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2015年上海市青浦区高三一模数学试卷


FunshineMaths 峰行数学

2015 年青浦区高三一模考试数学试卷
(满分 150 分,答题时间 120 分钟) 2015.1.10

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1、若复数 z ?

>1 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 | z |? 1? i

. .

2、设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S 7 ? 42 ,则 a4 ? 3、 (1 ? 2 ) 9 展开式中有理项的个数是 4、直线 l : x tan . .

? ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? ? 5

5、已知函数 y ? 2 cos x与y ? 2 sin( 2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,他们的图像有一个很坐标为 交点,则 ? ? .

? 的 3

6 、平面 ? 截半径为 2 的球 O 所得的截面圆的面积为 ? ,则球心 O 到平面 ? 的距离 为 .
?1

7、函数 y ? f ( x ) 的反函数为 y ? f 数y? f
?1

( x) ,如果函数 y ? f ( x ) 的图像过点 (2,?2) ,那么函
.
2

(?2 x ) ? 1 的图像一定过点

8、已知函数 f ( x) 对任意的 x ? R 满足 f (? x) ? f ( x) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? ax ? 1 . 若 f ( x ) 有四个零点,则实数 a 的取值范围是 . . .

9、抛物线 y 2 ? 8 x 的动弦 AB 的长为 6,则弦 AB 中点 M 到 y 轴的最短距离是 10、 若甲乙两人从 6 门课中各选 3 门, 则甲乙所选课程中恰有 2 门相同的选法有种 11、已知 an ?

1 n? cos ,则无穷数列 {an } 前 n 项和的极限为 n 2 2

. .

12、已知正实数 x, y 满足 xy ? 2 x ? y ? 4 ,则 x ? y 的最小值为

13 、 设 函 数 y ? f ( x ) 在 R 上 有 定 义 , 对 于 任 意 给 定 正 数 M , 定 义 函 数

? f ( x), f ( x ) ? M , 则称函数 f M ( x) 为 f ( x) 的“ 孪生函数”, 给定函数 f ( x) ? 2 ? x 2 , fM ? ? ?M , f ( x ) ? M
M ? 1 ,则 f M (2) ?
.

14、 当 x和y 取遍所有实数时,f ( x, y ) ? ( x ? 5? | cos y |) 2 ? ( x ? | sin y |) 2 ? m 恒成立, 则m 的最大值为 .

资料整理

谭峰

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、已知 | a |? 1, | b |?

2 ,且 a ? (a ? b) ,则向量 a 与向量 b 的夹角为(



A. 30?

B. 45?

C. 90?

D. 135?

16、设 a、b 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,则下面四个命题中错误的是 ( ) B. 若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则 ? ? ? D.若 a // ? , ? ? ? ,则 a ? ?

A. 若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 b // ? C. 若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? 或 a ? ?
?

17、设 a、b 为正实数,则“ a ? b ”是“ a ? A. 充分不必要条件

1 1 ? b ? ”成立的( a b
C. 充要条件



B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

18、设函数 f ( x) ? n ? 1, x ? [n, n ? 1), n ? N ,函数 g ( x ) ? log 2 x ,则方程 f ( x) ? g ( x ) 实 数解的个数是( A. 1 个 ) B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分. 如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,
A1 C1 M D1

CC1 ? 4 , M 为棱 CC1 上一点.

B1

(1)若 C1 M ? 1 ,求异面直线 A1 M 和 C1 D1 所成角的正切值; (2)若 C1 M ? 2 ,求证 BM ? 平面 A1 B1M .

A B

D C

第 19 题图

2

FunshineMaths 峰行数学
20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分. 如图, 摩天轮上一点 P 在 t 时刻距离地面高度满足 y ? A sin(?t ? ? ) ? b , ? ? ? ?? , ? ? , 已知某摩天轮的半径为 50 米,点 O 距地面的高度为 60 米,摩天轮做匀 速转动,每 3 分钟转一圈,点 P 的起始位置在摩天轮的最低点处. (1)根据条件写出 y (米)关于 t (分钟)的解析式; ( 2) 在摩天轮转动的一圈内, 有多长时间点 P 距离地面超过 85 米?

第 20 题图

[ 来源:学| 科| 网 Z|X|X|K]

21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 如图所示的“8”字形曲线是由两个关于 x 轴对称的 半圆和一个双曲线的一部分组成的图形, 其中上半个圆 所在圆方程是 x ? y ? 4 y ? 4 ? 0 ,双曲线的左、右 顶点 A 、 B 是该圆与 x 轴的交点,双曲线与半圆相交 于与 x 轴平行的直径的两端点. (1)试求双曲线的标准方程; (2)记双曲线的左、右焦点为 F1 、 F2 ,试在“8” 字形曲线上求点 P ,使得 ?F1 PF2 是直角.
2 2

第 21 题图

资料整理

谭峰

22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分. 已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ?

3 , 数列 ?bn ? 是等比数列,且 b1 ? a1 , 2

b2 ? ? a3 , b3 ? a4 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,记点 Qn (bn , S n ), n ? N * .
(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:点 Q1、Q2、Q3、 ?、Qn、 ? 在同一直线 l 上,并求出直线 l 方程; (3)若 A ? S n ?

1 ? B 对 n ? N * 恒成立,求 B ? A 的最小值. Sn

23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 已知函数

f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? |. x x
x

(1)作出函数 f ( x) 的图像,并求当 x ? 0 时 a ? f ( x ) 恒成立的 a 取值范围; (2)关于 x 的方程 kf 2 ( x) ? 3kf ( x) ? 6( k ? 5) ? 0 有解,求实数 k 的取值范围; (3)关于 x 的方程 求 m 的取值范围.

f 2 ( x ) ? m f ( x) ? n ? 0 ( m, n ? R )恰有 6 个不同的实数解,

4

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2015 年青浦区高三一模考试数学试卷参考答案
一.填空题 1、 5 9、 1 二.选择题 15、B 16、D 17、C 18、C 2、6 10、180 3、5 11、 ? 4、

4? 5

5、

? 6

6、 3 13、-2

7、 (1,3) 14、8

8、 (2,??)

1 5

12、 2 6 ? 3

三.解答题 19. 解:(1)由题意, C1 M ? 1, B 1C1 ? BC ? 2 , B1C1 ? C1 M ,得 B1M ? 5

? A1 B1 / /C1 D1 ,所以异面直线 A1 M 和 C1 D1 所成角即为 A1 M 和 A1 B1 所成角
长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,? A1 B1 ? B1C1 , A1 B1 ? B1 B ,? A1 B1 ? 面 B1 BCC1 ,

? A1 B1 ? B1 M ,故可得 ?B1 A1M 为锐角且 tan ?B1 A1M ?
(2)由题意, BC ? B1C1 ? 2 , C1M ? 2 , CC1 ? 4 ? CM ? 2

B1M 5 ? B1 A1 2

? BB12 ? BM 2 ? B1 M 2 , ??BMB1 ? 90? ,即 BM ? B1M
又由 A1 B1 ? 面 B1 BCC1 可得 A1 B1 ? BM ,故 BM ? 平面 A1 B1 M . 20.解: (1)由题设可知 A ? 50 , b ? 60 , 又T ?

2? 2 所以 ? ? ? , 从而 ? 3, ? 3



再由题设知 t ? 0 时 y ? 10 ,代入 得 ,从而 ,



因此,

.

(2)要使点 P 距离地面超过 85 米,则有 即 即 ,又 0 ?



2? t ? 2? , (t ? 0) 解得 3



所以,在摩天轮转动的一圈内,点 P 距离地面超过 85 米的时间有1 分钟.

资料整理

谭峰

[ 来源:学| 科| 网 Z|X|X|K]

x2 y2 21.解(1)设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,在 a b
已知圆的方程中,令 y ? 0 , 得 x2 ? 4 ? 0 , 即 x ? ?2 , 则双曲线的左、 右顶点为 A ? ?2, 0 ? 、

B ? 2, 0 ? ,于是 a ? 2
令 y ? 2 ,可得 x 2 ? 8 ? 0 ,解得 x ? ?2 2 ,即双曲线过点

? ?2

2, 2 ,则

?

8 4 ? ? 1 所以 b ? 2 , 2 2 b2
x2 y 2 ? ?1 4 4

所以所求双曲线方程为

(2)由(1)得双曲线的两个焦点 F1 ?2 2, 0 , F2 2 2, 0 当 ?F1 PF2 ? 90 时,设点 P ? x, y ? , ①若点 P 在双曲线上,得 x 2 ? y 2 ? 4 ,
?

?

?

?

?

第 21 题图

???? ???? ? ? x2 ? y 2 ? 4 2 2 2 由 F1 P ? F2 P ? 0 ,得 x ? 2 2 x ? 2 2 ? y ? 0 ? x ? 8 ? y ? 0 由 ? 2 , 2 ?x ? 8 ? y ? 0

?

??

?

解得 ?

? ?x ? ? 6 ? ?y ? ? 2

所以 P 1

?

6, 2 , P2

? ?

6, ? 2 , P3 ? 6, 2 , P4 ? 6, ? 2
???? ???? ?

? ?

? ?

?

②若点 P 在上半圆上,则 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 ? y ? 2 ? ,由 F1 P ? F2 P ? 0 , 得 x?2 2

?

??

?x2 ? y2 ? 4 y ? 4 ? 0 无解 x ? 2 2 ? y 2 ? 0 ,由 ? 2 2 ? x ? y ?8 ? 0

?

综上,满足条件的点有 4 个,分别为

P 1

?

6, 2 , P2

? ?

6, ? 2 , P3 ? 6, 2 , P4 ? 6, ? 2

? ?

? ?

?

22.解(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,由题设可得

1 3 ? ?3 ? 2d ? ? q ?q ? ? ? ?2 2 ? q ? ?1 2 ?? 或? ? ? 3 3 3 2 ?d ? 0 ? ? 3d ? q ?d ? ? ? ? ?2 2 ? 8

1 ? 1? 因为数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,所以 q ? ? ,即 bn ? ?3? ? ? 2 ? 2?

n

6

FunshineMaths 峰行数学
1 ? x ? ?3 ? ( ? ) n ? 3 1 1 n ? 2 得 Qn (bn , sn )即为Q ( ?(- )n ?1,1-(- )),令 ? n 2 2 2 ( 2) ? y ? 1-(- 1 )n ? ? 2

1 1 y ? x ? 1 ,即点 Q1、Q2、Q3、 ?、Qn、 ? ,在同一条直线 y ? x ? 1 上。 3 3
3 1 (1 ? ( ? )n ) a1 (1 ? q n ) 2 1 2 ( 3) S n ? ? ? 1 ? (? ) n , 1 1? q 2 1 ? (? ) 2
令 t ? Sn ?

1 , ? S n ? 0 , t 随着 S n 的增大而增大 Sn

1 ? 3? ? 5? 当 n 为奇数时, S n ? 1 ? ( )n 在奇数集上单调递减, S n ? ? 1, ? , t ? ? 0, ? 2 ? 2? ? 6? 1 ?3 ? ? 7 ? 当 n 为偶数时, S n ? 1 ? ( ) n 在偶数集上单调递增, S n ? ? ,1? , t ? ? ? ,0 ? 2 ?4 ? ? 12 ? ? tmin ? ? 7 5 1 ? 7 5? , tmax ? ,? A ? Sn ? ? B ,? ? ? , ? ? ? A, B ? 12 6 Sn ? 12 6 ? 17 12

即 B ? A 的最小值是

23.解: (1)解: D ? ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ?

? 2 ?? x x ? ? ??, ?1? ? ??2 x x ? ? ?1, 0 ? f ( x) ? ? ?2 x x ? ? 0,1? ?2 ? x ? ?1, ?? ? ?x

f ( x) 的基本性质: ①偶函数; ②单调增区间为 (??,?1) 和 (0,1) , 减区间为 (?1,0) 和 (1,??) ;
③有最大值为 2,无最小值, ;④无零点;⑤无周期

(2)因为关于 x 的不等式 kf 2 ( x) ? 2kf ( x) ? 6( k ? 7) ? 0 恒成立,令 f ( x) ? t , 则 t ? ? 0, 2? 资料整理 谭峰

即不等式 k (t ? 2t ? 6) ? 42在t ? ? 0, 2? 上恒成立
2

当 t ? ? 0, 2? 时,? t ? 2t ? 6 ? ? 5, 6?
2

?k ?

42 42 ? 42 ? 42 ? ? ?7, ? 2 2 t ? 2t ? 6 ,又 t ? 2t ? 6 (t ? 1) ? 5 ? 5 ?
2

?k ?

42 5

( 3 )关于 x 的方程

f 2 ( x ) ? m f ( x) ? n ? 0 ( m, n ? R )恰有 6 个不同的实数解即

f 2 ( x) ? mf ( x ) ? n ? 0 有 6 个不同的解,
数形结合可知必有 f1 ( x) ? 2 和 f 2 ( x ) ? t , t ? ? 0, 2? 令 u ? f ( x ) ,则关于 u 的方程 g (u ) ? u ? mu ? n ? 0 有一根为 2,另一根在 ? 0, 2 ? 间
2

? 2m ? n ? 4 ? 0 ? g ? 0? ? 0 ? ? ? n ? (0,4) ? m ?- 2 ? (0,2) ? 2 ? ? m ? 4n ? 0

8


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