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2014届高考数学一轮复习 第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》(第1课时)知识过关检测 理 新人教A版


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 4 章《平面向量、 数系的扩充与复数的引入》 (第 1 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 1.下列结论中,不正确的是( ) → → → → A.向量AB,CD共线与向量 AB∥CD同义 → → → → B.若向量AB∥CD,则向量AB与DC共线 → → → → C.若向量AB=CD,则向量BA=DC

D.只要向量 a,b 满 足|a|=|b|,就有 a=b 解析:选 D.根据平行向 量(或共线向量)定义知 A、B 均正确;根据向量相等的概念知 C 正确,D 不正确. → → → → → 2.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中 点,则MN=( ) 1 1 1 1 A.- a+ b B.- a+ b 4 4 2 2 1 3 3 C.a+ b D.- a+ b 2 4 4 1 → → → → → → 3 解析:选 A.由AN=3NC,得 4AN=3AC=3(a+b),又AM=a+ b,所以MN= (a+b)-(a 2 4 1 1 1 + b)=- a+ b. 2 4 4 3.

(2013· 沈阳质检)如图中的小网格由等大的小正方形拼成,则向量 a-b=( ) A.e1+3e2 B.-e1-3e2 C.e1-3e2 D.-e1+3e2 解析:选 C.由图知:a=3e1+2e2,b=2e1+5e2, ∴a-b=e1-3e2. → → → 4.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C ,满足 2AC+CB=0,则OC等 于( ) → → → → A.2OA-OB B.- OA+2OB 2→ 1→ 1→ 2→ C. OA- OB D.- OA+ OB 3 3 3 3 → → → 解析:选 A.OC=OB+BC

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→ → → → → =OB+2AC=OB+2(OC-OA). → → → ∴OC=2OA-OB. → → → 1→ → 5.(2013·厦门质检)在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λ CB, 3 则 λ =( ) 2 1 A. B. 3 3 1 2 C.- D.- 3 3 2 → → → → 2→ → 2 → → 1→ 2→ 解析:选 A.CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ (CB-CA)= CA+ CB,所以 λ = ,故选 A. 3 3 3 3 3 二、填空题 → |AB| → → → 6.已知平面上不共线的四点 O、A、B、C,若OA-2OB+OC=0,则 等于________. → |BC| 答案:1 7.已知向量 a、b 不共线,若 a-2b 与 3a+kb 共线,则实数 k=________. 解析:因为 a-2b 与 3a+kb 共线,所以存在实数 λ 使得 a-2b=λ (3a+kb),整理得
? ?3λ -1=0 (3λ -1)a+(kλ +2)b=0, 又因为向量 a、 不共线, b 所以? ?kλ +2=0 ?

?λ =1 ? 3 , ? ∴ ?k=-6 ?

.

答案:-6 → → → → → 8.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ABC 的 形状为__________. → → → → → → → → → 解析:OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC, → → → → → OB-OC=CB=AB-AC, → → → → ∴|AB+AC|=|AB-AC|, 故 A、B、C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案:直角三角形 三、解答题 9.

→ → (2013·威海质检)已知平行四边形 ABCD 中,AD=a,AB=b,M 为 AB 中点,N 为 BD 靠近 B 的三等分点. → → (1)用基底 a,b 表示向量MC,NC; (2)求证:M、N、C 三点共线. → → → 1 解:(1)MC=MB+BC= b+a, 2 1→ → 1 2 1 → → → NC=NB+BC= DB+BC= (b-a)+a= a+ b. 3 3 3 3 2→ → → → (2)证明:∵NC= MC,又NC与MC有公共点 C, 3 ∴M,N,C 三点共线.
2

10.

→ → 如图,在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a,AC= → b,试用 a,b 表示AG. → → → 解:AG=AB+BG → → → λ → → =AB+λ BE=AB+ (BA+BC) 2 ? λ ?→ λ → → =?1- ?AB+ (AC-AB) 2? 2 ? λ → λ → =(1-λ )AB+ AC=(1-λ )a+ b. 2 2 → → → → → 又AG=AC+CG=AC+mCF → m → → =AC+ (CA+CB) 2 → m→ m =(1-m)AC+ AB= a+(1- m)b, 2 2

?1-λ =m ? 2 ∴? λ ? ?1-m= 2
1 → 1 ∴AG= a+ b. 3 3

2 ,解得 λ =m= , 3

一、选择题

→ → → 1.(2011·高考四川卷)如图,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF=( → A.0 B.BE → → C.AD D.CF 解析:选 D.

)

→ → → → 如图,在正六边形 ABCDEF 中,CD=AF,BF=CE, → → → → → → → → → → → ∴BA+CD+EF=BA+AF+EF=BF+EF=CE+EF=CF.

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→ → → → → → 2.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立,则 m= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 → → → 解析:选 B.∵MA+MB+MC=0, ∴点 M 是△ABC 的重心. → → → ∴AB+AC=3AM.∴m=3. 二、填空题 → → → → 3.在△ABC 所在的平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△ PBC 与△ABC 的面积之 比是________. → → → → → → → → → → → → 解析:因为PA+PB+PC=AB,所以PC=AB-PB-PA=AB+BP+AP=2AP,所以点 P 在边 2 CA 上,且是靠近点 A 一侧的三等分点,所以△PBC 和△ ABC 的面积之比为 . 3 2 答案: 3 → → → 4.设向量 e1,e2 不共线,AB=3(e1+e2),CB=e2-e1,CD=2e1+e2,给出下列结论:① A、B、C 共线;②A、B、D 共线;③B、C、D 共线;④A、C、D 共线,其中所有正确结论的 序号为________. → → → → → → 解析:AC=AB-CB=4e1+2e2,BD=CD-CB=3e1,由向量共线的充要条件 b=λ a(a≠0) 可得 A、C、D 共线,而其他 λ 无解. 答案:④ 三、解答题 → → → → → 5.已知 a,b 不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设 t∈R,如果 3a=c,2b =d,e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数 t 的 值,若不存在,请说明理由. → → 解:由题设知,CD =d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条直 → → 线上的充要条件是存在实数 k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. ?t-3+3k=0 ? 6 因为 a,b 不共线,所以有? ,解之得 t= . 5 ? ?t-2k=0 6 故存在实数 t= 使 C,D,E 三点在一条直线上. 5

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