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2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (6)


2015 年全国高中数学联赛湖北省预赛
一、 填空题:本大题共 10 小题,每小题 9 分,共 90 分,请将答案填在答题卡的相应位置. 1.若对于任意实数 x ,都有 | x ? a | ? | x ? 1|? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值是 2.将 5 名大学生村官分配到某乡镇的三个村就职,若每个村至少一名,则不同的分配方案种数为 3.若 ( x2 ? x ? 2)3 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a6 x6 ,则 a1 ? a3 ? a5 ?

a 3 ? b3 ? ab2 5.设 an ? 2n , bn ? 5n ?1(n ? N * ), S ? {a1, a2 ,?, a2015} ?{b1, b2 ,?, b2015} ,则集合 S 中的元素个数为
4.已知顶角为 20? 的等腰三角形的底边长为 a ,腰长为 b ,则 6.已知点 P 在直角 ?ABC 所在的平面内, ?BAC ? 90? , ?CAP 为锐角,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AP |? 2, AP ? AC ? 2, AP ? AB ? 1 ,当 | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan ?CAP ?

7.已知正三棱柱 P ? ABC 的底面的边长为 6,侧棱长为 21 ,则该三棱锥的内切球的半径为 8.函数 f ( x) ? ( 1 ? x ? 1 ? x +2)( 1 ? x 2 ? 1) 的值域为 9.已知 F1 , F2 是椭圆

上,则 PF 1 ? PF2 的最小值为 10.使得

???? ???? ?

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点, A, B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点,点 P 在线段 AB 4

p ? 1 p2 ? 1 和 都是完全平方数的最大质数 p 为 2 2
18 ) ? 0}, B ? {( x, y ) | ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1} ,若 25 x

二、 本大题共 3 小题,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 11(本小题满分 20 分) 设平面点集 A ? {( x, y ) | ( y ? x)( y ?

( x, y) ? A ? B ,求 2 x ? y 的最小值.

12(本小题满分 20 分) 设 Tn 是数列 {an } 的前 n 项之积,满足 Tn ? 1 ? an , n ? N *. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 Sn ? T12 ? T22 ? ?? Tn2 ,求证: an ?1 ?

1 1 ? S n ? an ?1 ? . 2 3

13(本小题满分 20 分) 过直线 x ? 2 y ? 13 ? 0 上一动点 A( A 不在 y 轴上)作抛物线 y ? 8x 的两条切线, M , N 为切点,直线 AM , AN 分别与 y 轴交于点 B, C .
2

(Ⅰ)证明:直线 MN 恒过一定点; (Ⅱ)证明: ?ABC 的外接圆恒过一定点,并求该圆半径的最小值.

12(本小题满分 14 分) (Ⅰ)

(Ⅱ)

13(本小题满分 15 分) (Ⅰ) (Ⅱ)

14(本小题满分 15 分) (Ⅰ) (Ⅱ)


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