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4苏州市2014届高三调研测试数学(文)试题参考答案


苏州市 2014 届高三第一次质量检测数学试题
(本题满分 160 分,时间 120 分钟) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相印位置上.)
1.已知集合 A ? { x | x < 2 },B ? { ?1,0,2,3 },则 A∩B ? ▲ .

2.已知 i 为虚数单位,计算 (1 ? 2i)(1 ? i)2 =





3.若函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ( 0 ? ? ?

π π )的图象关于直线 x ? 对称,则 θ ? 2 6





4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 S5 = 5,S9 = 27,则 S7 =





1

5.若圆锥底面半径为 1,高为 2,则圆锥的侧面积为





6.运行右图所示程序框图,若输入值 x?[?2,2],则输出值 y 的取值范围是





7.已知 sin( x ?

π 3 π 4 ) ? , sin( x ? ) ? ,则 tan x = 4 5 4 5





2

8.函数 y ? ex ? ln x 的值域为





9.已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60° , c = t a ?(1 ? t) b ,若 b · c = 0,则实数 t 的值为 ▲



10.已知 m?{?1, 0, 1}, n?{?1, 1}, 若随机选取 m, n, 则直线 mx ? ny ? 1 ? 0 恰好不经过第二象限的概率是





考 点:古典概型概率,直线方程中斜率与系数关系.
2 ? ? x ? x ( x≥0), 11.已知 f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x2 ? x ? 1) ? 12 的解集是 2 ? ?? x ? x ( x ? 0)





3

12.在直角坐标系 xOy 中,已知 A(?1,0) ,B(0,1) ,则满足 PA2 ? PB 2 ? 4 且在圆 x2 ? y 2 ? 4 上的点 P 的个数 为 ▲ .

13.已知正实数 x,y 满足 xy ? 2 x ? y ? 4 ,则 x ? y 的最小值为



14.若

m2 x ? 1 ? 0 (m ? 0)对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的取值范围是 mx ? 1



【答案】 m ? ? 【解析】

1 2

4

二、解答题 (本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
15.(本题满分 14 分)

1 在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cos C ? c ? b . 2
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 15 , b ? 4 ,求边 c 的大小.

(2) 用余弦定理,得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A.

5

16.(本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,平面 PCD⊥平面 ABCD,M 为 PC 中点.求证: (1)PA∥平面 MDB; (2)PD⊥BC.

6

17.(本题满分 14 分) 甲、 乙两地相距 1000 km , 货车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过 80 km/h , 已知货车每小时的运输成本 (单 位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的

1 倍,固定成本为 a 元. 4

(1)将全程运输成本 y(元)表示为速度 v( km/h )的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?

7

18.(本题满分 16 分) 如图,已知椭圆
x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A(2,0) ,点 P(2e, )在椭圆上(e 为椭圆的离心率) . 2 a b 2

(1)求椭圆的方程; (2)若点 B,C(C 在第一象限)都在椭圆上,满足 OC ? ? BA ,且 OC ? OB ? 0 ,求实数 λ 的值.

8


(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 4,? xc ? 2 1 ? 4k 2 .

9

19.(本题满分 16 分) 设数列{an}满足 an?1 = 2an ? n2 ? 4n ? 1. (1)若 a1 ? 3,求证:存在 f (n) ? an2 ? bn ? c (a,b,c 为常数) ,使数列{ an ? f(n) }是等比数列,并求出数列 {an}的通项公式; (2)若 an 是一个等差数列{bn}的前 n 项和,求首项 a1 的值与数列{bn}的通项公式.

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20.(本题满分 16 分)

b 已知 a,b 为常数,a ? 0,函数 f ( x) ? (a ? ) e x . x
(1)若 a = 2,b = 1,求 f ( x) 在(0,?∞)内的极值; (2)① 若 a > 0,b > 0,求证: f ( x) 在区间[1,2]上是增函数; ② 若 f (2) ? 0 , f (?2) ? e?2 ,且 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数,求由所有点 (a, b) 形成的平面区域的面积.

11

域.

12

由所有点 ( a, b) 形成的平面区域为 ?OAB (如图所示),

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