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江苏省宿迁市汇文中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题


汇文中学 2014-2015 学年度第一学期期中考试

高二数学试卷
第一卷
一、填空题: (本大题共 8 小题,每题 5 分,共 40 分。请将答案填在答卷上 ) .........
1.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为 ▲ . 2.“ x ? 2 ”是“ x ? 1 ”的 ▲ 条件. (填“充分不必要”、“ 必要不充分

”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个) 3.在平面直角坐标系中,若点 (a , ? 1) 在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的上方(不含边界) , 则实数 a 的取值范围是 ▲ . 4.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f ( x) 在区间 [0 , 2] 上的平均变化率为 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 ▲ . 4 16 ?x ? y ? 3 ? 6.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z=2x+y 的最大值为 ? y ?1 ?
5.双曲线





2 7.一物体做加速直线运动,假设 t s 时的速度为 v(t ) ? t ? 3 ,则 t ? 2 时物体的加速度 为 ▲ .

8.不等式 1 ? x2 ? x ? a 在区间 [?1, 1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 9. (本题满分 14 分) 已知 p : ?x ? R ,不等式 x ? mx ?
2





二、解答题: (本大题共 4 道题,满分 60 分。答题应有必要的步骤和推理过程 ) ..............
3 x2 y2 ? 0 恒成立, q :椭圆 ? ? 1 的焦点在 x 轴上.若命 2 m ?1 3 ? m

题 p ? q 为真命题,求实数 m 的取值范围.

10. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x .
2

(1)若曲线 f ( x) 的一条切线的斜率是 2,求切点坐标; (2)求 f ( x) 在点 (?1, f (?1)) 处的切线方程.

11. (本题满分 16 分) 已知一个圆经过直线 l: 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的两个 交点,并且面积有最小值,求此圆的方程.
2 2
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

12. (本题满分 16 分)

如图,F 是中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C 的右焦点,直线 l:x=4 是椭圆 C 的 右准线,F 到直线 l 的距离等于 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上动点,PM⊥ l,垂足为 M.是否存在点 P,使得△ FPM 为等腰 三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
y l

O

F

x

第二卷
一、填空题: (本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分。请将答案填在答卷上 ) .........
13.直线 l:y=x-1 被圆(x-3)2+y2=4 截得的弦长为
2 2





14.若直线 y=kx+1(k∈ R)与焦点在 x 轴上的椭圆 围是 ▲ .
[来源:Zxxk.Com]

x y ? ? 1 恒有公共点,则 t 的取值范 5 t

?x ? y ?1 ? 0 ? 15.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
等于 2,则实数 a 的值为 ▲ .

16.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方 部分相交于点 A,则 AF= ▲ .

17.对任意实数 λ,直线 l1:x+λy-m-λn=0 与圆 C:x2+y2=r2 总相交于两不同点,则 直线 l2:mx+ny=r2 与圆 C 的位置关系是 ▲ .

x2 y 2 18.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两焦点 a b
为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B,C,D,则 该双曲线的离心率 e= ▲ .

二、解答题: (本大题共 2 道题,满分 3 0 分。答题应有必要的步骤和推理过程 ) ..............
19. (本题满分 14 分) 已知圆 M 的圆心在直线 2 x ? y ? 6 ? 0 上,且过点 (1 , 2) 、 (4 , ? 1) . (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 为 圆 M 上任一点,过点 P 向圆 O: x 2 ? y 2 ? 1引切线,切点为 Q.试探究: 平面内是否存在一定点 R,使得 明理由.

PQ 为定值?若存在,求出点 R 的坐标;若不存在,请说 PR

20. (本题满分 16 分)
2

[来源:Zxxk.Com]

已知椭圆G:

x y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 过点 A(0 , 5) , B(?8 , ? 3) ,C、D在该椭圆上,直线CD过原点O, a 2 b2
[来源:Zxxk.Com]

且在线段AB的右下侧. (1)求椭圆G的方程; (2)求四边形ABCD 的面积的最大值.

[来源:学科网]

汇文中学 2014-2015 学年度第一学期期中考试

高二数学试卷答案
第一 卷
一、填空题:1. (1,0) ;2.充分不必要;3.(??, ?1) ;4.2;5. y ? ?2 x ;6.5;7.4;8.( 2 , ? ?) . 二、解答题: 9. (本题满分 14 分)解: p : ? 6 ? m ? 6 ; q : 2 ? m ? 3 ,由 p ? q 为真知, p , q 皆为真,解得

2?m? 6 .
10. (本题满分 14 分)解: (1)切点坐标为 (1 , 1) ; (2)切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0

11 ? x2 ? ? ? ? x1 ? ?3 ? ?2x ? y ? 4 ? 0 5 11. (本题满分 16 分)解法一:由 ? 2 解得 ? 或? , 2 ? x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 ? y1 ? 2 ?y ? 2 2 ? 5 ? 13 2 6 2 4 过该两点的圆的面积最小,可求得其方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 5 5 5 13 ? x?? ? 2x ? y ? 4 ? 0 ? ? ? 5 解法二:所求圆的圆心为 ? 的交点,可求得 ? , 1 6 y ? ( x ? 1) ? 2 ?y ? ? ? 2 ? 5 ? 13 2 6 2 4 可求得其方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 5 5 5 13 2 6 2 4 解法三:圆系方程可求得其方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? y 5 5 5
12. (本题满分 16 分) x2 y2 解: (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0),

l

? c =4, ?a=2, ? 由已知,得?a ∴ ∴ b= ?c=1. ? c -c=3.
2

a2

O
2 2

F

x

x y 3.所以椭圆 C 的方程为 4 + 3 =

1. PF 1 1 (2)由PM=e=2,得 PF=2PM.∴ PF≠PM. ① 若 PF=FM,则 PF+FM=PM,与“三角形两边之和大于第三边”矛盾, ∴ PF 不可能与 PM 相等. ② 若 FM=PM,设 P(x,y)(x≠±2),则 M(4,y).∴ 32+y2=4-x , x2 y2 3 3 ∴ 9+y2=16-8x+x2,又由 4 + 3 =1,得 y2=3-4x2.∴ 9+3-4x2=16-8x+x2, 7 2 4 4 ∴ 7x2-32x+16=0.∴ x=7或 x=4.∵ x∈ (-2,2),∴ x=7. 4x -8x+4=0.∴ 4 3 15 4 3 15 ∴ P(7,± 7 ).综上,存在点 P(7,± 7 ),使得△ PFM 为等腰三角形.

第二卷
一、填空题:13.2 2;14.[1,5);15.3;16.4;17.相离;18. 二、解答题:
19. (本题满分 14 分)解: (1)圆 M: ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 9 ;
2 2

5 ?1 . 2

(2)设 P( x , y) , R(a , b) ,则 ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 ,即 x2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 11, 又 PQ2 ? x2 ? y 2 ? 1 , PR2 ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? x2 ? y 2 ? 2ax ? 2by ? a2 ? b2 , 故 PQ2 ? 8x ? 4 y ?12 , PR2 ? (8 ? 2a) x ? (4 ? 2b) y ? a2 ? b2 ?11 ,

PQ ? t 为定值,故 8 x ? 4 y ? 12 ? t 2[(8 ? 2a) x ? (4 ? 2b) y ? a2 ? b2 ?11] , PR ? 2 a2 ? ? 5 ? a1 ? 2 ?8 ? (8 ? 2a)t 2 ? ? 1 ? ? 2 可得 ? 4 ? (4 ? 2b)t ,解得 ?b1 ? 1 或 ?b2 ? , 5 ??12 ? (a 2 ? b 2 ? 11)t 2 ? ? ? ? t1 ? 2 ? 10 ? t2 ? 3 ? 2 1 综上,存在点 R (2 , 1) 或 ( , ) 满足题意. 5 5
又设 20. ( 本题满分 16 分)解:(1)将点 A(0,5),B(-8,-3)代入椭圆 G 的方程解得 (2)连结OB, 则 S四边形ABCD =S ?OAB ? S ?AOD ? S ?BOC ?

x2 y 2 ? ?1 100 25

1 1 1 |xB | ? AO ? d A ? OD ? d B ? OC , 2 2 2

其中 d A , d B 分别表示点A,点B 到直线CD 的距离. 设直线CD方程为y = kx,代入椭圆方程 解得: D(

x2 y 2 ? ? 1 得 x2 ? 4k 2 x2 ?100 ? 0 , 100 25

10 1 ? 4k 2 5

1 ? 4k 2 8k ? 3 3 (k ? ) 又 dA ? , dB ? 2 2 8 1? k 1? k
则 S四边形ABCD =

,

10k

) ,? OC ? OD ?

10 1 ? k 2 1 ? 4k 2



1 1 5 10 1+k 2 1 8k ? 3 10 1+k 2 ? 8 ? 5+ ? ? ? ? ? 2 2 1+k 2 1+4k 2 2 1+k 2 1+4k 2

16k 2 +8k ? 1 16k 2 +4(k 2 ? 1) ? 1 =20+10 ? ? 20 ? 10 ? 20 ? 10 5 . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2


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