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上海市17区县2013届高三数学一模分类汇编 专题九 应用题 文


专题九 应用题
汇编 2013 年 3 月 (静安区 2013 届高三一模 文科) (文)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%, 经 过 x 年 , 绿 化 面 积 与 原 绿 化 面 积 之 比 为 y , 则 y=f(x) 的 图 像 大 致 为 ( )

15. (文)D; ( 闸 北 区 2013 届 高 三 一 模 文 科 )

6 . 一 人 在 海 面 某 处 测 得 某 山 顶 C 的 仰 角 为 米. (结果化简) 6. m tan 2? ;

? 在海面上向山顶的方向行进 m 米后, 测得山顶 C 的仰角为 90 ? ? , ? (0? ? ? ? 45? ) ,

则该山的高度为

1 2

(普陀区 2013 届高三一模 文科)18. 如图,四边形 ABCD是正方形,延长 CD 至 E ,使 得 DE ? CD .若动点 P 从点 A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点, 其中 AP ? ? AB ? ? AE ,下列判断 正确的是??????????????????????????????( .. (A)满足 ? ? ? ? 2 的点 P 必为 BC 的中点. (B)满足 ? ? ? ? 1 的点 P 有且只有一个. (C) ? ? ? 的最大值为 3. (D) ? ? ? 的最小值不存在. 18. C (浦东新区 2013 届高三一模 文科)21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小 题满分 8 分) 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动, 计划在一块直角三角形 )

??? ?

??? ?

??? ?

E

D

C
P

A

B

(第 18 题图)

1

ABC 的空地上修建一个占地面积为 S 的矩形 AMPN 健身场地,如图点 M 在 AC 上,点 N
? x 在 AB 上, P 点在斜边 BC 上, 且 已知 ?ACB ? 60 且 | AC |? 30 米,AM = x , ? [10,20] .

(1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为

37 k ,再把矩形 AMPN 以外(阴影 S
B

部分)铺上草坪,每平方米的造价为

12 k ( k 为正常数) ,求总造价 T 关于 S 的函数 S

T ? f (S ) ;试问如何选取 | AM | 的长使总造价 T 最低(不要求求出最低造价).
? 解: (1)在 Rt?PMC中,显然 | MC |? 30 ? x , ?PCM ? 60 ,
N P

? | PM |?| MC | ? tan ?PCM ? 3 (30 ? x) ,??????2 分
矩形 AMPN 的面积 S ?| PM | ? | MC |?

3 x(30 ? x) , x ? [10, 20] ?4 分

A

M

C

于是 200 3 ? S ? 225 3 为所求.???????6 分 (2) 矩形 AMPN 健身场地造价 T1 ? 37k S ???????????????7 分 又 ?ABC的面积为 450 3 ,即草坪造价 T2 ?

12 k (450 3 ? S ) ,?????8 分 S

由总造价 T ? T1 ? T2 , ? T ? 25 k ( S ? 分

216 3 ) , 200 3 ? S ? 225 3 .?10 S

? S?

216 3 ? 12 6 3 ,????????????????????11 分 S 216 3 即 S ? 216 3 时等号成立,???????????12 S

当且仅当 S ? 分

此时 3 x(30 ? x) ? 216 3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 , 所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低.?????????14 分

2

(黄浦区 2013 届高三一模 文科)21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满 分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示, ABCD 是一个矩形花坛,其中 AB= 6 米,AD = 4 米.现将矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN ,要求:B 在 AM 上,D 在 AN 上,对角线 MN 过 C 点, 且矩形 AMPN 的面积小于 150 平方米. (1) AN 长为 x 米, 设 矩形 AMPN 的面积为 S 平方米, 试用解析式将 S 表示成 x 的函数, 并写出该函数的定义域; (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求最小面积.
N P

D

C

A

B

M

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)由△NDC∽△NAM,可得 ∴

DN DC ? , NA AM

N

P

x?4 6 6x ? ,即 AM ? ,????????3 分 x AM x?4

D

C

故 S ? AN ? AM ? 由S ?

6 x2 , x?4

?????????5 分

A

B

M

6 x2 ? 150 且 x ? 4 ,可得 x2 ? 25x ?100 ? 0 ,解得 5 ? x ? 20 , x?4 6x2 故所求函数的解析式为 S ? ,定义域为 (5,20) . ?????????????8 分 x?4
(2)令 x ? 4 ? t ,则由 x?(5,20) ,可得 t ?(1,16) ,

6 x 2 6(t ? 4)2 16 ? ? 6(t ? ? 8) ??????????10 分 x?4 t t 16 ??????????12 分 ? 6(2 t ? ? 8) ? 96 , t 16 当且仅当 t ? ,即 t ? 4 时 S ? 96 .又 4?(1,16) ,故当 t ? 4 时, S 取最小值 96. t
故S ? 故当 AN 的长为 8 时,矩形 AMPN 的面积最小,最小面积为 96 (平方米)????14 分

3

(长宁区 2013 届高三一模)21、 (本题满分 14 分) (理)经过统计分析,公路上的车流速 度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,当公路上的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速 度为 60 千米/小时,研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过公路上某观测点的车辆数,单位:辆/

v 小时) f ( x) ? x? ( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)
(文)某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元,若用 x 表示该厂生产这种产品的总件 数,则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元。 (1)把每件产品的成本费 P(x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最 低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场 调查:每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系: Q( x) ? 170 ? 0.05 x ,试问生 产多少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本)

21、 (理)解(1)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v( x) ? 60 ; 当 20 ? x ? 200 时,设 v ( x ) ? ax ? b. ??????????2 分

1 ? ?a ? ? 3 , ? 200a ? b ? 0, ? 再由已知得 ? 解得 ? ??????????4 分 ? 20a ? b ? 60. ?b ? 200 . ? 3 ?
故函数 v(x)的表达式为 v( x) ? ? 1

0 ? x ? 20, ?60, ? ??????7 分 (200 ? x), 20 ? x ? 200. ?3 ?

0 ? x ? 20, ?60 x, ? (2)依题意并由(1)可得 f ( x) ? ? 1 , ????9 分 x(200 ? x), 20 ? x ? 200. ?3 ?
当 0 ? x ? 20 时, f ( x ) 为增函数.故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200;

4

当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ?

1 1 x ? (200 ? x) 2 10000 x(200 ? x) ? [ ] ? . 3 3 2 3

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立.

10000 . ?12 分 3 10000 综上,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[0,200]上取得最大值 ? 3333 . 3
所以,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[20,200]上取得最大值 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. ??????????14 分

P( x) ?
(文)解: (1) 由基本不等式得

12500 ? 40 ? 0.05x x

???????????????3 分

P ( x) ? 2 12500 ? 0.05 ? 40 ? 90

12500 ? 0.05x 当且仅当 x ,即 x ? 500 时,等号成立 P( x) ?


????????6 分

12500 ? 40 ? 0.05x x ,成本的最小值为 90 元. ????????7 分

(2)设总利润为 y 元,则

y ? xQ( x) ? xP( x) ? ?0.1x 2 ? 130x ?12500 ? ?0.1( x ? 650 2 ? 29750 )
当 x ? 650 时,

?????10 分

ymax ? 29750 ????????????????????13 分

答:生产 650件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元.? ??14 分

(奉贤区 2013 届高三一模)21、某海域有 A 、 B 两个岛屿, B 岛在 A 岛正东 4 海里处。 经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线 C ,曾有渔船在距 A 岛、 B 岛距离和 为 8 海里处发现过鱼群。以 A 、 B 所在直线为 x 轴, AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面 直角坐标系。 (1)求曲线 C 的标准方程; 分) (6 (2)某日,研究人员在 A 、 B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速

5

度相同) A 、 B 两岛收到鱼群在 P 处反射信号的时间比为 5 : 3 ,问你能否确定 P 处 , 的位置(即点 P 的坐标)?(8 分)

y

? A

O

? B

x

21、解(1)由题意知曲线 C 是以 A 、 B 为焦点且长轴长为 8 的椭圆 又 2c ? 4 ,则 c ? 2, a ? 4 ,故 b ? 2 3 5分

3分

所以曲线 C 的方程是

x2 y2 ? ?1 16 12

6分

(2)由于 A 、 B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为 5 : 3 , 因此设此时距 A 、 B 两岛的距离分别比为 5 : 3 即鱼群分别距 A 、 B 两岛的距离为 5 海里和 3 海里。 设 P ( x, y ) , B ( 2,0) ,由 PB ? 3 ? 7分 8分 10 分

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,

?? x ? 2 ?2 ? y 2 ? 9 ? 2 y2 ?x , ? ?1 ? 16 12 ? ?? 4 ? x ? 4 ?
? x ? 2, y ? ?3 ? 点 P 的坐标为 ?2,3? 或 ?2,?3?
(静安区 2013 届高三一模 文科)19. (文) 14 分

12 分

13 分

G

某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所 示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米, M BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) MN D ,

N C

A

E (理 19 题)

B

6

是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方米)表示成关于 x 的函 数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值. 19(理)解: (1) ①如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动, 即 0<x≤1 时,

1 △EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; ······· 1 分 2 ②如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动,
即 1<x< 1? 3 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵ E 为 AB 中点, ∴ F 为 CD 中点,GF⊥CD,且 FG= 3 . 又∵ MN∥CD, ∴ △MNG∽△DCG. ∴ MN ? GH ,即 MN ? 2[ 3 ? 1 ? x] . ····· 4 分 DC GF 3 故△EMN 的面积 S= 1 ? 2[ 3 ? 1 ? x] ? x 2 3 = ? 3 x 2 ? (1 ? 3 ) x ; ············ 6 分 3 3 综合可得:
A M D

G

H F

N C

E

B

图2

? x, ? 0<x ≤1? ? S ?? 3 2 ? 3? 1 ?? 3 x ? ?1 ? 3 ? x. 1<x< ? 3 ? ? ? ? ?

?

?

················ 7 分

(闵行区 2013 届高三一模 文科) (文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 7 分,第(2) 小题满分 7 分. . 科学研究表明: 一般情况下, 在一节 40 分钟的课中, O F Q A
7

y

l B

x

学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时,学生的注意力逐步增强,随后学 生的注意力开始分散。经过实验分析,得出学生的注意力指数 y 随时间 x (分钟)的变化规 律为:

0? x ?8 ?2 x ? 68, ? y ? f ( x) ? ? 1 2 ?? 8 ( x ? 32 x ? 480),8 ? x ? 40 ?
(1)如果学生的注意力指数不低于 80,称为“理想听课状态” ,则在一节 40 分钟的课中学 生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长?(精确到 1 分钟) (2)现有一道数学压轴题,教师必须持续讲解 24 分钟,为了使效果更好,要求学生的注意 力指数在这 24 分钟内的最低值达到最大,那么,教师上课后从第几分钟开始讲解这道题? (精确到 1 分钟) 解:

[解](文) (1)由于学生的注意力指数不低于 80,即 y ? 80 当 0 ? x ? 8 时,由 2x ? 68 ? 80 得 6 ? x ? 8 ; ????2 分

当 8 ? x ? 40 时,由 ? ( x 2 ? 32 x ? 480) ? 80 得 8 ? x ? 16 ? 4 6 ;????2 分 所以 x ? ?6,16 ? 4 6 ? , 16 ? 4 6 ? 6 ? 10 ? 4 6 ? 20

1 8
?

?

故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有 20 分钟.

?????3 分

(2)设教师上课后从第 t 分钟开始讲解这道题,由于 10 ? 4 6 ? 24 所以 t ? ?0,6 ? ??????????????????????2 分

要学生的注意力指数最低值达到最大,只需 f (t ) ? f (t ? 24) 即 2t ? 68 ? ? [(t ? 24) ? 32(t ? 24) ? 480] ???????????2 分
2

1 8

解得 t ? 8 6 ?16 ? 4

???????????????2 分

所以,教师上课后从第 4 分钟开始讲解这道题,能使学生的注意力指数最低值达到最 大. ???????????????????????????1 分

8

(普陀区 2013 届高三一模 文科)19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满 分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 某种水箱用的 “浮球” 是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是 6 cm , , 圆柱筒长 2 cm . (1)这种“浮球”的体积是多少 cm (结果精确到 0.1)? (2)要在这样 2500个“浮球”表面涂一层胶质, 如果每平方米需要涂胶 100克,共需胶多少?
2cm
3

6cm (第 19 题图)

19.【解】 (1) d ? 6cm , R ? 3cm , V球 ?

4 3 4 ?R ? ? ? 27 ? 36? cm3 ????2 分 3 3

h ? 2 , V圆柱 ? ?R 2 ? h ? ? ? 9 ? 2 ? 18? cm3 ????2 分 V ? V球 ? V圆柱 ? 36? ? 18 ? 54? ? 1696 cm3 ????2 分 ? .
2 2 (2) S 球表 ? 4?R ? 4 ? ? ? 9 ? 36? cm ????2 分

S圆柱侧 ? 2?Rh ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? 12? cm 2 ????2 分

36? ? 12? 48 ? 4 ? m2 4 10 10 48 2 2500 个“浮球”的表面积的和 S 2500 ? 2500? 4 ? ? 12? m 10 所用胶的质量为 100?12 ? 1200 (克)????2 分 ? ?
1 个“浮球”的表面积 S1 ? 答:这种浮球的体积约为 1696 cm ;供需胶 1200 克. . ?
3

(松江区 2013 届高三一模 文科)21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满 分 6 分,第 2 小题满分 8 分 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网” 养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v(单位:千克/年)是养殖密度 x (单位:尾/立方米)的函数.当 x 不超过 4(尾/立方米)时, v 的值为 2 (千克/年) ;当

9

4 ? x ? 20 时, v 是 x 的一次函数;当 x 达到 20 (尾/立方米)时,因缺氧等原因, v 的值 为 0 (千克/年) . (1)当 0 ? x ? 20 时,求函数 v ( x ) 的表达式;
(2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米) f ( x) ? x ? v( x) 可以达 到最大,并求出最大值.

21.解: (1)由题意:当 0 ? x ? 4 时, v ? x ? ? 2 ;

2013.1 ??????????2 分

当 4 ? x ? 20 时,设 v?x? ? ax ? b ,显然 v?x? ? ax ? b 在 [4, 20] 是减函数,

1 ? ?a ? ? 8 ?20a ? b ? 0 ? 由已知得 ? ,解得 ? ? 4a ? b ? 2 ?b ? 5 ? ? 2
故函数

??????????4 分

?2, ? v?x ? = ? 1 5 ?? x ? , 2 ? 8

0 ? x ? 4, x ? N * 4 ? x ? 20, x ? N *
??????????6 分

?2 x, 0 ? x ? 4, x ? N * ? (2)依题意并由(1)可得 f ?x ? ? ? 1 ??8 分 5 2 4 ? x ? 20, x ? N *. ?? x ? x, 2 ? 8 当 0 ? x ? 4 时, f ?x? 为增函数,故 f max ? x ? ? f (4) ? 4 ? 2 ? 8 ; ?????10 分
1 2 5 1 2 1 100 2 当 4 ? x ? 20 时, f ? x ? ? ? x ? x ? ? ( x ? 20 x) ? ? ( x ? 10) ? , 8 2 8 8 8 f max ? x ? ? f (10) ? 12.5 . ???????????12 分
所以,当 0 ? x ? 20 时, f ?x? 的最大值为 12.5 . 当养殖密度为 10 尾/立方米时, 鱼的年生长量可以达到最大, 最大值约为 12.5 千克/立方米. ???????????14 分
2

(闸北区 2013 届高三一模 文科)15. (文) (本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 如图,某农业研究所要在一个矩形试验田 ABCD内种植三种农作物,三种农作物分别 种植在并排排列的三个形状相同、 大小相等的矩形中. 试验田四周和三个种植区域之间设有 1 米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为 800平方米. (1)设试验田 ABCD的面积为 S , AB? x ,求函数 S ? f (x) 的解析式; (2)求试验田 ABCD占地面积的最小值.

10

15.解:设 ABCD的长与宽分别为 x 和 y ,则 ( x ? 4)( y ? 2) ? 800 (3 分)

y?

(792? 2 x) x (2 分) x?4 3200 令 x ? 4 ? t , t ? 0 ,则 S ? 2t ? (4 分) ? 808? 968, t 3200 当且仅当 2t ? 时, t ? 40,即 x ? 44 ,此时, y ? 22 . (2 分) t 2 答: 试验田 ABCD的长与宽分别为 44 米、22 米时,占地面积最小为 968 米 . (1 分)
试验田 ABCD的面积 S ? xy ?

792? 2 x x?4

(2 分)

11


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