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2011届高考数学第一轮复习专辑课件20


基础知识 自主学习 4.5两角和与差的正弦 两角和与差的正弦、 §4.5两角和与差的正弦、余弦和正切
要点梳理
cos(α+β)= sin(α+β)=

cos αcos β-sin αsin β

1.cos( 1.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β(Cα-β) sin αcos β+cos αsin β (Cα+β) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(Sα-β) (Sα+β)

tan α tan β tan(α β ) = (Tα β ) 1 + tan α tan β tan α + tan β tan(α + β ) = (Tα + β ) 1 tan α tan β 前面4 都成立, 前面4个公式对任意的α,β都成立,而后面两个 公式成立的条件是 α ≠ kπ + , β ≠ kπ + , k ∈ Z, 2 2 π π 需满足), (Tα+β需满足), α β ≠ kπ + 且α + β ≠ kπ + 2 2 需满足) 时成立,否则是不成立的. (Tα-β需满足) k∈Z时成立,否则是不成立的.当 tan( 的值不存在时, tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在时, 不能使用公式T 处理有关问题, 不能使用公式Tα±β,处理有关问题,应改用诱导 公式或其它方法来解. 公式或其它方法来解.

π

π

2.要辩证地看待和角与差角,根据需要, 2.要辩证地看待和角与差角,根据需要,可以进 要辩证地看待和角与差角 行适当的变换: 行适当的变换:α=(α+β)-β,α=(α-β) +β,2α=(α+β)+(α-β), 等等. 2α=(α+β)-(β-α)等等. 3.二倍角公式 3.二倍角公式 sin 2α= 2sin αcos α ; cos 2α= cos2α-sin2α = 2cos2α-1 = ; 2 tan α tan 2α= 1 tan 2 α 1-2sin2α

.

4.在准确熟练地记住公式的基础上, 4.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用 在准确熟练地记住公式的基础上 公式解决问题:如公式的正用、 公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用 等.如Tα±β可变形为: 可变形为: tan α±tan β=tan( ±β)(1tan αtan β) , tan(α± )(1 tan α + tan β tan α tan β tan αtan β= 1 tan(α + β ) = tan(α β ) 1 . 5.函数 函数f 为常数) 5.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b为常数),可以 a 2 + b 2 sin( α + ) 或f(α)= 化为f 化为f(α)=

a 2 + b 2 cos(α ),其中φ可由a,b的值唯一 可由a
确定. 确定.

基础自测
43° 77° 43° 167° 1.cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值为 ( B) A. 1 2 B. 1 C. 1 D. 1 3 2 3 原式=cos 43°cos(90° 13° 原式=cos 43°cos(90°-13°)

解析

43°cos(180° 13° +sin 43°cos(180°-13°) 43° 13° 43° 13° =cos 43°sin 13°-sin 43°cos 13° =sin(13° 43°)=30° =sin(13°-43°)=-sin 30°= 1 . 2

2.已知 cos α = 4 且α ∈ (π , π ), 则 tan(π + α )等于 5 2 4 (C ) 1 1 A. B. 7 C. D .7 7 7 解析 3 3 由已知可得 sin α = , 故 tan α = , 5 4

3 π 1 4 1 从而 tan(α + ) = = . 4 1+ 3 7 4

3.(2009陕西理, 3.(2009陕西理,5)若3sin α+cos α=0, 陕西理 1 的值为( 的值为( A ) 2 cos α + sin 2α A. 10 B. 5 C. 2 3 3 3 则 解析

D.D.-2

1 =0,则 3sin α+cos α=0,则 tan α = , 3

1 sin 2 α + cos 2 α = 2 cos α + sin 2α cos 2 α + 2 sin α cos α
1 2 ( ) + 1 tan 2 α + 1 10 3 = = = . 1 + 2 tan α 1 + 2 × ( 1 ) 3 3

4.已知tan( )=3, )=5, 4.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan 2α 已知 等于( 等于( ) D A.1 8 解析 C. 4 D. 4 7 7 =tan[ tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)] B. 1 8

tan(α + β ) + tan(α β ) 3+5 8 4 = = = = . 1 tan(α + β ) tan(α β ) 1 3 × 5 14 7

5.(2009上海理, 2x 5.(2009上海理,6)函数y=2cos2x+sin 2x的最 上海理 函数y 小值是 解析

1 2 .
2x 2x 2x ∵y=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x

=1= 1 + 2 sin(2 x + ), ∴y最小值=1- 2 . 4

π

题型分类 深度剖析
题型一 三角函数式的化简、 三角函数式的化简、求值
(1 + sin θ + cos θ )(sin 2 + 2 cosθ

θ

【例1 】 (1)化简

cos ) 2 2 (0 < θ < π );

θ

( 2)求值

1 + cos 20° 1 sin 10°( tan 5°). 2 sin 20° tan 5°

(1)从把角 入手, 思维启迪 (1)从把角θ变为 2 入手,合理使用 公式. 公式. (2)应用公式把非10°角转化为10°的角, (2)应用公式把非10°角转化为10°的角,切 应用公式把非10 10 化弦. 化弦.

θ



(1)原式
(2 sin

θ

=

cos + 2 cos )(sin cos ) 2 2 2 2 2
2

θ

θ

θ

θ

4 cos 2

θ

2

cos (sin 2 cos 2 ) cos cos θ 2 2 2 = 2 = . cos

θ

θ

θ

θ

θ

2

cos

θ

2

因为0 < θ < π , 所以0 < 所以原式 = cos θ .

θ
2

<

π
2

, 所以 cos

θ
2

> 0,

2 cos 2 10° cos 5° sin 5° ( 2)原式 = ) sin 10°( 2 × 2 sin 10° cos 10° sin 5° cos 5° cos 10° cos 2 5° sin 2 5° = sin 10° 2 sin 10° sin 5° cos 5° cos 10° cos 10° = sin 10° 1 2 sin 10° sin 10° 2 cos 10° cos 10° 2 sin 20° = 2 cos 10° = 2 sin 10° 2 sin 10° = cos 10° 2 sin(30° 10°) 2 sin 10°

1 3 cos 10° 2( cos 10° sin 10°) 3 sin 10° 3 2 2 = = = . 2 sin 10° 2 sin 10° 2

探究提高

(1)三角函数式的化简要遵循“三看” 三角函数式的化简要遵循“三看”

原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征. 原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征. (2)对于给角求值问题,往往所给角都是非特 对于给角求值问题, 殊角,解决这类问题的基本思路有: 殊角,解决这类问题的基本思路有: ①化为特殊角的三角函数值; 化为特殊角的三角函数值; ②化为正、负相消的项,消去求值; 化为正、负相消的项,消去求值; ③化分子、分母出现公约数进行约分求值. 化分子、分母出现公约数进行约分求值.

知能迁移1 知能迁移1 求值 : 解

sin 50°(1 + 3 tan 10°) cos 20° . cos 80° 1 cos 20°

Q sin 50°(1 + 3 tan 10°)

cos10° + 3 sin 10° = sin 50° cos 10° 2 sin 40° = sin 50° = 1, cos 10° cos 80° 1 cos 20° = sin 10° 2 sin 2 10° = 2 sin 2 10°. ∴ sin 50°(1 + 3 tan 10°) cos 20° cos 80° 1 cos 20°

1 cos 20° = = 2. 2 2 sin 10°

三角函数的给值求值 β 1 α 2 π 【例2 】 已知 cos(α ) = , sin( β ) = , 且 < α 2 9 2 3 2 π α +β < π ,0 < β < , 求 cos 的值. 2 2 角的变换: 思维启迪 角的变换:所求角分拆成已知角的 倍角等,综合上述公式及平方关系. 和、差、倍角等,综合上述公式及平方关系. 解 (α ) ( β ) = 2 2

题型二

β

α

α +β
2

,

Q

π
2

< α < π ,0 < β <

π
2



π
4



β
2

< π ,

π
4

<

α
2
2

β <

π
2

.

4 5 ∴ sin(α ) = 1 cos (α ) = , 2 2 9 α α 5 cos( β ) = 1 sin 2 ( β ) = 2 2 3 α +β β α β ∴ cos = cos(α ) cos ( β ) + sin(α ) 2 2 2 2 7 5 α sin( β ) = . 2 27

β

β

角的变换:转化为同角、特殊角、 探究提高 角的变换:转化为同角、特殊角、已 知角或它们的和、 两倍、一半等; 知角或它们的和、差、两倍、一半等;如

α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+ (α-β)等;
函数变换:弦切互化,化异名为同名. 函数变换:弦切互化,化异名为同名. 综合运用和、 综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范 围对函数值的影响.当出现互余、互补关系, 围对函数值的影响.当出现互余、互补关系,利用 诱导公式转化. 诱导公式转化. 知能迁移2 知能迁移2 已知 cos(α β ) = 3 , sin β = 5 , 5 13 且α ∈ (0, ), β ∈ ( ,0), 则 sin α等于 2 2 33 63 33 A. B. C. 65 65 65

π

π

( ) 63 D. 65

π π 解析 由于α ∈ (0, ), β ∈ ( ,0),因此α β ∈ (0, π ). 2 2 π 3 又由于 cos(α β ) = > 0,因此α β ∈ (0, ). 5 2 4 12 sin(α β ) = 且 cos β = , sin α = sin(α β + β ) = sin(α 5 13 4 12 3 5 33 β ) cos β + cos(α β ) sin β = × + × ( ) = . 5 13 5 13 65
答案 A

题型三

三角函数的给值求角

【例3 】 已知tan(α-β)= 1 ,tan β= 1 , 已知tan( 2 7 ∈(0,π),求 的值. 且α,β∈(0,π),求2α-β的值.

思维启迪

对角2 对角2α-β拆分为α+(α-β);α拆

分为(α-β)+β,先求tan α,再求tan(2α-β). 分为( 先求tan 再求tan(2 解 tan α = tan[(α β ) + β ]

tan(α β ) + tan β 1 = > 0. = 1 tan(α β ) tan β 3 而α ∈ (0, π ), 故α ∈ (0, ). 2

π

1 π Q tan β = < 0,0 < β < π ,∴ < β < π . 7 2 1 ∴ π < α β < 0.而 tan(α β ) = > 0, 2 ∴ π < α β < . 2 )∈(∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0). ∵tan(2α-β)=tan[α+(α-β)] )=tan[

π

=

tan α + tan(α β ) 3π = 1,∴ 2α β = . 1 tan α tan(α β ) 4

(1)通过求角的某种三角函数值来求 探究提高 (1)通过求角的某种三角函数值来求 在选取函数时,遵照以下原则: 角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数 值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦 选正切函数; 已知正、余弦函数值, 或余弦函数; 选正、 或余弦函数;若角的范围是(0, ) ,选正、余弦 2 皆可;若角的范围是( ),选余弦较好 选余弦较好; 皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好; 若角的范围为 ( π , π ) ,选正弦较好. 选正弦较好. 2 2 解这类问题的一般步骤为: (2)解这类问题的一般步骤为: ①求角的某一个三角函数值; 求角的某一个三角函数值; ②确定角的范围; 确定角的范围; ③根据角的范围写出所求的角. 根据角的范围写出所求的角.

π

知能迁移3 知能迁移3 已知 0 < α < π < β < π , tan α = 1 , 2 2 2 2 cos( β α ) = . 10 的值; (1)求 (1)求sin α的值; (2)求 的值. (2)求β的值.

2 = 4, (1) tan α = α 3 1 tan 2 2 sin α 4 所以 = .又因为sin 2 α + cos 2 α = 1, cos α 3 4 解得 sin α = . 5


2 tan

α

( 2)因为0 < α <

π
2

< β < π , 所以0 < β α < π .

2 7 2 , 所以sin( β α ) = 因为cos( β α ) = . 10 10 所以 sin β = sin[( β α ) + α ] = sin( β α ) cos α + cos( β α ) sin α 7 2 3 2 4 2 = × + × = . 10 5 10 5 2 π 3π 因为β ∈ ( , π ), 所以β = . 2 4

题型四
【例4 】

三角函数的综合应用

为锐角,向量a (12分)已知α、β为锐角,向量a= 12分 1 1 ),b ),c (cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c = ( , ). 2 2 2 3 1 (1)若 ,a ,求角 求角2 的值; (1)若ab= ,ac= ,求角2β-α的值; 2 4 (2)若 的值. (2)若a=b+c,求tan α的值. (1)由 a b = 2 , a c = 3 1 及a,b, 思维启迪 2 4 的坐标, 的三角函数值, c的坐标,可求出关于α、β的三角函数值,进 而求出角. 而求出角.

的三角恒等式, (2)由a=b+c可求出关于α、β的三角恒等式, 利用方程的思想解决问题. 利用方程的思想解决问题.



(1)ab=(cos α,sin α)

(cos β,sin β) =cos αcos β+sin αsin β = cos(α β ) = 2 . 2 ①

1 1 a c = (cos a, sin α ) ( , ) 2 2 1 1 3 1 = cos α sin α = . 2 2 4 又Q 0 < α <

② 2分

π

2

,0 < β <

π

2

,∴

π
2

<α β <

π
2

. 4分

由①得α β = ± ,由②得α = . 4 6

π

π

5π Qα、 β 为锐角,∴ β = . 12 2 6分 从而2 β α = π . 3 1 cos β = cos α 2 ③ ( 2)由a = b + c可得 sin β = sin α + 1 ④ 2 1 2 2 ③ + ④ 得 cos α sin α = , 2 8分 3 ∴ 2 sin α cos α = . 4 2 sin α cos α 2 tan α 3 又 Q 2 sin α cos α = = = , 2 2 2 sin + cos α tan α + 1 4 10分 10分 ∴ 3 tan 2 α 8 tan α + 3 = 0.

又Qα为锐角,∴ tan α > 0, 8 ± 82 4 × 3 × 3 8 ± 28 4 ± 7 ∴ tan α = = = . 12分 12分 6 6 3 已知三角函数值求角, 探究提高 (1)已知三角函数值求角,一定要 注意角的范围. 注意角的范围.
(2)求有关角的三角函数问题,有时构造等式, 求有关角的三角函数问题,有时构造等式, 用方程的思想解决更简单、实用. 用方程的思想解决更简单、实用.

知能迁移4 2009广东理,16)已知向量a 知能迁移4(2009广东理,16)已知向量a= 广东理

2)与 互相垂直, θ (sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中 ∈ (0, ). 2 (1)求 的值; (1)求sin θ 和cos θ的值;

π

10 π ( 2)若 sin(θ ) = ,0 < < , 求 cos 的值. 10 2 (1) Q a ⊥ b,∴ sin θ 2 cosθ = 0,∴ tan θ = 2. 解

π 2 5 5 , cos θ = 又 Qθ ∈ (0, ),∴ sin θ = . 2 5 5 10 3 10 3 10 ( 2) Q sin(θ ) = ,∴ cos(θ ) = . 或 10 10 10 3 10 当cos(θ ) = 时, cos = cos[θ (θ )] 10

= cos θ cos(θ ) + sin θ sin(θ ) 5 3 10 2 5 10 2 = × + × = . 5 10 5 10 2 3 10 当cos(θ ) = 时, cos = cos[θ (θ )] 10 = cos θ cos(θ ) + sin θ sin(θ ) 5 3 10 2 5 10 2 = × + × = < 0. 5 10 5 10 10
2 . Q ∈ (0, ), 不合题意, 舍去.∴ cos = 2 2

π

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.巧用公式变形: 1.巧用公式变形: 巧用公式变形 和差角公式变形: =tan(x 和差角公式变形:tan x±tan y=tan(x±y) 倍角公式变形:降幂公式cos 2 α = 1 + cos 2α , sin 2 α = 倍角公式变形: 2 1 cos 2α 配方变形: 配方变形: ± sin α = (sin α ± cos α ) 2 , 1 ; 2 2 2 1 + cos α = 2 cos
2

(1 (1tan xtan y);

α
2

,1 cos α = 2 sin

2

α
2

.

2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期. 2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期. 利用辅助角公式求最值 y=asin α+bcos α= a 2 + b 2 sin )(其 (α+φ)(其 b a 2 + b 2 ≥| y | . a )有 )有: 中tan φ= 3.重视三角函数的“三变” 3.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变 重视三角函数的 三变”是指“ 角、变名、变式”;变角为:对角的分拆要尽 变名、变式” 变角为: 可能化成同名、同角、特殊角;变名: 可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能 减少函数名称;变式: 减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可 能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、 能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、 化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、 化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、 所求(或所证明)问题的整体形式中的差异, 所求(或所证明)问题的整体形式中的差异, 再选择适当的三角公式恒等变形. 再选择适当的三角公式恒等变形.

4.已知和角函数值, 4.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值 已知和角函数值 的技巧:把已知条件的和角进行加减或2 的技巧:把已知条件的和角进行加减或2倍角后 再加减,观察是不是常数角,只要是常数角, 再加减,观察是不是常数角,只要是常数角, 就可以从此入手, 就可以从此入手,给这个等式两边求某一函 数值,可使所求的复杂问题简化! 数值,可使所求的复杂问题简化! 5.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重 5.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换. 熟悉三角公式的整体结构 视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构, 视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构, 更要掌握公式中角和函数名称的特征, 更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会 公式间的联系,掌握常见的公式变形,倍角公 公式间的联系,掌握常见的公式变形, 式应用是重点, 式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用 倍角公式及其变形. 倍角公式及其变形.

失误与防范
1.运用公式时要注意审查公式成立的条件, 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注 运用公式时要注意审查公式成立的条件 意和、 意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次 倍角的相对性,要注意升次、 的灵活运用,要注意“1”的各种变通. 的灵活运用,要注意“1”的各种变通. 的各种变通 2 2.在(0,π)范围内 范围内, 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= 所对应的 2 角α+β不是唯一的. 不是唯一的. 3.在三角求值时,往往要估计角的范围后求值. 3.在三角求值时,往往要估计角的范围后求值. 在三角求值时

定时检测
一、选择题 45° 15° 225° 15° 1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值 为 (C)

A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 2 2 2 2 原式=sin 45° 15° 45° 解析 原式=sin 45°cos 15°-cos 45° 15° sin 15° 1 = sin 30° = . 2

5 2. 已知 sin(45° + α ) = , 则 sin 2α等于 ( B) 5

A.

4 5

B.

3 5

C.

3 5

D.

4 5

解析 sin(α + 45°) = (sin α + cos α )

2 5 = , 2 5

10 ∴ sin α + cos α = . 5 2 两边平方, 得1 + sin 2α = . 5 3 ∴ sin 2α = . 5

π 5π 3.已知 cos(π α ) = 3 , 则 sin 2 (α ) cos( + α ) 6 6 6 3
的值是 2+ 3 A. 3 2 3 C. 3 2+ 3 B. 3 2+ 3 D. 3 π 5π 2 解析 sin (α ) cos( + α ) 6 6
2+ 3 = 1 cos ( α ) + cos( α ) = . 6 6 3
2

( A)

π

π

4.已知向量 4.已知向量 a = (sin(α + ),1), b = (4,4 cos α 3), 6 4π (B ) 若a ⊥ b, 则 sin(α + )等于 3

π

3 A. 4

1 B. 4

3 C. 4

1 D. 4

解析 a b = 4 sin(α + ) + 4 cos α 3 6

π

= 2 3 sin α + 6 cos α 3 = 4 3 sin(α + ) 3 = 0, 3 π 1 ∴ sin(α + ) = . 3 4 4π π 1 ∴ sin(α + ) = sin(α + ) = . 3 3 4

π

5.已知 sin(π α ) = 1 , 则 cos( 2π + 2α )的值是 6 3 3 (A ) 7 A. 9 1 B. 3 1 C. 3 7 D. 9

2π π 解析 cos( + 2α ) = cos( 2α ) 3 3 2(π α ) = 1 2 sin 2 (π α ) = 7 . = cos 6 9 6

2 3 6.在 ABC中 =120° 6.在△ABC中,角C=120°,tan A+tan B= ,则 3 tan Atan B的值为 ( B) A. 1 B. 1 C. 1 D. 5 3 3 2 4 tan(A )=120° 解析 tan(A+B)=-tan C=-tan 120°= 3 ,

tan A + tan B ∴ tan( A + B) = = 3, 1 tan A tan B 2 3 1 3 即 = 3, 解得 tan A tan B = . 1 tan A tan B 3

二、填空题 7.若 sin α + cos α = 3, tan(α β ) = 2, 则 tan( β 2α ) = sin α cos α 4 . 3 解析

sin α + cos α tan α + 1 Q = = 3,∴ tan α = 2. sin α cos α tan α 1 又 tan(α β ) = 2, 故 tan( β α ) = 2. ∴ tan( β 2α ) = tan[( β α ) α ] tan( β α ) tan α 4 = = . 1 + tan( β α ) tan α 3

8.

3 sin 70° = 2 2 cos 10°

2 .

解析

3 sin 70° 3 sin 70° = 2 2 cos 10° 2 1 + cos 20° 2 2(3 sin 70°) 2(3 cos 20°) = = = 2. 3 cos 20° 3 cos 20°

3π 3 9. 已知 α , β ∈ ( , π ), sin(α + β ) = , sin( β π ) 4 5 4 12 π 56 = , 则 cos(α + ) = 65 . 13 4 解析
∴ 3 π π 3 π < α + β < 2π , < β < π , 2 2 4 4 4 π 5 ∴ cos( α + β ) = , cos( β ) = , 5 4 13 ∴ cos( α + 3π Q α、 β ∈ ( , π ), 4

π

4

) = cos[( α + β ) ( β

π

4 4 5 3 12 56 = × ( ) + ( ) × = . 5 13 5 13 65

= cos( α + β ) cos( β

π

4

)]

) + sin( α + β ) sin( β

π
4

)

三、解答题 10.化简: 10.化简:1) 2 sin(π x) + 6 cos(π x); 化简 ( 4 4
( 2) 2 tan( α ) sin 2 ( + α ) 4 4 π 3 π 1 解 (1)原式 = 2 2 sin( x) + cos( x) 4 2 4 2

π

2 cos 2 α 1

π

.

π π π π = 2 2 sin sin( x) + cos cos( x) 4 6 4 6
= 2 2 cos( + x) = 2 2 cos( x ). 6 4 12 cos 2α (2)原式 = 1 tan α π 1 cos( + 2α ) 1 + tan α 2 cos 2α = = 1. cos 2α (1 + sin 2α ) 1 + sin 2α

π π

π

11.已知函数 11.已知函数 f ( x) = 2 sin 2 ( + x) 3 cos 2 x. 4 (1)求 的周期和单调递增区间; (1)求f(x)的周期和单调递增区间; (2)若关于x的方程f 上有解, (2)若关于x的方程f(x)-m=2在 x ∈ π , π 上有解, 若关于 =2在 4 2 求实数m的取值范围. 求实数m的取值范围. 解 (1) f ( x) = 2 sin 2 ( + x) 3 cos 2 x 4

π

π

= 1 cos( + 2 x) 3 cos 2 x 2 = 1 + sin 2 x 3 cos 2 x
= 2 sin( 2 x ) + 1, 3

π

π

周期T = π , 令2kπ

≤ 2kπ + , 2 3 2 kπ π , kπ + 5π (k ∈ Z). 解得单调递增区间为 12 12 ≤ 2x π , π , 所以2 x π ∈ π , 2π , ( 2) x ∈ 3 6 3 4 2 π 1 sin( 2 x ) ∈ ,1, 3 2 所以f ( x)的值域为[2,3]. 而f ( x) = m + 2, 所以m + 2 ∈ [2,3],即m ∈ [0,1].

π

π

π

12.已知向量a ),b 12.已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α, 已知向量 3π 5sin α-4cos α), α ∈ ( ,2π ), 且a⊥b. 2 (1)求 的值; (1)求tan α的值; ( 2)求 cos( + )的值. 2 3 解 (1)∵a⊥b,∴ab=0. 而a=(3sin α,cos α), b=(2sin α,5sin α-4cos α), 故ab=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0. 由于cos 由于cos α≠0,∴6tan2α+5tan α-4=0. 4 1 解之, 得 tan α = , 或 tan α = . 3 2

α π

3π 1 ,2π ), tan α < 0, 故 tan α = (舍去). 2 2 4 ∴ tan α = . 3 Qα ∈ (
3π α 3π ,2π ),∴ ∈ ( , π ). 2 2 4 4 α 1 α 由 tan α = , 求得 tan = , 或 tan = 2(舍去). 3 2 2 2 α α 5 2 5 , cos = , ∴ sin = 2 5 2 5 ( 2) Qα ∈ ( cos( + ) = cos cos sin sin 2 3 2 3 2 3 2 5 1 5 3 = × × 5 2 5 2 2 5 + 15 = . 10

α π

α

π

α

π

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