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山东师大附中2012级高三第四次模拟考试理科数学试卷


山师附中 2012 级高三第四次模拟考试

理科数学试题
命题人:程若礼 2015 年 1 月 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页.全卷满分 150 分.考试 时间 120 分钟.答题前,请务必将班级、姓名和考试号填涂在答题纸的规定位置.

第Ⅰ卷(共 50 分)
注意事项: 1.第Ⅰ卷共 1

0 个小题. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不涂在答题纸上,只答在试题卷上不得分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的选项. 1.若函数 f ( x) ? sin x cos x ,下列结论中正确的是 A.函数 f ( x) 的图象关于原点对称 C.函数 f ( x) 为偶函数 2.下列说法正确的是 A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1”
2 B.命题“?x0∈R,x2 0+x0-1<0”的否定是“?x∈R,x +x-1>0”

B.函数 f ( x) 最小正周期为 2? D.函数 f ( x) 的最大值为 1

C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“p 或 q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 3.执行如右图所示的程序框图,输出的 k 值是 A.4 B.5 C.6 D.7

4 3 cos θ- ?是纯虚数,则 tan(? ? ? ) 的值为 4. 若 z=sin θ- +i? 5? 5 ? 3 A. 4 4 B. 3 3 C.- 4 4 D.- 3

5.某种动物繁殖量 y (只)与时间 x (年)的关系为

y ? a log3 ( x ? 1) ,设这种动物第 2 年有 100 只,到第 8 年它们发
展到 A.200 只 B.300 只 C.400 只 D. 500 只

6.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 则该几何体的体积为 A. 3 3 B.1 D. 3
? ?

2 3 C. 3

7.已知集合 A={x|2x2-x-3<0},B=?x?y=lg x∈A∩B 的概率为 1 A. 4 1 B. 8 1 C. 3

? ?

1-x? ?,在区间(-3,3)上任取一实数 x,则 x+3?

1 D. 12

8.各项都是正数的等比数列 {an } 中,且 a2 ,

a ? a4 1 a3 , a1 成等差数列,则 3 的值为 2 a 4 ? a5
D.

A.

5 ?1 2

B.
2

5 ?1 2

C.

1? 5 2

5 ?1 1? 5 或 2 2

9.实系数一元二次方程 x ? ax ? 2b ? 0 的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上, 则

b?2 的取值范围是 a ?1
A. [1,4] B. (1,4) C. ? ,1?

?1 ? ?4 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?4 ?

10.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1 , F2 ,两条曲线在第 一象限的交点为 P, ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 ,椭圆与双曲线的离 心率分别为 e1 , e2 ,则 e1 ? e2 的取值范围是 A. (0, ??) B. ( , ??)

1 3

C. ( , ??)

1 5

D. ( , ??)

1 9

第Ⅱ卷(共 100 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷包括 5 道填空题,6 道解答题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案,考生需用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内, 在试卷上答题不得分. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.答案须填在答题纸相应的横线上. 11. 将函数 f ( x) ? 2sin( x ?

?
3

) 的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半, 纵坐标保持不变


得到新函数 g ( x) ,则 g ( x) 的最小正周期是

12. 已知直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为 C 的圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 A,B 两点,则 线段 AB 的长度等于 . n 3? 13 . 若 ? ? x-x? 的 展 开 式 的 各 项 系 数 绝 对 值 之 和 为 1024 , 则 展 开 式 中 x 项 的 系 数 为 . .

14.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 15.对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式: 22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,?; 23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,?.

根据上述分解规律,若 m2=1+3+5+?+11,p3 的分解中最小的正整数是 21,则 m +p= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题纸规定的 区域内,写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. ( 本题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin x ? cos x,1) ,n ? (cos x, ) , 若 f ( x) ? m ? n . (Ⅰ ) 求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ ) 已知 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a ? 3 ,

1 2

A ? 3 (A 为锐角) , 2sin C ? sin B ,求 A、 c、b 的值. f( ? )? 2 12 2
17.(本题满分 12 分)口袋中装着标有数字 1,2,3,4 的小球各 2 个,从口袋中任取 3 个 小球,按 3 个小球上最大数字的 8 倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用 ? 表示取出 的 3 个小球上的最大数字,求: (Ⅰ )取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (Ⅱ ) 随机变量 ? 的概率分布和数学期望; (Ⅲ )计分介于 17 分到 35 分之间的概率.

18.(本题满分 12 分)在如图的多面体中, EF ⊥平 面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC , BC ? 2 AD ? 4 ,EF ? 3 ,AE ? BE ? 2 ,G 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ)求二面角 C ? DF ? E 的余弦值.
B

A

D

E

F

G

C

19. (本题满分 12 分) 已知双曲线

2 x2 y 2 x ,其中 ? ? 1 的一个焦点为( cn ,0),一条渐近线方程为 y ? 2 an an ?1

{an } 是以 4 为首项的正数数列.
(Ⅰ)求数列 {cn } 的通项公式; (Ⅱ)若不等式

1 2 ? ? c1 c2

?

n n 2 ? ? + loga x (a>1)对一切正整数 n 恒成立, n cn 3 ? 2 3

求实数 x 的取值范围.

20. (本题满分 13 分)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a 2 b2

点分别为 F1、F2.其中 F2 也是抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的

5 . 3 (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ) 若过点 D (4, 0) 的直线 l 与 C1 交于不同的两点 A、 B, 且 A 在 DB 之间, 试求 ?AOD 与 ?BOD 面积之比的取值范围.
交点,且 | MF2 |?

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx (a ? 0) 2

(Ⅰ)若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域上是增函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设函数 ? ( x) ? e 2 x ? bex , x ? [0, ln 2],求函数? ( x) 的最小值; (Ⅲ)设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C2 交于 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的 切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

山师附中 2012 级高三第四次模拟考试

理科数学试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.A 2. D 3.B 4.C 5. A 6. A 7. C 8. B 9. D 10. B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ? 12.

10

13.-15

16 14. 3

15.11

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.( 满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

r r

1 3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? 2 2 2 2
???????????4 分

?

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z 得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z

∴ f ( x ) 的单调递增区间为得 [k? ? (Ⅱ)∵

?

,k? ? ] , k ? Z .?????????6 分 6 3

?

? ? A ? 3 又 0 ? A ? ,∴ A ? ???????8 分 ? )? s i A n? 2 3 2 12 2 ∵ 2sin C ? sin B .由正弦定理得 b ? 2c, ① ?????????9 分 ? 2 2 ∵ a ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? b ? c ? 2bc cos , ② ?????????10 分 3 ?c ? 3 解①②组成的方程组,得 ? . ?b ? 2 3 ? 综上 A ? , b ? 2 3 , c ? 3 . ?????????12 分 3
f(

17.( 满分 12 分) 解: (Ⅰ)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A ,
3 1 1 1 C4 ? C2 ? C2 ? C2 4 则 P( A) ? ? . 3 C8 7

???????????3 分

(Ⅱ)由题意 ? 所有可能的取值为:2,3,4.

P(? ? 2) ?

2 1 1 2 2 1 1 2 C2 ? C2 ? C2 ? C2 C4 ? C2 ? C4 ? C2 1 2 ? ; P ( ? ? 3) ? ? ; 3 3 C8 14 C8 7

P(? ? 4) ?

2 1 1 2 C6 ? C2 ? C6 ? C2 9 ? ; 3 C8 14

???????????7 分

所以随机变量 ? 的概率分布为

?
P

2

3

4

2 9 7 14 1 2 9 4 ? 3? ? 4 ? ? 3 . 因此 ? 的数学期望为 E? ? 2 ? 14 7 14 7

1 14

???????????9 分

(Ⅲ)“一次取球所得计分介于 17 分到 35 分之间”的事件记为 C ,则

P(C ) ? P(? ? 3或? ? 4) ? P(? ? 3) ? P(? ? 4) ?
18.( 满分 12 分)

2 9 13 ? ? . ???????12 分 7 14 14

(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC ,∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形,∴ AB / / DG . ???????????2 分 ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . ?????4 分 (Ⅱ)解∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB ,∴ EB, EF , EA 两两垂直. 以点 E 为坐标原点,以 EB, EF , EA 所在直线分别为 x, y, z 轴建立如图的空间直角坐标系. ???????6 分 由已知得, A (0,0,2) , B (2,0,0) , C (2,4,0) , F (0,3,0) , D (0,2,2) .????7 分 由已知得 EB ? (2,0,0) 是平面 EFDA 的法向量. 设平面 DCF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ∵ FD ? (0, ?1,2), FC ? (2,1,0) , ∴? ??8 分
x B
E

A

z

D

F

y

G

C

? ? FD ? n ? 0 ? ? FC ? n ? 0

,即 ?

?? y ? 2 z ? 0 ,令 z ? 1 ,得 n ? (?1, 2,1) . 2 x ? y ? 0 ?

???????10 分

设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? ,由图知 ? 为钝角, ∴ cos ? ? ? | cos ? n, EB ?|? ? |

?2 6 , |? ? 6 2 6

∴二面角 C ? DF ? E 的余弦值为 ? 19. ( 满分 12 分)

6 . 6

???????12 分

x2 y 2 解:(Ⅰ)∵双曲线方程为 ? ? 1 的一个焦点为( cn ,0),∴ cn ? an ? an?1 .?1 分 an an ?1
又∵一条渐近线方程为 y ?

an a 2 ? 2 ,即 n =2, x ,∴ a n ?1 2 a n ?1

???????3 分

∵a1=4,∴ {an } 是以 4 为首项、2 为公比的等比数列,∴an=2n+1. ∴ cn ? an ? an?1 ? 3 ? 2n . (Ⅱ)设 Tn ?

??????5 分 ?????6 分

1 2 ? ? c1 c2

?

n 1?1 2 ? ? ? ? cn 3 ? 2 22
? n ? ? 2n?1 ?


?

n? ? 2n ?



则 Tn ?

1 2

1? 1 2 ? ? ? 3 ? 22 23

2 1 n ? ? . ???????9 分 n ?1 3 3? 2 3 ? 2n 2 1 2 1 ? ? loga x (n∈N*)恒成立,即 ? ? loga x 恒成立, 故原不等式等价于 ? n ?1 3 3? 2 3 3 ? 2 n ?1
①-②得: Tn ? ∴ loga x ≥0 恒成立. ??????11 分 ???????12 分

? ?) . ∵a>1,∴x≥1,即 a 的取值范围是 [1,
20. ( 满分 13 分) 解: (Ⅰ)依题意知 F2 (1,0) ,设 M ( x1 , y1 ) . 由抛物线定义得 | MF2 |? 1 ? x1 ?

5 2 ,即 x1 ? . 3 3

??????1 分

将 x1 ?

2 6 2 代人抛物线方程得 y1 ? , 3 3

??????2 分

2 2 6 2 ( )2 ( ) 3 3 ? 1 及 a 2 ? b2 ? 1,解得 a2 ? 4, b2 ? 3 . 进而由 2 ? 2 a b
故椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

??????5 分

(Ⅱ)依题意知直线 l 的斜率存在且不为 0,设 l 的方程为 x ? my ? 4 代人 整理得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 由 ? ? 0 ,解得 m 2 ? 4 .

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

??????6 分 ??????7 分

?24 m ? ? y1 ? y2 ? 3m2 ? 4 ? 设 A( x , y ), B( x , y ) ,则 y1 ? y2 ? 36 ? 3 m2 ? 4 ?
1 1 2 2

① ②
??????8 分

1 OD ? y 1 S?AOD y 令? ? ,则 ? ? 2 ? 1 且 0 ? ? ? 1. 1 S?BOD OD ? y2 y2 2
?24m ? (? ? 1) y2 ? ? ? 3m 2 ? 4 将 y1 ? ? y2 代人①②得 ? ? ? y 2 ? 36 2 ? 3m 2 ? 4 ?
2 即m ?

??????9 分

,消去 y 2 得

(? ? 1)2

?

?

16m2 , 3m2 ? 4

4(? ? 1) 2 . 10? ? 3? 2 ? 3

??????10 分

2 由m ? 4得

(? ? 1)2 ? 1 ,所以 ? ? 1 且 3? 2 ? 10? ? 3 ? 0 , 10? ? 3? 2 ? 3
??????12 分

解得

1 ? ? ? 1 或1 ? ? ? 3 . 3



1 0 ? ? ? 1 ,∴ ? ? ? 1 3 1 3
??????13 分

1) . 故 ?ODA 与 ?ODB 面积之比的取值范围为 ( ,

21. ( 满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意: h( x) ? ln x ? x ? bx.
2

∵ h( x)在(0,??) 上是增函数, ∴ h?( x) ?

1 1 ? 2 x ? b ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,∴ b ? (2 x ? ) min x x

??????2 分

∵ x ? 0, 则

2 1 ? 2 x ? 2 2 . 当且仅当 x ? 时取等号. x 2
??????4 分

∴b 的取值范围为 (??,2 2 ]. (Ⅱ)设 t ?e x , 则函数化为 y ? t 2 ? bt, t ? [1,2] ,即 y ? (t ? ) ?
2

b 2

b2 , t ? [1, 2] .?5 分 4

∴当 ?

b ? 1, 即 ? 2 ? b ? 2 2时,函数 y在[1,2] 上为增函数,当 t=1 时, y min ? b ? 1. 2

当1 ? ? 当?

b2 b b ? 2, 即 ? 4 ? b ? ?2时,当t ? ? 时, y min ? ? ; 2 2 4

b ? 2,即b ? ?4时, 函数y在[1, 2] 上为减函数,当 t=2 时, ymin ? 4 ? 2b. ??8 分 2

综上所述, ? ( x) min

(b ? ?4) ?4 ? 2b ? 2 ? b ?? ? (?4 ? b ? ?2) 4 ? ? ? b ? 1 (?2 ? b ? 2 2)

??????9 分

(Ⅲ)设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),且0 ? x1 ? x2 . 则点 M、N 的横坐标为

x?

x1 ? x 2 . 2
C1 在 M 处的切线斜率为 k1 ?

2 . x1 ? x2
a( x1 ? x 2 ) ? b. 2
??????10 分

C2 在点 N 处的切线斜率 k 2 ?

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 , 即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ? b. x1 ? x2 2

2 2( x2 ? x1 ) a( x2 ? x12 ) a 2 a ? bx 2 ) ? ( x12 ? bx1 ) ? y2 ? y1 则 ? ? b( x2 ? x1 ) ? ( x 2 2 2 x1 ? x2 2

? ln x2 ? ln x1 ? ln

x2 , x1

x2 ? 1) x 2 2( x 2 ? x1 ) x1 . ? ln ? ? x2 x1 x1 ? x 2 1? x1 2(
设u ?

???12 分

x2 2(u ? 1) ? 1, 则 ln u ? , u ? 1 …………………………① x1 1? u
2(u ? 1) 1 4 (u ? 1) 2 , u ? 1. 则 r ?(u) ? ? ? . 1? u u (u ? 1) 2 u(u ? 1) 2

令 r (u ) ? ln u ? ∵u ? 1

∴ r ?(u) ? 0.

所以 r (u)在[1,??) 上单调递增,故 r (u) ? r (1) ? 0 ,则 ln u ?

2(u ? 1) , u ?1

这与①矛盾,假设不成立,故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.??14 分


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