kl800.com省心范文网

常见数列通项公式的求法


常见数列通项公式的求法
1.利用等差等比数列通项公式 例 1 :设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13 ,求 {an } , {bn } 的通项公式。
4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, d 解:设 ?an ? 的公

差为 , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 . 相关高考 1: 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 . 求数列 {an } 的通项 an 。 解:由已知得 ?

? ?a1 ? 2 ? 1, ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2

,? d ? 2 , 故 an ? 2n ?1 ? 2 .

相关高考 2:实数列 {a n }是 等比数列, a 7 ? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列,求数列 {an } 的通项 an 。 解:设等比数列 ?an ? 的公比为 q (q ? R ) , 由 a7 ? a1q6 ? 1,得 a1 ? q?6 ,从而 a4 ? a1q3 ? q?3 , a5 ? a1q4 ? q?2 , a6 ? a1q5 ? q?1 . 因为 a4,a5 ? 1 ,a6 成等差数列,所以 a4 ? a6 ? 2(a5 ? 1) , 即q ?q 所以 q ?
?3 ?1

? 2(q?2 ? 1) , q?1 (q?2 ? 1) ? 2(q?2 ? 1) .
n ?1

1 ?1? .故 an ? a1q n?1 ? q ?6 ? q n?1 ? 64 ? ? 2 ?2?



2.利用数列的前 n 项和, an ? ?

? a1 ? S1 , n ? 1 ? Sn ? Sn?1 , n ? 2
1 ak ak ?1 ( k ? N*),其中 a1=1.Z 求数列 ak 。 2

例 2:各项全不为零的数列{ak}的前 k 项和为 Sk,且 Sk=

解:当 k ? 1 ,由 a1 ? S1 ?

1 a1a2 及 a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 . 2 1 1 ak ak ?1 ? ak ?1ak ,得 ak (ak ?1 ? ak ?1 ) ? 2ak . 2 2

当 k ? 2 时,由 ak ? S k ? S k ?1 ?

因为 ak ? 0 ,所以 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 .从而 a2m?1 ? 1 ? (m ?1)? 2 ? 2m ?1 .

a2m ? 2 ? (m ?1)? 2 ? 2m , m ? N* .故 ak ? k (k ? N* ) .
第 1 页 共 11 页

相关高考 1:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,则其通项 an ? 2 n ? 10 ;若它的第 k 项满足

5 ? ak ? 8 ,则 k ? 8 .
相关高考 2:设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2 n ?1

an ?

n * , a ? N .求数列 ?an ? 的通项。 3

解: a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ...3
2

n ?1

an ?

n , 3

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ?
an ? 1 (n ? 2 ) . 3n

n ?1 (n ? 2), 3

3n ?1 an ?

n n ?1 1 ? ? (n ? 2). 3 3 3

验证 n ? 1 时也满足上式, an ?

1 (n ? N * ). n 3

相关高考 3:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .求数列 ?an ? 的通项 an 解: (I)∵an+1=2Sn,, ∴Sn+1-Sn=2Sn, ∴

S n ?1 =3. 又∵S1=a1=1, Sn

∴数列{Sn}是首项为 1、公比为 3 的等比数列,Sn=3n-1(n∈N*). ∴当 n ? 2 时,an-2Sn-1=2·3n-2(n ? 2), ∴an= ?

? ,n ? 1 ?1 , n ? 2. n?2 ? 2 · 3 ?


相关高考 4:已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S1 ? 1 ,且 6Sn ?(an ?1 )( an ? 2)

n ? N .求 ?an ? 的通项公式。
解:由 a1 ? S1 ?

1 (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 ,由假设 a1 ? S1 ? 1 ,因此 a1 ? 2 , 6 1 1 (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) , 6 6

又由 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ?

得 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 3) ? 0 , 即 an?1 ? an ? 3 ? 0 或 an?1 ? ?an ,因 an ? 0 ,故 an?1 ? ?an 不成立,舍去. 因此 an?1 ? an ? 3 ,从而 ?an ? 是公差为 3 ,首项为 2 的等差数列, 故 ?an ? 的通项为 an ? 3n ? 1 .

第 2 页 共 11 页

3.利用递推关系 3.1 递推关系 ?

?an ?1 ? an ? f ? n ? 其中 a 为常数 ? a1 ? a

由递推式得 a2 ? a1 ? f ?1? , a3 ? a2 ? f ? 2? ,?, an ? an?1 ? f ? n ?1? ,诸式相加,得

an ? a k,即为累加法求数列通项公式。 1 ? ? f? ?
k ?1

n ?1

, 2, 3, ?) 例 3:数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 ,且 a1,a2,a3 成公比不
为 1 的等比数列.求 ?an ? 的通项公式. 解: a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c ,因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 所以 (2 ? c)2 ? 2(2 ? 3c) , 解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, 不符合题意舍去, 故c ? 2. a1 ? a2 ? a3 , 当 n ≥ 2 时,由于 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c , ?? an ? an?1 ? (n ?1)c , 所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?

n(n ? 1) c. 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2, 3, ?) .当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 , 2, ?) . 相关高考 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解:当 n ? 2 时, an ? a1 ?

1 1 , an ? an ?1 ? 2 ? n ? 2 ? ,求数列 ?an ? 的通项公式。 2 n ?1
1
2

?
k ?1

n ?1

? k ? 1?

?1

? a1 ? ?

n ?1 1 1 ?1 1 ? ? a1 ? ? ? ? ? ? k ?2? k ?1 ? k ? 2 ? k k ?1 2 ? k

n ?1

?

1 1 n?1 ? 1 1 ? 1 1? 1 1 1 ? 5 2n ? 1 ? ?? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? 2 2 k ?1 ? k k ? 2 ? 2 2 ? 2 n n ? 1 ? 4 2n ? n ? 1?

当 n ? 1 时,也满足上式,故 an ?

5 2n ? 1 。 ? 4 2n ? n ? 1?

相关高考 2:已知数列 ?an ? 满足 nan?1 ? ? n ?1? an ? 2 ,且 a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解: 两边同除以 n ? n ? 1? , 得
n ?1

2 an?1 an 2 , 令 bn ? an , 有: bn ?1 ? bn ? , 且 b1 ? 2 , ? ? n n ? n ? 2? n ? 1 n n ? n ? 1?
n ?1

从而 bn ? b1 ?

? ? k ? k ? 1? ? b ? 2? ? ? ? 4? , n ? k k ?1 ?
k ?1 1 k ?1

2

?1

1 ?

2

故 an ? nbn ? 4n ? 2 。

第 3 页 共 11 页

3.2 递推关系 ?

? an ?1 ? f ? n ? an 其中 a 为常数 ? a1 ? a

由递推式得 a2 ? f ?1? a1, a3 ? f ? 2? a2 ,?, an ? f ? n ?1? an?1 ,诸式相乘,得

an ? a k,即为累乘法求数列通项公式。 1 ? f? ?
k ?1

n ?1

例 4:已知数列 ?bn ? 的首项 b1 ? 1 ,其前 n 项和 S n ?

1 ? n ? 1? bn ,求数列 ?bn ? 的通项公式。 2

解:由 S n ?

1 1 n bn ?1 ? n ? 1? bn ,得 Sn?1 ? nbn?1 ? n ? 2 ? ,所以 bn ? Sn ? Sn?1 ? 2 2 n ?1

? n ? 2?



b b b2 2 b3 3 n , 诸式相乘得 n ? n , 即 bn ? n , 当 n ? 1 时也满足上式。 ? , ? ,? n ? b1 1 b2 2 bn?1 n ? 1 b1
故 bn ? n 。

相关高考:数列 ?an ? 满足 nan?1 ? 2 ? a1 ? a2 ? ?? an ? 且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解: nan?1 ? 2 ? a1 ? a2 ??? an ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ?? an?1 ? ? 2an ? ? n ?1? an ? 2an ? ? n ? 1? an , 即 an ?1 ?

n ?1 2 3 4 n an ,从而 an ? a1 ? ? ? ??? ? ? a1 ? n ? n 。 n 1 2 3 n ?1

3.3 递推关系 ?

? an ?1 ? pan ? q 其中 p, q, a 为常数且 p ? 1 ? a1 ? a

令 an?1 ? ? ? p ? an ? ? ? ,整理得 an?1 ? pan ? ? p ?1? ? ,所以 ? p ?1? ? ? q , 即? ?

? ? q q q ? q ? ,从而 an?1 ? ,所以数列 ?an ? ? p ? an ? ? 是等比数列。 ? p ?1 p ?1 p ?1 ? p ? 1? ? ?

例 5:已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) , n ? 1, 2,3,? 求 {an } 的通项公式。 解: an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) ? ( 2 ?1)(an ? 2) ? ( 2 ?1)(2 ? 2) ? ( 2 ?1)(an ? 2) ? 2 ,

an?1 ? 2 ? ( 2 ?1)(an ? 2) .
所以,数列 an ? 2 是首项为 2 ? 2 ,公比为 2 ? 1 的等比数列, an ? 2 ? 2( 2 ?1)n , 即 an 的通项公式为 an ?
n ? 2, 3, …. 2? ?( 2 ? 1) ? 1? , n ? 1,

?

?

第 4 页 共 11 页

1) an ? 相关高考 1:设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,
解:由 an ?

3 ? an ?1 ,n ? 2, 3, 4,… .求 {an } 的通项公式。 2

3 ? an ?1 1 ,n ? 2, 3, 4,…, 整理得 1 ? an ? ? (1 ? an ?1 ) . 又 1 ? a1 ? 0 , 2 2 1 ? 1? 的等比数列,得 an ? 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? 2 ? 2?
n ?1

所以 {1 ? an } 是首项为 1 ? a1 ,公比为 ?

相关高考 2:已知数列 ?an ? :3,5,7,9,…, 2n ? 1 ,…。另作一数列 ?bn ? ,使得 b1 ? a1 ,且 当 n ? 2 时, bn ? abn?1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式。 解:由已知得 an ? 2n ? 1, b1 ? a1 ? 3, bn ? abn?1 ? 2bn?1 ? 1,有 bn ? 1 ? 2 ? bn?1 ? 1? , 所以 bn ?1 ? ?b1 ? 1? ? 2
n?1

? 2n?1 ,故 bn ? 2n?1 ?1 。

2 6 相关高考 3:数列 ?an ? 中,设 an ? 0, a1 ? 1且 an ? an ?1 ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 2 6 解:由 an ? an ?1 ? 3 得 2log3 an ?1 ? log3 an ? 6 ,令 bn ? log3 an ,有 2bn?1 ? bn ? 6 ,则

1 ? 1? bn ?1 ? 2 ? ? ? bn ? 2 ? ,所以 bn ? 2 ? ? b1 ? 2? ? ? ? 2 ? 2?
从而 bn ? 2 ? ? ?2 ?
2?n

n ?1

? 1? ? ? log3 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2?

n ?1

? ? ?2 ?

2? n



,故 an ? 3

2 ? ? ?2 ?

2? n



3.4 递推关系 ?

?an ?1 ? pan ? f ? n ? 其中 p, a 为常数且 p ? 1 , f ? n ? 为非常数 ? a1 ? a
n ?1

由递推式 an?1 ? pan ? f ? n ? 两边同除以 p 的累加法可求。

, 得

an?1 an f ? n ? , 对此采用 3. 1 中所述 ? ? p n?1 p n p n?1

例 6:在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N? ) ,其中 ? ? 0 .求 an 。 解:由 an?1 ? ? an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ?N * ), ? ? 0, 可得

an ?1

? n?1

?2? ?? ? ???

n ?1

?

?2? ? ? ? ? 1, n ? ??? an

n

n n ? an ? 2 ? ? an ? 2 ? ? ? ? 所以 ? n ? ? ? ? 为等数列,其公差为 1,首项为 0.故 n ? ? ? n ? 1, ? ??? ??? ? ?? ? ?

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (n ? 1)? n ? 2n.

第 5 页 共 11 页

相关高考:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn 且满足 a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? n2 ? n ? 1 ,求 an 。 解:由 an?1 ? 2Sn ? n2 ? n ? 1 有: an ? 2 S n ?1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 1 ,两式相减得:
2

an?1 ? an ? 2an ? 2n ? 2 即: an?1 ? 3an ? 2n ? 2 ,两边同除以 3n ?1 ,得:
2 ? n ? 1? an ?1 an 2n ? 2 an a 1 ? n ? n ?1 ,令 bn ? n , b1 ? 1 ? ,从而 ,则 bn ?1 ? bn ? n ?1 n ?1 3 3 3 3 3 3 3

bn ? b1 ? ?
故 an ?

n ?1 k ? 1 2 ? k ? 1? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2n ?1 ? ? 1 ? 2n ?1 。 ? ? 2 ? ? ? k ?1 k ?1 3 3 3 4?3 3n ? 2 2 ? 3n k ?1 k ?1 3 n ?1

3n 1 ?n? 。 2 2

3.5 递推关系 ?

?an ?1 ? pan ? qan ?1 ? n ? 2 ? 其中 p, q, a, b 为常数 ? a1 ? a , a2 =b

3.5.1 若 p ? q ? 1时, p ? 1 ? q ,即 an?1 ? an ? ?q ? an ? an?1 ? ,知 ?an?1 ? an ? 为等比数列, 对此采用 3. 1 中所述的累加法可求。 例 7:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 解:由 an ? 2 ?

5 5 2 , an ? 2 ? an ?1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 3 3

5 2 2 an ?1 ? an 两边减去 an ?1 得: an ? 2 ? an ?1 ? ? an ?1 ? an ? ,所以 3 3 3
n

2 2 2? ?an?1 ? an ? 是公比为 3 ,首项为 a2 ? a1 ? 3 的等比数列,所以 an?1 ? an ? ? ? ? , ?3?
n ?1 2 ? ?2? ? ? ?1 ? ? ? ? 1 2 n ?1 ? ? 2 ?n ?1 ? 3 ? ?3? ? ?2? ?2? ? 2? ? ? 即 an ? a1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,即 an ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? 2 ?3? ?3? ? 3? ? ?3? ? ? ? 1? 3

相关高考:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? 解:由 an ? 2 ?

2 1 an ?1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 3

2 1 1 an ?1 ? an 两边减去 an ?1 得: an ? 2 ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? ,所以 3 3 3 1

?an?1 ? an ? 是公比为 ? 3 ,首项为 a2 ? a1 ? 1的等比数列,所以 an?1 ? an ? ? ??
第 6 页 共 11 页

1? ? ? 3?

n ?1



即 an ? a1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 1? ? 3?

0

? 1? ? 3?

1

? 1? ? 3?

n?2

? 1? 1? ? ? ? 3? ? ? 1 1? 3

n ?1

,即 an ? 1 ?

n ?1 3 ? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? ? ? 3? ? ?

3.5.2 若 p ? q ? 1 时,存在 x1 , x2 满足 an?1 ? x1an ? x2 ? an ? x1an?1 ? ,整理得

, 1 2 ?? q ,从而 ?an?1 ? x1an ? 是等比数 an?1 ? ? x1 ? x2 ? an ? x1x2an?1 ,有 x1 ?x2 ? p xx
列,对此采用 3. 4 中所述的方法即可。 4.利用倒数变形, an ?1 ?

an ,两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 pan ? q

例 8:已知数列 ?an ? 满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 ? an?1 ? 1
?1? ? ? ? 是等差数列, ? an ?

解:取倒数:

1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1
相关高考 1:数列 ?an ? 满足: a1 ?

3 3nan?1 ,且 an ? 2 2an?1 ? n ? 1

? n ? 2? ,求 an



解:将条件变为:1-

? n? n 1 n-1 =( ,因此 ?1 ? ? 为一个等比数列,其首项为 1- ) an 3 an ?1 ? an ?

1 1 n ? 3n 1 1 n 1- = ,公比 ,从而 1- = ,据此得 an = n 。 3 3 -1 a1 3 an 3n
相关高考 2:数列 ?an ? 满足: a1 ? 2a , an ?1 ? 2a ? 解: an?1 ? a ? 令 bn ?

a2 an

? a ? 0? ,求数列 ?an ? 的通项公式。

a ? an ? a ? an

? an ? a, a ? 0? ,所以

an 1 1 1 ? ? ? , an?1 ? a a ? an ? a ? an ? a a

1 1 1 1 ,则 bn ?1 ? bn ? ,因而 ?bn ? 是首项为 b1 ? ,公差为 的等差数列, a a a an ? a bn ? 1 1 n 1 a ? ? n ? 1? ? ? ,故 an ? a ? ? a ? 。 a a a bn n

所以

第 7 页 共 11 页

5.利用归纳猜想

1 1 ? a an?1 1 1 * 例 9:设正整数数列 ?an ? 满足: a2 ? 4 ,且对于任何 n ? N ,有 2 ? ? n ? 2? . an ?1 1 ? 1 an n n ?1
(1)求 a1 , a3 ; (2)求数列 ?an ? 的通项 an . 解:由 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n2 . 下面用数学归纳法证明. 1 当 n ? 1 , 2 时,由(1)知 an ? n2 均成立;
?

2 假设 n ? k (k ? 2) 成立,则 ak ? k 2 ,则 n ? k ? 1 时
?

? 1 k 2 (k ? 1) k (k 2 ? k ? 1) 1 1 ? 1 ? ak ?1 ? 由①得 2 ? ? k (k ? 1) ? 2 ? ? ? 2? 2 ? 2 k ? k ?1 k ?1 ak ?1 ak ?1 ? k ?k
? (k ? 1)2 ?
2

(k ? 1)2 1 ? ak ?1 ? (k ? 1) 2 ? 2 k ?1 k ?1
2

(k ? 1) 2 ? ? 0, 1? . 因为 k ? 2 时, (k ? 1) ? (k ? 1) ? k (k ? 1)(k ? 2) ? 0 ,所以 2 k ?1
k ? 1 ? 1 ,所以

1 ? ? 0, 1? .又 ak ?1 ? N* ,所以 (k ? 1)2 ? ak ?1 ? (k ? 1)2 . k ?1

故 ak ?1 ? (k ? 1)2 ,即 n ? k ? 1 时, an ? n2 成立. 由 1 ,2 知,对任意 n ? N , an ? n2 .
? ?

*

相关高考:已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N * ,其中 x1 ? 0 , x2 ? a(a ? 0) , A3 是线段 A1 A2 的 中点, A4 是线段 A2 A3 的中点,…, An 是线段 An?2 An?1 的中点,… (1)写出 xn 与 xn?1 , xn?2 之间的关系式( n ? 3 ) 。 (2)设 an ? xn?1 ? xn ,计算 a1 , a2 , a3 , 并求出数列 ?an ? 的通项公式。 解: (1)当 n ? 3时xn ?

xn ?1 ? xn ? 2 2 a2 ? x3 ? x2 ? x1 ? x2 1 1 ? x2 ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? a 2 2 2

(2) a1 ? x2 ? x1 ? a,

第 8 页 共 11 页

a 3 ? x4 ? x3 ?

x2 ? x3 1 1 ? x3 ? ? ( x3 ? x2 ) ? a 2 2 4 1 2
n ?1

由此推测 an ? (? )

a (n ? N ? ) ,下面用数学归纳法证明: 1 2
0

① 当n=1时,a1 ? x2 ? x1 ? a ? (? ) ? a公式成立

②假设当 n=k 时公式成立,即 ak ? ( ? )

1 2

k ?1

a 成立,那么当 n=k+1 时

ak ?1 ? xk ? 2 ? xk ?1 ?

xk ?1 ? xk 1 1 ? xk ?1 ? ? ( xk ?1 ? xk ) ? ? ak 2 2 2
公式仍成立

1 1 1 ? ? (? ) k ?1 a ? (? )( k ?1) ?1 ? a 2 2 2
综上对任意 n ? N? 公式都成立。 6.利用函数的不动点(方程的特征根)

b2 ? 2b b2 ? 2b 2 6.1 若数列 ?xn ? 满足 xn ?1 ? ax ? bxn ? 的 ? a ? 0? ,且 ? 是方程 x ? ax ? bx ? 4a 4a
2 n

最小根,则 xn ?1 ? ? ? ? ? ? xn ? ? ? 。
2

2 例 10:已知数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? 2xn ? 4xn ? 1, x1 ? 1,求数列 ?xn ? 的通项公式。
2 解:令 x ? 2 x ? 4 x ? 1 ,则 x ? ?1 是其最小根,得 xn ?1 ? 1 ? 2 ? xn ? 1? ,由题意知 xn ? 0 ,
2

两边取对数,得 log2 ? xn?1 ?1? ? 2log2 ? xn ?1? ?1 ,两边同时加 1,得:

log2 ? xn?1 ?1? ?1 ? 2 ? log2 ? xn ?1? ?1? ,
故 log2 ? xn ? 1? ? 1 是首项为 log2 ? x1 ?1? ?1 ? 2 公比为 2 的等比数列, 所以 log2 ? xn ?1? ?1 ? 2 ,
n

?

?

故 xn ? 22

n

?1

?1 。

6.2

若数列 ?xn ? 满足 xn ?1 ?

axn ? b ax ? b ? c ? 0, ad ? bc ? 0? 且 x1 ? 1 。 cxn ? d cx1 ? d

6.2.1 若方程 x ?

ax ? b x ? ? a ? c? xn ? ? ? ? 有两个相异实根 ? , ? ,则 n ?1 。 cx ? d xn?1 ? ? a ? c? xn ? ?

第 9 页 共 11 页

例 11:已知数列 ?xn ? 满足 xn ?1 ?

7 xn ? 2 , x1 ? 3 ,求数列 ?xn ? 的通项公式。 xn ? 4

解:令 x ?

7x ? 2 x ? 1 6 xn ? 1 ,得 ? ? 1, ? ? 2 为其两根,所以有 n ?1 , ? ? x?4 xn ?1 ? 2 5 xn ? 2
? xn ? 1 ? 6 x1 ? 1 ? 2 为首项,以 为公比的等比数列, ? 是以 5 x1 ? 2 ? xn ? 2 ?
n ?1

所以数列 ?

x ?1 ?6? 所以 n ? 2?? ? xn ? 2 ?5?

, 故 xn ?

1 ?6? 2?? ? ?5?
n ?1

?2 。 ?1

6.2.2 若方程 x ?

ax ? b 1 2c 1 有两个相等实根 ? ,且 a ? ? d ,则 。 ? ? cx ? d xn ?1 ? ? a ? d xn ? ?

例 12:已知数列 ?xn ? 满足 xn ?1 ?

3xn ? 1 1 , x1 ? ,求数列 ?xn ? 的通项公式。 4 xn ? 7 2

解:令 x ?

3x ? 1 1 ,得 x ? ? 为其根,所以 4x ? 7 2

1 xn?1 ? 1 2

?

1 xn ? 1 2

?

4 , 5

? ? 4 1 ? 1 ? 所以数列 ? 是以 ? 1 为首项,以 为公差的等差数列, ? 1 5 ? xn ? 1 ? x1 ? ? 2? 2
所以

9 ? 4n 4 。 ? 1 ? ? n ? 1? ? , 故 xn ? 1 2 ? 8n 5 xn ? 2

1

6.3

若数列 ?xn ? 满足 xn?1 ?

2 axn ?c ax 2 ? c 的两个相异实根, ? a ? 0? ,若 ? , ? 是方程 x ? 2ax ? f 2axn ? f
2

x ? ? ? xn ? ? ? ?? 则 n ?1 ? xn ?1 ? ? ? xn ? ? ?

例 13:已知数列 ?xn ? 满足 xn?1 ?

2 3xn ?2 19 , x1 ? ,求数列 ?xn ? 的通项公式。 6 xn ? 5 6
2

1 ? 1? xn ? ? ? 1 3x ? 2 3? 3 , 解:令 x ? ,得 ? ? ? , ? ? 2 为其两根,所以 ? ? xn ?1 ? 2 ? xn ? 2 ? 3 6x ? 5 ? ?
2

xn ?1 ?

第 10 页 共 11 页

1 1 xn ? 3 ? 2 log 3, 两边取对数,得 log 3 3 xn ?1 ? 2 xn ? 2 xn ?1 ? 1 1? ? x1 ? xn ? ? ? 3 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 3 是以 log 所以数列 ?log 3 ? 3 x1 ? 2 xn ? 2 ? ? ? ? 1 n?1 6 ? 32 ? 1 n ?1 3 ? 2 , 故 xn ? 所以 log 3 。 n?1 xn ? 2 3 ? 32 ? 3 xn ?
相关高考:已知函数 f ( x) ? x2 ? x ?1 , ?,? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根 (? ? ? ) , f ?( x ) 是

f ( x) 的导数.设 a1 ? 1 , an?1 ? an ?
(1)求 ?,? 的值;

f (an ) (n ? 1, 2, ?) . f ?(an )

(2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln 前 n 项和 Sn . 解:(1)求根公式得 ? ? (2) f ?( x) ? 2 x ? 1

an ? ? ( n ?12 , , ? ) .求数列 ?bn ? 的 an ? ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 , ? ? 2 2 2 a ?1 ? 2 ? 1?? , ? 2 ? 1? ? an?1 ? n 2an ? 1

bn?1 ? ln

an?1 ? ? a 2 ? 2? an ? 1 ? ? a 2 ? 2? an ? ? 2 a ?? 2 ? ln n 2 ? ln n 2 ? ln( n ) ? 2bn 2 an?1 ? ? an ? 2? an ? 1 ? ? an ? 2? an ? ? an ? ?
a1 ? ? 5 ?1 ,公比为 q ? 2的等比数列 , ? 4ln a1 ? ? 2

∴数列 {bn } 是首项 b1 ? ln

b1 (1 ? q n ) 5 ?1 ∴ Sn ? ? 4 ? (2n ? 1) ln 1? q 2

第 11 页 共 11 页


数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位, 每年高考都会出现有关数列的方面的试题, 一 般分为小题和大题两种题型, 而数列的通项公式的求法...

史上最全的数列通项公式的求法15种

而作为给出 数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 ◆一、直接法根据数列的特征,使用作差法等直接写出通...

常见数列通项公式的求法

常见数列通项公式的求法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。常见数列通项公式的求法高一数学必修 5 NO:3 使用时间:2015.11.编制: 审核: 学科组长 : 班级: 姓...

求数列通项公式的十种方法

数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细) 总述:一.利用递推关系式求数列通项的 11 种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法) ...

数列通项公式的基本求法

通项公式的求解问题往往是解决本题的关键之 所在.本文总结了求解通项公式常用的...用公式从而求出原数列的通项公式. 六、取对数法例6 已知数列 ? a n ? 满足...

数列的通项公式求解方法经典整理

⑥如果需要证明,使用数学归纳法。 例: 求以下数列的通项公式 ①1/2,4/9,3...法求数列的通项公式。即先将等式 an?1 ? an n?1)2 两边 取常用对数得 ...

数列通项公式的完整求法,还有例题详解

数列通项公式的完整求法,还有例题详解_理学_高等教育_教育专区。一. 观察法 ...常见递推数列通项公式的... 9页 5下载券 数列通项公式的求法详解 9页 免费...

数列通项公式的十种求法打印了

数列通项公式的十种求法打印了_数学_高中教育_教育专区。...数列通项公式的十种求法 类型 1 an ?1 ? an ? f (n) ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差...

数列通项公式的几种求法归纳

数列通项公式的几种求法一、常规数列的通项 例 1:求下列数列的通项公式 22—1 32—1 42—1 52—1 (1) ,,,… 2 3 4 5 1 1 1 1 (2)-,,-,,...

常见数列通项公式 | 常见数列的通项公式 | 常见数列求和公式 | 常见数列公式 | 常见数列的前n项和 | 斐波那契数列通项公式 | 等比数列前n项和公式 | 等差数列前n项和公式 |