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高中数学 第一章 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积173 球的表面积和体积目标导学 北师大版必修2


7.3 球的表面积和体积 学习目标 1.在上一节学习的基础上,会用公式求柱、 锥、台体的体积.了解柱、锥、台体的体积 之间的关系. 2.记住球的表面积和体积公式,并进行有关 计算. 3.通过学习,提高空间思维能力和空间想象 能力,增强了探索问题和解决问题的信心. 重点难点 重点: 柱体、 锥体、 台体的体积的计算. 会 用公式求球的表面积和体积. 难点:与球有关的组合体的体积计算. 疑点: 已知几何体的三视图, 首先转化为 直观图,再求它体积. 1.柱、锥、台体的体积 V 柱体=Sh(S 为柱体的底面积,h 为柱体的高). 1 V 锥体= Sh(S 为锥体的底面积,h 为锥体的高). 3 1 V 台体= (S 上+S 下+ S上·S下)h(S 上,S 下分别为棱台的上,下底面积,h 为高). 3 预习交流 1 柱体、锥体、台体的体积公式有何联系? 提示:台体的体积公式中,如果设 S 上=S 下,就得到柱体的体积公式 V 柱体=Sh;如果设 1 S 上=0, 就得到锥体的体积公式 V 锥体= Sh.因此, 柱体、 锥体、 台体的体积 公式之间的关系, 3 可表示如下. 由上可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例. 预习交流 2 1 (1)正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的 ,则它的体积是原来的( ). 2 1 1 A. B. 4 8 1 1 C. D. 16 32 (2)已知正六棱台 的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体积为________. 提示:(1)B (2)28 3 2.球的表面积和体积 4 2 3 S 球面=4π R ,V 球= π R (其中 R 为球的半径). 3 预习交流 3 (1)若球的半径由 R 增加为 2R,则这个球的表面积变为原来的________倍,体积变为原 来的________倍. (2)若一个球的体积为 4 3π ,则它的表面积为______. 提示:(1)4 8 (2)12π 1 1.柱体的体积 如图①是一个水平放置的正三棱柱 ABC?A1B1C1,D 是棱 BC 的中点.正三棱柱的主视图如 图②. 求正三棱柱 ABC?A1B1C1 的体积. 思路分析:由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱长. 解:由三视图可知:在正三棱柱中,AD= 3,AA1=3,从而在底面即等边△ABC 中,AB AD 3 = = =2, sin 60° 3 2 所以正三棱柱的体积 1 1 V=Sh= ×BC×AD×AA1= ×2× 3×3=3 3. 2 2 1.圆柱的底面积是 S,侧面展 开图是一个正方形,则这个圆柱的体积是________. 解析:设圆柱的底面半径为 r, S 2 则 S=π r ,∴r= , π 则圆柱的母线长 l=2π r=2 π S, 即圆柱的高 h= 2 π S, ∴V 圆柱=S·h=2S π S. 答案:2S π S 2.根据图中物体的三视图(单位:cm),求此几何体体积. 1 解:该几何体上方是底面半径为 ,母线长为 1 的圆柱,下方是一个长、宽、高分别为 2 4,1,1 的长方体, π ?1?2 从而 V=4×1×1+π ·? ? ·1= +4. 4 ?2? 1.求柱体的体积关键是求其底面积和高,底面积利用平面图形面积的求 法,常转化为三角形及四边形,高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形,进 而求解. 2.求组合体的体积应据其结构特征分析求解,如迁移与应用题 2 中为长方体上放一圆 2 柱,故几何体体积为两体积之和. 2.锥体的体积 (201

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