB⊥AC,BA=CA=2PA=2,则三棱锥 A﹣PBC 底面 PBC 上的高是() A. B. C. D.

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由条件根据棱锥的结构特征求得 BC、PB、PC 的值,再求出 BC 边上的高 PE 的值, 利用等体积法求得三棱锥 A﹣PBC 底面 PBC 上的高. 解答: 解: 由题意可得, BC= 设 BC 边上的高为 PE,则 PE= 设三棱锥 A﹣PBC 底面 PBC 上的高是 h, 则由 VP﹣ABC=VA﹣PBC,可得 即 ×( ×AB×AC)×PA= ×( ×BC×PE)×h, × )×h,求得 h= , =2 = , PB= . = , PC= = ,

×( ×2×2)×1= ×( ×2

故选:C. 点评: 本题主要考查棱锥的结构特征,用等体积法求点到平面的距离,属于基础题. 8. (5 分)如图,在正方形 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 AB1 和平面 A1B1CD 所成角()

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量 法能求出直线 AB1 和平面 A1B1CD 所成角.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 设正方形 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1, 则 A(1,0,0) ,B1(1,1,1) , C(0,1,0) ,D(0,0,0) , =(0,1,1) , =(0,1,0) , 设平面 A1B1CD 的法向量 =(x,y,z) , =(1,1,1) ,





取 x=1,得 =(1,0,﹣1) , 设直线 AB1 和平面 A1B1CD 所成角为 θ , sinθ =|cos< ∴ . >|=| |= ,

故选:A.

点评: 本题考查直线与平面所成角的大小的求法, 是中档题, 解题时要注意向量法的合理 运用. 9. (5 分)在区间[﹣3,4]上随机地取一个实数 a 使得函数 f(x)=x +ax﹣4 在区间[2,4] 上存在零点的概率是() A. B. C. D.
2

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考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 2 分析: 求出函数 f(x)=x +ax﹣4 在区间[2,4]上存在零点时,a 的范围,以长度为测度, 即可求出概率. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x +ax﹣4 在区间[2,4]上存在零点, 2 ∴f(x)=x +ax﹣4=0 在区间[2,4]上有解, ∴a= ﹣x∈[﹣3,0],其长度为 3, ∵在区间[﹣3,4]上随机地取一 个实数 a,其长度为 7, ∴所求概率为 , 故选:C. 2 点评: 本题考查几何概型,考查函数的零点,确定函数 f(x)=x +ax﹣4 在区间[2,4]上 存在零点时,a 的范围是关键. 10. (5 分)把一个底面边长和高都为 6 的正三棱锥(底面是正三角形,从顶点向底面作垂 线,垂足是底面的中心的三棱锥)P﹣ABC 的底面 ABC 放置在平面 α 上,现让三棱锥绕棱 BC 逆时针方向旋转,使侧面 PBC 落在 α 内,则在旋转过程中正三棱锥 P﹣ABC 在 α 上的正投 影图的面积取值范围是()

A. [

,12

] B. [

,9

] C. [

,12

] D. [

,3

]

考点: 棱锥的结构特征;平面图形的直观图. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 如图所示,面 PBC⊥面 α ,正投影图的面积最小,求出正投影图的面积最大值,即 可得出结论. 解答: 解:如图 1 所示,当平面 PBC⊥平面 α 时正三棱锥 P﹣ABC 在 α 上的正投影图的 面积最小, 此时 PP′=6,P′D= ,PD= , 所以 cos∠PDP′= , ,

当面 PBC⊥面 α ,cos∠ADA′= 所以 A′D=3 所以 S△A′BC= × = = ,



文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 如图 2 所示,当平面 ABC 在平面 α 内时正三棱锥 P﹣ABC 在 α 上的正投影图的面积最大, 此时投影图的面积=S△ABC+S△P′BC, 因为 S△ABC= =9 ,S△P′BC= P′D×BC= × +3 =12 , 12 ]. ×6=3 ,

∴投影图的面积=S△ABC+S△P′BC=9

所以在旋转过程中正三棱锥 P﹣ABC 在 α 上的正投影图的面积取值范围是[

故选:A. 点评: 本题考查图形的旋转,考查面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)某班有男生 25 名,女生 20 名,采用分层抽样的方法从这 45 名学生中抽取一个 容量为 18 的样本,则应抽取的女生人数为 8 名. 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出抽取样本的比例是多少,再计算应抽取的女生人数. 解答: 解:根据题意,抽取样本的比例是 ∴应抽取的女生人数为 20× =8. 故答案为:8. 点评: 本题考查了分层抽样方法的应用问题,是基础题目. 12. (5 分)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2)与点 B(2, 点间的距离是 4. 考点: 专题: 分析: 解答: 空间两点间的距离公式. 空间位置关系与距离. 利用空间中两点间距离公式求解. 解:在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2)与点 B(2, = ,﹣1) ,则 A,B 两 = ,

,﹣1) , =4;

则 A,B 两点间的距离是

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故答案为:4. 点评: 本题考查了空间两点间的距离的求法, 是基础题, 解题时要注意空间中两点间距离 公式的熟练运用. 13. (5 分)某校为了解数学学科的教学情况,在一次考试中随机地抽取了 100 个同学的成 绩(满分为 100 分)作为样本,并根据这个样本数据得到了如图所示的频率分布直方图,估 计这次数学考试成绩的中位数为 68.

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图中,中位数的两边频率相等,由此求出中位数的值. 解答: 解:根据频率分布直方图,得; 0.01×10+0.02×10=0.3<0.5, 0.3+0.025×10=0.55>0.5, 令 0.3+0.025x=0.5, 解得 x=8, ∴这次数学考试成绩的中位数为 60+8=68. 故答案为:68. 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题, 也考查了中位数的计算问题, 是基础题目. 14. (5 分)甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 4 小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机 地到达,则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 .

考点: 几何概型. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 设出甲、 乙到达的时刻, 列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有 一艘在停靠泊位时必须等待约束条件, 利用线性规划作出平面区域, 利用几何概型概率公式 求出概率. 解答: 解:设甲到达的时刻为 x,乙到达的时刻为 y 则所有的基本事件构成的区域 Ω 满 足 ,

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 A 满足

,作出对应的平面区域如图

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率 P(A)=1﹣ 故答案为: . = ,

点评: 本题考查利用线性规划作出事件对应的平面区域, 再利用几何概型概率公式求出事 件的概率. 15. (5 分)在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,给出以下命题: ①直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°; ②动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 1+ ; ③若 N 是线段 AC1 上的动点,则直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值范围是[ ④若 P、Q 是线段 AC 上的动点,且 PQ=1,则四面体 PQB1D1 的体积恒为 则上述命题中正确的有①③④. (填写所有正确命题的序号) . ,1];

考点: 棱柱的结构特征;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;简易逻辑. 分析: ①先证明 A1B 与 A1D 所成角为 60°,又 B1C∥A1D,可得直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°,判断①正确; ②将面 AB1 与面 A1C1 展开,那么动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 判断② 错误; ③由平面 BDC1⊥平面 ACC1,结合线面角的定义分别求出直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值 最大值与最小值判断③正确; ④在 PQ 变化过程中,四面体 PQB1D1 的顶点 D1 到底面 B1PQ 的距离不变,底面积不变,则体积 不变,求出体积判断④正确. 解答: 解: ①在△A1BD 中, 每条边都是 , 即为等边三角形, ∴A1B 与 A1D 所成角为 60°,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 又 B1C∥A1D,∴直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°,正确; ②将面 AB1 与面 A1C1 展开, 那么动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 AC1, AC1= , 错误; ③如图,由正方体可得平面 BDC1⊥平面 ACC1,当 N 点位于 AC1 上,且使 CN⊥平面 BDC1 时, 直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值最大为 1, 当 N 与 C1 重合时,连接 CN 交平面 BDC1 所得斜线最长,直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值 最小等于 , ,1],正确;

∴直线 CN 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值范围是[

④连接 B1P,B1Q,设 D1 到平面 B1AC 的距离为 h,则 h= 则四面体 PQB1D1 的体积 V=

,B1 到直线 AC 的距离为 ,正确.



∴正确的命题是①③④. 故答案为:①③④ 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用, 考查了空间点线面的位置关系, 考查了空间想 象能力和思维能力,是中档题. 三、解答题(共 6 个题,共 75 分,要求写出解答过程) 16. (12 分)每年暑期,学校老师都会要求学生在家附近的图书馆查阅大量学习资料,如图 所示的茎叶图中记录了暑期中甲组 3 名同学去图书馆 A 查阅资料的次数和乙组 4 名同学去图 书馆 B 查阅资料的次数.且乙组同学去图书馆 B 查阅资料次数的平均数是 9.25. (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)在茎叶图中,从查阅资料次数大于 8 的同学中任选 2 名, 求选出的 2 名同学查阅资料的次数之和大于 20 的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (1)直接利用平均数定义求出 x 值

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)用列举法列举所有的基本事件有 10 个,满足这两名同学分别在两个图书馆学习且 学 习的次数和大于 20 的基本事件有 7 个,根据古典概型概率计算公式求得结果. 解答: 解: ( I)在茎叶图中, (x+8+9+12)=9.25,解得 x=8, ( II)茎叶图中,查阅资料次数大于 8 的同学共 5 人,设 其中查阅资料次数为 9 的二个同 学分别为 a,b,查阅资料次数为 11 的同学为 c,查阅资料次数为 12 的二个同学分别为 d, e,从中任选两人的结果共 10 种:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 其中查阅资料的次数之和大于 20(记为事件 A )的结果共有 7 个:ad,ae,bd,be,cd, ce,de ∴P(A)= .

点评: 本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用,茎叶图的应用,属于基础题. 17. (12 分)如图.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 O 为 B1D1 的中点.求证: (Ⅰ)AO∥面 BC1D; (Ⅱ)AO⊥BD.

考点: 直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)连接 AC 与 BD 交于 G 点,连接 OC1,GC1,由 OC1∥AG,OC1=AG,可得 OA∥GC1, 从而可证 OA∥平面 C1BD. (Ⅱ)连接 OO1,∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 O 为 B1D1 的中点,得到 OO1⊥平面 ABCD,由 线面垂直的性质得到 OO1⊥BD, 结合 AC⊥BD, 可得 BD⊥平面 AOO1, 再由线面垂直的性质可证. 解答: 证明: (Ⅰ)连接 AC,BD 交于 G 点,连接 OC1,GC1,

∴在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,OC1∥AG,OC1=AG, ∴四边形 OC1AG 为平行四边形, ∴OA∥GC1, 又 GC1? 平面 C1BD,OA?平面 C1BD, ∴OA∥平面 C1BD.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)连接 OO1,∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 O 为 B1D1 的中点, ∴OO1⊥平面 ABCD, ∴OO1⊥BD, 又∵AC⊥BD, ∴BD⊥平面 AOO1 ∴AO⊥BD. 点评: 本题考查了正方体性质的运用以及线面平行、 线面垂直的判定定理和性质定理的运 用,考查了学生的空间想象能力,属于基础题. 18. (12 分)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,两家商场对购买该商品的顾客奖 励方案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每 个扇形圆心角均为 20°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场: 从装有 3 个白球 2 个红球 1 个黄球的盒子中一次性随机地摸出 2 个球, 如果摸到的 是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 分别计算两种方案中奖的概率.先记出事件,得到试验发生包含的所有事件,和符 合条件的事件,由等可能事件的概率公式得到. 解答: 解:设甲、乙商场中奖的事件分别为 A,B,则 P(A)= = ,?(4 分)

对乙商场:设三个白球分别为 a,b,c、黄球为 d、二个红球分别为 x,y,从盒中随机地摸 出 2 个球的结果共 15 种: ab,ac,ad,ax,ay,bc,bd,bx,by,cd,cx,xy,dx,dy,xy ?(8 分) 其中是 2 个红球的结果共 1 种,P(B)= ?(10 分)

∴P(A)>P(B) ,即在购买该商品的顾客在甲商场中奖的可能性大.?(12 分) 点评: 本题考查等可能事件的概率计算,关键是正确列举事件的全部情况. 19. (12 分)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在线段 AB 与 BC 上,且满足: BE=BF= BC,将△AED,△DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 P,并连结 PB. (Ⅰ)求证:面 PDF⊥面 PEF; (Ⅱ)求四棱锥 P﹣BFDE 的体积.

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考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由折叠前四边形 ABCD 为正方形,可得折叠后 PD⊥PE,PD⊥PF,结合线面垂 直的判定定理可得 PD⊥平面 PEF,进而由面面垂直的判定定理,得到答案. (Ⅱ)当 BE=BF= BC 时,计算出△EFD,△EFB 的面积,点 P 到平面 BEDF 的距离,进而求四 棱锥 P﹣BEDF 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:折起前 AD⊥AE,CD⊥CF,

折起后,PD⊥PE,PD⊥PF. (2 分) ∵PE∩PF=P,∴PD⊥平面 PEF, (4 分) ∵PD? 平面 PDF,∴面 PDF⊥面 PEF; (6 分) (Ⅱ)解:当 BE=BF= BC 时,由(1)可得 PD⊥平面 PEF. (7 分) 此时, ,S△BEF= ,S△ADE=S△CDF= = = (10 分) = = (11 分) =1. (8 分) = (9 分)

△PEF 的高为 h1= ∴S△PEF= ∴VD﹣PEF= =

∵S△DEF=SABCD﹣S△BEF﹣S△ADE﹣S△CDF=4﹣ ﹣1﹣1= (12 分) 设点 P 到平面 BEDF 的距离为 h,则 VP﹣DEF= ∵VD﹣PEF=VP﹣DEF,∴ = h, 解得 h= (13 分) ∴四棱锥 P﹣BEDF 的体积 VP﹣BEDF= (S△DEF+S△BEF)h= )× = . (14 分) = h

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,点,线,面的距离计算, (1)的关键 是熟练掌握空间线线垂直 ,线面垂直与面面垂直之间的相互转化, (2)的关键是等积法的 熟练应用. 20. (13 分) 已知命题 p:? x∈R,x +2x﹣m=0;命题 q:? x∈R,mx +mx+1>0. (Ⅰ)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若命题 q 为假命题,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)若命题 p∨q 为真命题,且 p∧q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;全称命题. 专题: 简易逻辑. 2 分析: ( I)若命题 p 为真命题,则 x +2x﹣m=0 有实数根,根据△≥0,解出即可; (II)若命题 q 为假命题,通过讨论(1)m=0 时, (2)m>0 时, (3)m<0 时的情况,从而 得到答案. (III)通过讨论“p 真,q 假”或“p 假,q 真”的情况,得到不等式组,解出即可. 2 解答: 解: ( I)若命题 p 为真命题,则 x +2x﹣m=0 有实数根, ∴△=4+4m≥0,解得:m≥﹣1, 即 m 的取值范围为[﹣1,+∞) ; (II)若命题 q 为假命题,则 (1)m=0 时,不合题意; 2 (2)m>0 时,△=m ﹣4m≥0,解得:m≥4; (3)m<0 时,符合题意. 综上:实数 m 的取值范围为(﹣∞,0)∪[4,+∞) . (III)由( I)得 p 为真命题时,m≥﹣1;p 为假命题时,m<﹣1, 由(II)得 q 为真命题时,0≤m<4;q 为假命题时,m<0 或 m≥4, ∵p∨q 为真命题,且 p∧q 为假命题,∴“p 真,q 假”或“p 假,q 真” ∴ 或 ,
2 2

解得实数 m 的取值范围为[﹣1,0)∪[4,+∞) . 点评: 本题考查了复合命题的真假,考查了二次函数的性质,考查了分类讨论思想,是一 道基础题. 21. (14 分)如图,在四面体 ABCD 中,AD⊥平面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 ,M 是 AD 的 中点,P,Q 分别是 BM 与 CD 的中点, (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ADC; (Ⅱ)若 DC=BC,求 PQ 与平面 BCM 所成角的正弦值; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,线段 BD 上是否存在点 E,使得平面 PQE⊥平面 BCM?若存在, 确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

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考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)证明 AD⊥BC,利用 BC⊥CD,可得 BC⊥平面 ADC; (Ⅱ)以垂直于 BD 的直线为 x 轴,DB 为 y 轴,DA 为 z 轴,建立如图所示的坐标系,求出平 面 BCM 的法向量,即可求 PQ 与平面 BCM 所成角的正弦值; (Ⅲ)设 E(0,m,0) ,求出平面 PQE 的法向量,利用向量的数量积公式,即可得出结论. 解答: (Ⅰ)证明:∵AD⊥平面 BCD,BC? 平面 BCD, ∴AD⊥BC, ∵BC⊥CD,AD∩CD=D, ∴BC⊥平面 ADC; (Ⅱ)解:以垂直于 BD 的直线为 x 轴,DB 为 y 轴,DA 为 z 轴,建立如图所示的坐标系,则 P(0, , ) ,Q( , ,0) ,B(0,2 , 0) ,C( , ,0) ,M(0,0,1)

设平面 BCM 的法向量为 =(x,y,z) ,则 ∵ ∴ =( ,﹣ ,0) , =(﹣2,﹣2,1) ,

,∴ =(1,1,4) ,



=(

,﹣

,﹣ ) ,

∴PQ 与平面 BCM 所成角的正弦值为

=



(Ⅲ) 解: 设 E(0,m,0) ,设平面 PQE 的法向量为 =(a,b,c) ,则 ∵ =( ,﹣ ,﹣ ) , =(0,m﹣ ,﹣ )





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∴ =(



,2) ,

由 ? =0 可得

+

+8=0,

∴m=

,即 E(0,

,0) .

点评: 本题考查线面垂直,考查平面与平面垂直的判定,考查线面角,考查学生分析解决 问题的能力,正确运用向量法是关键.


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