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高中数学必修2-3第一章1.2 1.2.1第1课时排列的综合应用


第 2 课时 排列的综合应用

无限制条件的排列问题 (1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的 送法? (2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? [解] (1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学, 对应于从 5 个不同元素中任取 3 3 个

元素的一个排列,因此不同送法的种数是:A5=5×4×3=60,所以,共有 60 种不同的 送法. (2)由于有 5 种不同的书,送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法,因此送给 3 名同学,每人各 1 本书的不同方法种数是:5×5×5=125,所以,共有 125 种不同的送法. 本题两小题的区别在于:第(1)小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学, 各人得到的书不同,属于求排列数问题;而第(2)小题中,给每人的书均可以从 5 种不同的 书中任选 1 本,各人得到哪本书相互之间没有联系,要用分步乘法计数原理进行计算.

1.将 3 张电影票分给 10 人中的 3 人,每人 1 张,共有________种不同的分法. 解析:问题相当于从 10 张电影票中选出 3 张排列起来,这是一个排列问题.故不同分 法的种数为 A3 10=10×9×8=720. 答案:720

元素“在”与“不在”问题 [学生用书 P13] 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字 (1)可以组成多少个数字不重复的三位数? (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数? [解] (1)分三步: ①先选百位数字,由于 0 不能作百位数字,因此有 5 种选法; ②十位数字有 5 种选法; ③个位数字有 4 种选法. 由分步乘法计数原理知所求三位数共有 5×5×4=100 个. (2)分三步:①百位数字有 5 种选法;②十位数字有 6 种选法;③个位数字有 6 种选法.

故所求三位数共有 5×6×6=180 个. (3)分三步:①先选个位数字,有 3 种选法;②再选百位数字,有 4 种选法;③选十位 数字也有 4 种选法,所以所求三位奇数共有 3×4×4=48 个. 1. “在”与“不在”的有限制条件的排列问题, 既可以从元素入手, 也可以从位置入手, 原则是谁“特殊”谁优先. 2.从元素入手时,先给特殊元素安排位置,再把其他元素安排在剩余位置上;从位置 入手时,先安排特殊位置,再安排其他位置.注意:无论从元素考虑还是从位置考虑,都要 贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置.

2.(1)从 a,b,c,d,e 五人中选 2 人分别参加数学和物理竞赛,但 a 不能参加物理竞 赛,则不同的选法有( ) A.16 种 B.12 种 C.20 种 D.10 种 解析:选 A.先选一人参加物理竞赛有 A1 4种方法,再从剩下的 4 人中选 1 人参加数学竞 1 1 1 赛,有 A4种方法,共有 A4·A4=16 种方法. (2)六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? ①甲不站两端; ②甲、乙站在两端; ③甲不站左端,乙不站右端. 解:①法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个,有 A1 4种站法, 5 然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 A5种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法 5 A1 4·A5=480 种. 法二:由于甲不站两端,这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站,有 A2 5种站法, 4 2 4 然后其余 4 人有 A4种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法 A5·A4=480 种. 5 法三:若对甲没有限制条件共有 A6 6种站法,甲在两端共有 2A5种站法,从总数中减去 6 5 这两种情况的排列数,即得所求的站法数,共有 A6-2A5=480 种. ②首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有 A2 2种,再让其他 4 人在中间位置作全排列, 4 2 4 有 A4种,根据分步乘法计数原理,共有 A2·A4=48 种站法. 5 ③法一:甲在左端的站法有 A5 5种,乙在右端的站法有 A5种,且甲在左端而乙在右端的 6 5 4 站法有 A4 4种,共有 A6-2A5+A4=504 种站法. 法二:以元素甲分类可分为两类:a.甲站右端有 A5 5种,b.甲在中间 4 个位置之一,而乙 1 1 4 5 1 1 4 不在右端有 A4·A4·A4种,故共有 A5+A4·A4·A4=504 种站法.

元素“相邻”与“不相邻”问题 [学生用书 P13] 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法的种数. (1)全体站成一排,男、女各站在一起; (2)全体站成一排,男生必须站在一起; (3)全体站成一排,男生不能站在一起; (4)全体站成一排,男、女各不相邻.

[解] (1)男生必须站在一起是男生的全排列,有 A3 3种排法; 4 女生必须站在一起是女生的全排列,有 A4种排法; 全体男生、女生各视为一个元素,有 A2 2种排法. 3 4 2 由分步计数原理知,共有 A3·A4·A2=288 种排队方法. (2)三个男生全排列有 A3 3种方法,把所有男生视为一个元素,与 4 名女生组成 5 个元素 5 5 全排列,有 A5种排法.故有 A3 3·A5=720 种排队方法. (3)先安排女生, 共有 A4 男生在 4 个女生隔成的五个空中安排, 共有 A3 4种排法; 5种排法, 4 3 故共有 A4·A5=1 440 种排法. (4)排好男生后让女生插空, 4 共有 A3 3·A4=144 种排法. 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题, 一般用“捆绑法”, 先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列, 然后 再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元 素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.

3.(1)六个停车位置,有 3 辆汽车需要停放,若要使三个空位连在一起,则停放的方法 数为( ) A.A4 B.A3 4 6 3 C.A4 D . A 6 3 解析:选 A.把 3 个空位看作一个元素,与 3 辆汽车共 4 个元素全排列.故选 A. (2)某次文艺晚会上共演出 8 个节目,其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目,求分别 满足下列条件的节目编排方法有多少种? ①一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台; ②2 个唱歌节目互不相邻; ③2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻. 6 2 解:①先排唱歌节目有 A2 A6 2种排法,再排其他节目有 A6种排法,所以共有 A2· 6=1 440 种排法. ②先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A6 6种排法,再从其中 7 个空(包括两端)中选 2 6 2 个排唱歌节目,有 A2 种插入方法,所以共有 A 7 6·A7=30 240 种排法. ③把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素,与 3 个曲艺节目排列共 A4 4种排法,再将 3 个 3 舞蹈节目插入,共有 A5种插入方法,最后将 2 个唱歌节目互换位置,有 A2 2种排法,故所求 4 3 2 排法共有 A4·A5·A2=2 880 种排法.

易错警示

重复计数与遗漏计数而致误

3 名男生和 3 名女生站成一排,任何 2 名男生都不相邻,任何 2 名女生也不相邻, 共有多少种排法? 3 [解] 第一步,3 名男生站成一排,有 A3 种排法; 第二步,插入女生,女生只能插入 3 名男生形成的前 3 个空或后 3 个空中,有 2A3 3种插 法. 3 由分步乘法计数原理知共有 2A3 3·A3=72 种排法. [错因与防范] (1)解答本题错解为先让 3 名男生站成一排,有 A3 3种排法;再让 3 名女

生插入 3 名男生形成的 4 个空中,有 A3 4种插法. 3 3 由分步乘法计数原理,共有 A3A4=144 种不同的排法. 此解法只能保证女生不相邻,并不能保证先排的男生不相邻,如排法:女男女男男女. (2)解答排列问题中常见的基本方法 ①对于有特殊元素或特殊位置的排列, 一般采用“直接法”, 即先排特殊元素或特殊位 置. ②对于某些元素必须相邻的排列, 通常采用“捆绑法”, 即可以把相邻元素看作一个整 体参与其他元素排列. ③对于某些元素不相邻的排列, 通常采用“插空法” , 即先考虑不受限制的元素的排列, 再将不相邻的元素插入这些元素排列的空当中. ④对于某些元素有顺序限制的排列, 可以先不考虑顺序限制进行排列, 然后利用间接法 求结果. ⑤对于需要分类讨论的排列应用题,应正确分类,在每一次分类时,一定要做到不重不 漏.

4.(2014· 高考北京卷)把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与 产品 C 不相邻,则不同的摆法有________种. 4 解析:产品 A,B 相邻时,不同的摆法有 A2 2×A4=48 种.而 A,B 相邻,A,C 也相邻 3 时的摆法为 A 在中间,C,B 在 A 的两侧,不同摆法的种数有 A2 2×A3=12. 故产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻的不同摆法的种数为 48-12=36. 答案:36

1.用数字 1,2,3,4,6 可以组成无重复数字的五位偶数有( ) A.48 个 B.64 个 C.72 个 D.90 个 4 解析:选 C.满足条件的五位偶数有 A1 3·A4=72.故选 C. 2.(2014· 高考辽宁卷)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A.144 B.120 C.72 D.24 解析:选 D.先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有 4 个位置,再把三人带椅子插 放在四个位置,共有 A3 4=24 种放法,故选 D. 3.用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一个七位数,要求在其偶数位上必须 是偶数,奇数位上必须是奇数,则这样的七位数有________个. 3 4 3 解析:先排奇数位有 A4 4种,再排偶数位有 A3种,故共有 A4A3=144 个. 答案:144 4 . (2015· 莆田高二检测 )两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩,购票后排队依次入 园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人的入 园顺序排法种数为________. 解析:分 3 步进行分析, ①先安排两位爸爸,必须一首一尾,有 A2 2=2 种排法, ②两个小孩一定要排在一起,将其看成一个元素,考虑其顺序有 A2 2=2 种排法,

③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列,有 A3 3=6 种排法. 则共有 2×2×6=24 种排法. 答案:24

[A.基础达标] 1.6 个人站成前后两排照相,要求前排 2 人,后排 4 人,那么不同的排法有( ) A.360 种 B.520 种 C.640 种 D.720 种 解析:选 D.因为前 2 后 4 与 6 人站成一排排法完全相同, 故不同排法的种数为 A6 6=6!=720. 2.5 人排成一排,其中甲,乙至少一个在两端的排法种数为( ) A.6 B.84 C.24 D.48 5 3 5 2 3 解析:选 B.5 人全排列有 A5种,甲,乙都不在两端的排法有 A2 3A3种,共有 A5-A3A3= 84 种不同的排法. 3.(2015· 山西大学附中月考)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其 中个位数字小于十位数字的只有( ) A.210 个 B.300 个 C.464 个 D.600 个 解析: 选 B.没有重复数字的五位数有 5×A4 个位数字小于十位数字的有 5=600 个, 600 = 2

300 个.故选 B. 4.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中 奇数的个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6 解析:选 B.若选 0,则 0 只能在十位,此时组成的奇数的个数是 A2 3;若选 2,则 2 只能 2 在十位或百位,此时组成的奇数的个数是 2×A3=12,根据分类加法计数原理得总个数为 6 +12=18. 5.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人 参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有( ) A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种 解析:选 A.分类完成,甲排周一, 乙、 丙只能从周二至周五这 4 天中选 2 天排,有 A2 4种 2 安排方法;甲排周二,乙、丙有 A3种安排方法;甲排周三,乙、丙只能排周四和周五,有 2 2 2 A2 2种安排方法.由分类加法计数原理可知,不同的安排方法共有 A4+A3+A2=20 种. 6.有 8 名男生和 3 名女生,从中选出 4 人分别担任语文、数学、英语、物理学科的课 代表,若某女生必须担任语文课代表,则不同的选法共有________种(用数字作答). 解析:由题意知,从剩余 10 人中选出 3 人担任 3 个学科课代表,有 A3 10=720 种. 答案:720 7.从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则选派方案共有________种.

3 解析:没有女生的选法有 A3 4种,一共有 A7种选法,则至少有 1 名女生的选派方案共有 3 A3 7-A4=186 种. 答案:186 8.(2015· 揭阳高二检测)某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成 一排, 其中甲、 乙两种必须排在一起, 而丙、 丁两种不能排在一起, 不同的排法共有________ 种. 解析:甲、乙作为元素集团,内部有 A2 “甲、乙”元素集团与“戊”全排列有 2种排法, 2 2 A2种排法.将丙、丁插在 3 个空中有 A3种方法. 2 2 所以由分步乘法计数原理,共有 A2 2A2A3=24 种排法. 答案:24 9.分别求出符合下列要求的不同排法的种数. (1)6 名学生排 3 排,前排 1 人,中排 2 人,后排 3 人; (2)6 名学生排成一排,甲不在排头也不在排尾; (3)6 人排成一排,甲、乙不相邻. 解:(1)分排与直排一一对应,故排法种数为 A6 6=720. 5 (2)甲不能排头尾,让受特殊限制的甲先选位置,有 A1 4种选法,然后其他 5 人排,有 A5 5 种排法,故排法种数为 A1 4A5=480. (3)甲、乙不相邻,第一步除甲、乙外的其余 4 人先排好;第二步,甲、乙在已排好的 4 2 人的左、右及之间的空位中排,共有 A4 4A5=480 种排法. 10.用 1,2,3,4,5,6,7 排出无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个? (1)偶数不相邻; (2)偶数一定在奇数位上; (3)1 和 2 之间恰夹有一个奇数,没有偶数. 3 解:(1)用插空法,共有 A4 4A5=1 440 个. 4 (2)先把偶数排在奇数位上有 A3 再排奇数有 A4 所以共有 A3 4种排法, 4种排法, 4A4=576 个. (3)在 1 和 2 之间放一个奇数有 A1 把 1, 2 和相应的奇数看成整体和其他 4 个数 3种方法, 5 2 1 5 进行排列有 A5种排法,所以共有 A2A3A5=720 个. [B.能力提升] 1.(2014· 高考四川卷)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排 甲,则不同的排法共有( ) A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 解析:选 B.若最左端排甲,其他位置共有 A5 5=120 种排法;若最左端排乙,最右端共 4 有 4 种排法,其余 4 个位置有 A4=24 种排法,所以共有 120+4×24=216 种排法. 2.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现 从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数” 有( ) A.120 个 B.80 个 C.40 个 D.20 个 2 解析:选 C.①当十位是 3 时,个位与百位从 1,2 中选有 A2 种选法; ②当十位是 4 时,个位与百位有 A2 种选法; 3 ③当十位是 5 时,个位与百位有 A2 4种选法; ④当十位是 6 时,个位与百位有 A2 5种选法, 2 2 2 2 则伞数有 A2+A3+A4+A5=2+6+12+20=40 个,故选 C.

3.用 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位偶数有________个. 解析:0 在个位的四位偶数的个数为 A3 5;0 不在个位时,先从 2,4 中选一个放在个位, 1 2 1 再从余下四个数(不含 0)中选一个放首位, 应有 A1 故所求四位偶数有 A3 2×A4×A4个, 5+A2× 2 A1 4×A4=156 个. 答案:156 4.将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也 互不相同,则不同的排列方法共有________种. 解析:先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有 A3 3种不同的排法. 1 再排第二列,其中第二列第一行的字母共有 A2种不同的排法,第二列第二、三行的字 母只有 1 种排法. 1 因此共有 A3 3·A2·1=12 种不同的排列方法. 答案:12 5.7 名班委中有 A、B、C 三人,有 7 种不同的职务,现对 7 名班委进行职务具体分工. (1)若正、副班长两职只能从 A、B、C 三人中选两人担任,有多少种分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选 A、B、C 三人中的一人担任,有多少种分工方案? 5 解:(1)先排正、副班长有 A2 3种方法,再安排其余职务有 A5种方法,依分步乘法计数原 5 理,知共有 A2 3A5=720 种分工方案. 2 (2)7 人中任意分工方案有 A7 7种,A、B、C 三人中无一人任正、副班长的分工方案有 A4 7 2 5 A5 5种,因此 A、B、C 三人中至少有一人任正、副班长的方案有 A7-A4A5=3 600 种. 6.从-3,-2,-1,0,1,2,3,4 八个数字中任取 3 个不同的数字作为二次函数 y =ax2+bx+c 的系数 a,b,c,问: (1)共能组成多少个不同的二次函数? (2)在这些二次函数中,图象关于 y 轴对称的有多少个? 解:(1)法一:(直接法——优先考虑特殊位置): ∵a≠0,∴确定二次项系数有 7 种,确定一次项和常数项有 A2 7种. 2 ∴共有 7A7=294 个不同的二次函数. 法二:(直接法——优先考虑特殊元素):a,b,c 中不含 0 时,有 A3 7个;a,b,c 中含 2 3 2 有 0 时,有 2A7个,故共有 A7+2A7=294 个不同的二次函数. 2 法三:(间接法):共可构成 A3 8个函数,其中 a=0 时有 A7个均不符合要求,从而共有 2 A3 8-A7=294 个不同的二次函数. (2)依题意 b=0,所以共有 A2 7=42 个符合条件的二次函数.


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