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函数的定义及性质专题复习


高中数学必修 1 知识点总结
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集

| x |? a(a ? 0)
| x |? a(a ? 0)

{x | ?a ? x ? a} x | x ? ?a 或 x ? a}
把 ax ? b 看 成 一 个 整 体 ,

化 成 | x |? a ,

| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0)

| x |? a(a ? 0) 型不等式来求解

(2)一元二次不等式的解法 判别式

? ? b 2 ? 4ac
二 次 函 数

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 一 元 二 次 方 程
O

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

?b ? b2 ? 4ac x1,2 ? 2a
(其中

x1 ? x2 ? ?

x1 ? x2 )
x??

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1 或 x ? x2 } {x | x1 ? x ? x2}

{x |

b } 2a

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念

?

?

①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f 对于集合 A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有 唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么 f : A ? B 叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作. y ? f ( x), x ? A ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数, 且a ? b , 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间, 记做 [ a, b] ; 满足 a ? x ? b 的

1

实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,

, ) , x ? ,a ? x , b ?的 x 实b 数 分 别 记 做 [a b , ( a, b] ; 满 足 x ? a

x 的 集 合 分 别 记 做

[a ? , ? )a , (? , ?

) ? ,b ? (

,. ? b]? , (

,

)

注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a ? b . (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① f ( x ) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x ) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x ) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤ y ? tan x 中,

x ? k? ?

?
2

(k ? Z )


⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 f ( x ) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定 义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义 域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小 (大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不
同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法: ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. 【1.2.2】函数的表示法 (5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ①定义及判定方法

函数的

定义

图象

判定方法

2

性 质 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当 x1< x2 时,都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在这个区间 上是增函数. 函数的 单调性
如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x < x2 时,都 1 . . . .. 有 f(x )>f(x ) ,那么就说 1 2 . . . . . . . . . . . f(x)在这个区间上是减函数 . ...

y y=f(X)
f(x1 )

f(x2)

o

x1

x2

x

(1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数
(1)利用定义 (2 )利用已知函数的 单调性 (3) 利用函数图象 (在 某个区间图

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

o

x1

x2

x

象下降为减) (4)利用复合函数

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减 去一个增函数为减函数. ③对于复合函数

y ? f [ g( x)],令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g( x)]为增;若

y ? f (u ) 为减,u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为增,u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为
减;若

y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减.

y

(2)打“√”函数

a f ( x) ? x ? (a ? 0) 的图象与性质 x

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、[ a , ??) 上为增函数,分别在 [? a ,0) 、(0, a ] 上为减函数.
(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数

y ? f ( x) 的定义域为 I

,如果存在实数 M 满足:(1)对于任意的 x ? I ,都

o



x

f ( x) ? M



(2)存在 x0 ? I ,使得

f ( x0 ) ? M .那么,我们称 M

是函数

f ( x) 的最大值,





f m ( x)a ? Mx.
【1.3.2】奇偶性
(4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法

3

如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x,都有 . f( - x)= - . . . . . . f (x) ,那么函数 f(x)叫做奇函 . . . . .. 数 . . 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x, 都有 . f( - x)= f(x) , . . . . . . . . . 那么函数 f(x)叫做偶函数 . ...

(1 )利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2 )利用图象(图象 关于原点对称)

(1 )利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2 )利用图象(图象 关于 y 轴对称)

②若函数

f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 .
y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反.

③奇函数在

④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或 商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.

〖补充知识〗函数的图象
(1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k h?0,右移|h|个单位 k ?0,下移|k|个单位

②化解函数解析式; ④画出函数的图象.

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换

x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x) 原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)

y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f ( ? x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

4

函数的定义及性质专题复习 一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y?

x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵y?

1 ? x?4 x

⑶ f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ?1 .

(4) y ?

x ? 2 ? x ? 5 ; (5) y ?

x?4 . | x | ?5
2

2 、设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x ) 的定义域为_ ________;

_

_;函数 f ( x ? 2) 的定义域为

3、若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2 , 3] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 域为 。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ( x ? R) 三、求函数的解析式 1、 已知函数 f ( x ? 1) ? x2 ? 4 x ,求函数 f ( x ) , f (2 x ? 1) 的解析式。 2、已知函数 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) = 。 ⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ? [1, 2]

;函数 f ( ? 2) 的定义

1 x

3、设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,则当 x ? (??, 0) 时 f ( x ) =____

_

f ( x) 在 R 上的解析式为
四、求函数的单调区间 7.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x , g ( x) ? x2 ? 2 x ( x ?[2, 4]) . (1)求 f ( x ) , g ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x ) , g ( x) 的最小值. 五、判断函数的奇偶性 (1) f ( x) ? 2 x ? 3x ; (2) f ( x) ? x ? 2x
4 2 3

(3) f ( x) ? 六、综合题 一、选择题: 1、若 f ( x) ? A、2 2、函数

x2 ? 1 ; x

(4) f ( x) ? x ? 1 .
2

x ? 1 ,则 f (3) ?
B、4



) C、 2 2 D、10

y ? 2x ?1 的定义域是(



5

1 A. ( , ??) 2
(1) f ( x) ? x 与 g ( x) ? A、② 4、函数 f ( x) ? x ?

1 B. [ , ??) 2

0
2

1 C. (??, ) 2

1 D. (??, ] 2
2

3、下列各组函数是同一函数的是(

? x ? (2) f (x) ? x 与 g ( x) ? x1 (3) f (x) ? x
0

? 2 x ?1与 g (t ) ? t 2 ? 2t ?1

B、①③

C、③ )

D、①

1 ( x ? 0) 是( x

A、奇函数,且在(0,1)上是增函数 C、偶函数,且在(0,1)上是增函数 5、下列函数是奇函数的是( ) A. y ? x B. y ? 2 x ? 3
2

B、奇函数,且在(0,1)上是减函数 D、偶函数,且在(0,1)上是减函数
1 2

C. y ? x

D. y ? x 2 , x ? [0,1] ( )

4、二次函数 y ? 4x2 ? mx ? 5 的对称轴为 x ? ?2 ,则当 x ? 1 时, y 的值为 A、 ? 7 B、1 6、下列四个图像中,是函数图像的是 C、17 ) D、25



y

y

y

y

O O
(1)

x
O

O

x

x
(2)

x
(4) D、(3)、(4) 。

(3)

A、(1) B、(1)、(3)、(4) C、(1)、(2)、(3) 7、已知 f(x)=g( x)+2, 且 g(x)为奇函数,若 f(2)=3,则 f(-2)= A 0 B.-3 C.1 D.3 8、 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,不正确 的是( ... A、 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0
2

)

B、 f (? x) ? f ( x) ? ?2 f ( x)

C、 f ( x) ? f (? x) ? 0

D、

f ( x) ? ?1 f (? x)


9、如果函数 f ( x) ? x ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ? ??,4? 上是减少的,那么实数 a 的取值范围是( A、 a ? ? 3 B、 a ? ?3 C、 a ? 5 ( ) D、 a ? D、 a ? 5

10、设函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是 R 上的减函数,则有 A、 a ?

1 2

B、 a ?

1 2

C、 a ?

1 2

1 2

11、定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不相等实数 a , b ,总有 A、函数 f ( x ) 是先增加后减少 C、 f ( x ) 在 R 上是增函数

f (a ) ? f (b) ? 0 成立,则必有( ) a ?b

B、函数 f ( x ) 是先减少后增加 D、 f ( x ) 在 R 上是减函数

6

12、下列所给 4 个图象中,与所给 3 件事吻合最好的顺序为 ( ) (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学; (2)我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速。 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离

O
(1)

时间

O
(2)

时间

O
( 3)

时间

O
(4)

时间

A、(1)(2)(4) B、(4)(2)(3) C、(4)(1)(3)

D、(4)(1)(2)

? x2 x ? 0 ? 13、已知 f(x)= ?? x ? 0 ,则 f [ f (-3)]等于 ?0 x ? 0 ?
A、0 B、π C、π2 D、9[来源:学+科+网] ) 14、 已知函数 f ? x ? 是 R 上的增函数 A?0,?1? ,B?3,1? 是其图像上的两点, 那么 f ? x ? ? 1 的解集是 ( A. ? ?3,0? B. ? 0,3? C. ? ??, ?1? ??3, ??? D. ? ??,0? ??1, ??? )

15、已知函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 4kx ? 5 在区间 [?1,2] 上不具有单调性,则 k 的取值范围是( A、 [?1,2] B、 (?1,2) C、 (??,2)

D、 (?1,??) 源:学+科+网]

二、填空题:

1、已知 f ( x) ? ?

? x ? 5( x ? 1) ,则 f [ f (1)] ? 2 ?2 x ? 1( x ? 1)
.

.

2 2、已知 f ( x ? 1) ? x ,则 f ( x) ?

? x ? 2( x ? ?1) ? 2 3、函数 f ( x) ? ? x ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?2 x( x ? 2) ?
4、函数 f ( x) ? x ?

1 在 [1,2] 上的最大值是 x

,最小值是 .

2 5.已知函数 f ( x) ? x ? 2x(?1 ? x ? 2) ,则 f ( x) 的值域为

6、若函数 f ( x) ? (1 ? 2a) x ? 3 在 R 上是单调增函数,则 a 的取值范围是 7、若函数 f ( x) ? ax ? 2x 是奇函数,则 a ?
2

7

8、已知偶函数 f ( x) 在 [0,??) 单调递减, f (2) ? 0 ,若 f ( x ? 1) ? 0 ,则 x 的取值范围 9、偶函数 y ? f ( x) 的图像关于 x ? 2 对称, f (3) ? 3 ,则 f (?1) ? 10、已知函数 f ( x) 是定义在 (??,?3] ? [3,??) 上的奇函数,当 x ? 3 时, f ( x ) ? 11、已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [2,6] 上是减函数,则 f (?5)

5 ,则 f (?9) ? x ?1

f (3)

12、已知函数 f ( x) 定义在 [?1,3] 上的减函数,且函数 f ( x) 图像经过点 P(?1,2), Q(3,?4) ,则该函数的值 域是 三、解答题: 1.已知函数 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x , (1)求 f (2), f (?2), f (2) ? f (?2) 的值; (2)求 f (a), f ( ?a), f (a) ? f ( ?a) 的值. 2、已知函数 f ( x) ? ?

? x( x ? 4), x ? 0 .求 f (1) , f (?3) , f (a ? 1) 的值. ? x( x ? 4), x ? 0

3、已知 y ? f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,求 a 的取值范围。 4、画出函数 y ?| x ? 2 | 的图象. 5、求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ?

3x 6 4? x ; (2) f ( x) ? x 2 ;(3) f ( x) ? 2 ; (4) f ( x) ? . x?4 x ? 3x ? 2 x ?1

6.若 f ( x) ? x2 ? bx ? c ,且 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ,求 f (?1) 的值. 7、证明:函数 f ( x) ? x2 ? 1 是偶函数,且在 ?0, ??? 上是增函数。 8 、 设 f ( x ) 与 g ( x) 的 定 义 域 是 {x | x ? R, 且x ? ?1} , f ( x ) 是 偶 函 数 , g ( x) 是 奇 函 数 , 且

f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x ) 与 g ( x) 的解析表达式。 x ?1
2

9、对于二次函数 y ? ?4 x ? 8x ? 3 , (1)指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标; (2)求函数的最大值或最小值; (3)分析函数的单调性。 10、设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数,并且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ? ? ? 1 , (1)求 f (1) 的值, (2)如果 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ,求 x 的取值范围。 答案
?

?1? ? 3?

8

一、选择题: ABCDA BCDAB CD 二、填空题: 13、24 15、 0 ? a ? 14、 y ? ?2( x ? 3)2 ? 2 ? ?2 x2 ? 12 x ? 16

2 3

16、 3

17、 ? ??, ?8? ? ? ? 三、解答题:

? 1 ? ?1 ? , 0 ? ? ? ,1? ? 2 ? ?2 ?

18、 ? 2,

? 5? ? ? 2?

19、 (?2,3) 在 f 作用下的像是 (1, ?6) ; (2, ?3) 在 f 作用下的原像是 (3, ?1)或(?1,3) 20、略 21、(1)开口向下;对称轴为 x ? 1 ;顶点坐标为 (1,1) ; (2)其图像由 y ? ?4 x 2 的图像向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到; (3)函数的最大值为 1; (4)函数在 (??,1) 上是增加的,在 (1, ??) 上是减少的。 22、解:(1)令 x ? y ? 1,则 f (1) ? f (1) ? f (1) ,∴ f (1) ? 0 (2)∵ f ? ? ? 1 ∴ f ? ? ? f ( ? ) ? f ? ? ? f ? ? ? 2

?1? ? 3?

?1? ?9?

1 1 3 3

?1? ? 3?

?1? ? 3?

∴ f ?x ? ? f ?2 ? x ? ? f ?x(2 ? x)? ? f ? ? ,又由 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数,得:


?1? ?9?

1 ? ? x?2 ? x ? ? 9 ? ?x ? 0 ?2 ? x ? 0 ? ?

解之得: x ? ?1 ?

? ? ?

2 2 2 2? ?。 ,1 ? 3 3 ? ?

9


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