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同角三角函数的基本关系式与诱导公式


第 2讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,

sinα =tanα. cosα

π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公 2 式.

板块一 知识梳理· 自主学习



[必备知识] 考点1 同角三角函数的基本关系式 sin2α+cos2α=1 1.平方关系:___________________.

sinα tanα= cosα 2.商数关系:______________.
考点2 六组诱导公式 角函 数 正弦 余弦 正切 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π -α π -α 2 π +α 2

sinα

-sinα -cosα
tanα

-sinα cosα
-tanα

sinα

cosα
sinα —

cosα -sinα —

cosα
tanα

-cosα
-tanα

[必会结论] 1.特殊角的三角函数值 α sinα 0 0 π 6 1 2 3 2 3 3 π 4 2 2 2 2 1 π 3 3 2 1 2 3 π 2 1 0 不存在 π 0 -1 0 3π 2 -1 0 不存在

cosα 1 tanα 0

π 2.诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”与“偶”指的是诱导公式 k·+α 中的整数 k 2 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若 k 是奇数,则正、余弦互变;若 k 为偶数, π π 则函数名称不变.“符号看象限”指的是在 k·+α 中,将 α 看成锐角时 k·+α 所在的象限. 2 2

[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.若 α,β 为锐角,则 sin2α+cos2β=1.( × ) 2.若 α∈R,则 tanα= 4 3.已知 sinα= ,α∈ 5 sinα 恒成立.( × ) cosα

?π ? 3 ? ,π?,则 cosα= .( × ) 5 ?2 ?

4.sin(π+α)=-sinα 成立的条件是 α 为锐角.( × ) 5.六组诱导公式中的角 α 可以是任意角.( √ ) 1 1 6.若 cos(nπ-θ)= (n∈Z),则 cosθ= .( × ) 3 3 1 1 7.已知 sin(α-37° )= ,则 cos(α+53° )=- .( √ ) 3 3

二、小题快练 1.[2015· 福建高考]若 sinα=- A. C. 12 5 B.- 12 5 5 12
5 12 ,所以 cosα= 1-sin2α= , 13 13

5 ,且 α 为第四象限角,则 tanα 的值等于( 13

)

5 12

D.-

解析

因为 α 是第四象限角,sinα=-

sinα 5 故 tanα= =- .选 D 项. cosα 12

2.[2016· 泰安模拟]sin600° 的值为( A.- C. 1 2 1 2 B.- D. 3 2 3 2

)

解析

sin600° =sin(360° +240° )=sin240° =sin(180° +60° )=-sin60° =-

3 . 2

?π ? 3 ?π 3π? ? ? 3.[2015· 辽宁五校联考]已知 cos 2+α = ,且 α∈?2, 2 ?,则 tanα=( ? ? 5 ? ?

)

A.

4 3 3 4

3 B. 4

3 D .± 4 ?π ? 3 3 4 3 ? 解析 因为 cos 2+α?= ,所以 sinα=- .显然 α 在第三象限,所以 cosα=- ,故 tanα= . 5 5 4 ? ? 5 C.-

4.[2016· 梅州模拟]已知 α 为锐角,且 tan(π-α)+3=0,则 sinα 的值是( A. C. 1 3 3 B. 10 10 D. 3 5 5

)

3 7 7

解析 sin2α= 9 . 10

由 tan(π-α)+3=0 得 tanα=3,即

sinα =3,sinα=3cosα,所以 sin2α=9(1-sin2α),10sin2α=9, cosα

3 又因为 α 为锐角,所以 sinα= 10. 10

?π ? ? sin 2+θ?-cos?π-θ? ? ? -2 5.[课本改编]已知 tanθ=2,则 =________. ?π ? sin?2-θ?-sin?π-θ? ? ?

解析 原式=

cosθ+cosθ 2cosθ = cosθ-sinθ cosθ-sinθ

2 2 = = 1-tanθ 1-2 =-2.

板块二 典例探究· 考向突破

考向 例1

同角三角函数基本关系式的应用

π 1 [2016· 杭州模拟]已知- <x<0,sinx+cosx= . 2 5

(1)求 sinx-cosx 的值;
1 ? ?sinx+cosx=5, ① [解] (1)解法一:联立方程? ? ?sin2x+cos2x=1, ② 1 由①得 sinx= -cosx,将其代入②,整理得 25cos2x-5cosx-12=0. 5

1 (2)求 2 的值. cos x-sin2x

?sinx=-3, ? 5 π ∵- <x<0,∴? 2 4 ?cosx=5 , ?
7 ∴sinx-cosx=- . 5

1 解法二:∵sinx+cosx= , 5
?1? ∴(sinx+cosx)2=?5?2, ? ?

1 即 1+2sinxcosx= , 25 24 ∴2sinxcosx=- . 25 ∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x 24 49 =1-2sinxcosx=1+ = .① 25 25 π 又∵- <x<0,∴sinx<0,cosx>0, 2 ∴sinx-cosx<0.② 7 由①②可知 sinx-cosx=- . 5

(2)由已知条件及(1)可知

?sinx+cosx=1, ? 5 ? 7 ?sinx-cosx=-5 , ?
3 ∴tanx=- . 4

?sinx=-3, ? 5 解得? ?cosx=4 , 5 ?

sin2x+cos2x 1 又∵ 2 = cos x-sin2x cos2x-sin2x sin2x+cos2x tan2x+1 cos2x 1 25 = 2 . 2 = 2 ,∴ 2 2 = cos x-sin x 1-tan x cos x-sin x 7 cos2x

延伸探究 1 sinx-2cosx 的值. 4sinx+cosx 3 - -2 sinx-2cosx tanx-2 4 11 解 = = = . 4sinx+cosx 4tanx+1 -3+1 8 在本例条件下,求

延伸探究 2 在本例条件下,求 sin2x+sinxcosx 的值.
2 sin x+sinxcosx 2 解 sin x+sinxcosx= sin2x+cos2x

9 3 tan x+tanx 16-4 3 = = =- . 2 9 25 tan x+1 +1 16
2

同角三角函数基本关系式及变形公式的应用 (1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、 余弦的互化, 利用 sinα =tanα 可以实现角 α 的弦切互化. cosα

(2)应用公式时注意方程思想的应用: 对于 sinα+cosα, sinαcosα, sinα-cosα 这三个式子, 利用(sinα± cosα)2 =1± 2sinαcosα,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. (4)关于 sinα,cosα 的齐次式,往往转化为关于 tanα 的式子求解.

【变式训练 1】 A.- C.- 1 5 5 5

(1)若 α 是第二象限角,且 tanα=-2,则 cosα=( B.- 2 5 2 5 5

)

D.-

解析 由 tanα=-2,得 sinα=-2cosα,代入平方关系得 5cos2α=1,因为 cosα<0,所以 cosα=-

5 . 5

(2)若 tanα=2,则 16 A. 5 C. 8 5

sinα+cosα +cos2α=( sinα-cosα

)

16 B.- 5 D.- 8 5

解析

sinα+cosα sinα+cosα cos2α 2 +cos α= + sinα-cosα sinα-cosα sin2α+cos2α

tanα+1 1 16 = + 2 = .故选 A. tanα-1 tan α+1 5

考向 的,在高考中常以选择题、解答题的形式出现. 命题角度 1 例2 1 -a 2 A. a a2-1 C. a
[解析]

利用诱导公式化简求值

利用诱导公式、同角三角函数关系式化简求值是高考的重点,常与三角恒等变换结合,达到化简的目 利用诱导公式化简三角函数式 )

(1)[2016· 厦门模拟]已知 cos31° =a,则 sin239° · tan149° 的值是( B. 1-a2 D.- 1-a2

sin239° · tan149° =sin(270° -31° )· tan(180° -31° )=(-cos31° )· (-tan31° )=sin31° = 1-a2.

(2)[2016· 淮南模拟]已知 f(x)=
? 21π? ? ? -1 ,则 f?- 4 ?=________. ?11 ? ? ? cos?3π-x?· sin? 2 π-x? ? ? ?3 ? sin?2π-x?· cos?2π+x?

[解析]

因为 f(x)= ? ?π ?? ? ? cos?π-x?· sin 6π- 2+x??
? ? ??

sin?-x?· sinx

= ? ?π ?? cosx?-sin?2+x??
? ? ??

sin2x

sin2x 2 = 2 =-tan x. -cos x
? 21 ? ? 21 ? ? ? π? π? 所以 f?- 4 π?=-tan2?- 4 π?=-tan2?-5π-4?=-tan2?-4? ? ? ? ? ? ? ? ?

π =-tan2 =-1. 4

命题角度 2 例3 A. 1 3

利用诱导公式求值 )

? ? π? 1 7 ? (1)[2016· 南昌模拟]已知 sin?x+12?= ,则 cos?x+12π?的值为( ? ? 3 ? ? 1 B.- 3

C.-
[解析]

2 2 3

D.

2 2 3

? π? 1 因为 sin?x+12?= , ? ? 3

? ?π ? 7 ? π ?? ? ? ? ? ?? x + π x + 所以 cos 12 ?=cos?2+? 12?? ? ? π? 1 ? ? x + =-sin 12?=-3. ?

?π ? ?5 ? - 2 ? ? ? (2)已知 tan 6-α = 2,则 tan 6π+α?=_______. ? ? ? ?

[解析]

?5π ? ? ?π ?? ? ? ? ? tan 6 +α =tan π- 6-α?? ? ? ? ? ??

?π ? ? ?=- 2. - α =-tan 6 ? ?

利用诱导公式化简求值的思路 (1)给角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过 程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用. (2)在对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结 合诱导公式来将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名称搞错.

【变式训练 2】 A. C. 4 5 B.- 4 5 3 5

?π 3π? ? π? 3 ? ? ? (1)[2016· 成都月考]已知 tan(α-π)= ,且 α∈ 2, 2 ,则 sin α+2?=( 4 ? ? ? ?

)

3 5

D.-

解析

3 3 tan(α-π)= ?tanα= . 4 4
? ?

?π 3π? 又因为 α∈?2, 2 ?,所以 α 为第三象限的角, ? π? 4 所以 sin?α+2?=cosα=- . 5 ? ?

?5π ? 1 ?π ? π (2)[2016· 衡水模拟]已知 cos?12+α?= ,且-π<a<- ,则 cos?12-α?等于( 2 ? ? 3 ? ?

)

A.

2 2 3

1 B. 3

C.-

1 3

D.-

2 2 3

解析

?5 ? ?π ? π ?π ? ?π ? π ?? ?5π ? π ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为 12π+α + 12-α = ,所以 cos 12-α =sin - 12-α =sin 12+α?.因为-π<α<- , 2 ? ? ? ? 2 ? ? ?2 ? ?? ? ?

7π 5π π 所以- <α+ <- . 12 12 12
?5π ? 1 π 5π π 又 cos?12+α?= >0,所以- <α+ <- , 2 12 12 ? ? 3 ?5π ? 所以 sin?12+α?=- ? ? ?5π ? 1-cos2?12+α? ? ?

=-

?1?2 2 2 1-?3? =- . 3 ? ?

(3)化简:

?π ? ?π ? sin?2+α?· cos?2-α? ? ? ? ?

cos?π+α?



?π ? ? sin?π-α?· cos 2+α? ? ?

sin?π+α?

0 =________.

cosα· sinα sinα?-sinα? 解析 原式= + -cosα -sinα =-sinα+sinα=0.

考向 例4 [2016· 广东梅州月考]在△ABC 中, A+B C +cos2 =1; 2 2
? ? ?

诱导公式在三角形中的应用

点击观看 考点视频

(1)求证:cos2
?

?π ? ?3 ? (2)若 cos?2+A?sin?2π+B?tan(C-π)<0,求证:△ABC 为钝角三角形.

[证明]

(1)在△ABC 中,A+B=π-C,

A+ B π C ∴ = - , 2 2 2 A+ B ?π C? C ∴cos =cos?2- 2 ?=sin , 2 2 ? ? ∴cos
2A+B

?π ? ?3 ? (2)若 cos?2+A?· sin?2π+B?· tan(C-π)<0, ? ? ? ?

则(-sinA)(-cosB)tanC<0,即 sinAcosBtanC<0. ∵在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,0<C<π 且 sinA>0,
?cosB<0 ?cosB>0 ? ∴ 或? , ?tanC>0 ?tanC<0

C +cos2 =1. 2 2

∴B 为钝角或 C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形.

三角形中的诱导公式 A B C π 诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-2C, + + = 等, 2 2 2 2 于是可得 sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,sin A+ B A+ B C C =cos ,cos =sin 等. 2 2 2 2

【变式训练 3】 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的 三个内角.
? ?sinA= 2sinB 由已知得? ? ? 3cosA= 2cosB



① ②

(1)当 cosA=

2 3 时,cosB= ,又 A、B 是三角形的内角, 2 2

①2+②2 得 sin2A+3cos2A=2, ∴1-cos2A+3cos2A=2,∴2cos2A=1, 2 2 即 cosA= 或 cosA=- . 2 2

π π 7 ∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= π. 4 6 12 2 3 (2)当 cosA=- 时,cosB=- . 2 2 3 5 又 A、B 是三角形的内角,∴A= π,B= π,不合题意. 4 6 π π 7 综上知,A= ,B= ,C= π. 4 6 12

核心规律 三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式 tanx asinx+bcosx sinx = 进行切化弦或弦化切,如 ,asin2x+bsinxcosx+ccos2x 等类型可进行弦化切.(2)和积转换 cosx csinx+dcosx 法:如利用(sinθ± cosθ)2=1± 2sinθcosθ 的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1
? 1 ? π ? +tan θ)=sin θ·1+tan2θ?=tan =?. 4 ? ?
2 2

满分策略 1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱 周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定. 2.同角三角函数的基本关系及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响, 尤其是利用平方关系求 三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

板块三 启智培优· 破译高考

5——方程思想在三角函数求值中的应用 12 7 - [2015· 北京东城模拟]已知 sinθ+cosθ= ,θ∈(0,π),则 tanθ=________. 5 13 数学思想系列 [解题视点] 利用同角三角函数基本关系式,寻求 sinθ+cosθ,sinθ-cosθ 和 sinθcosθ 的关系.

[解析]

7 解法一:因为 sinθ+cosθ= ,θ∈(0,π), 13

49 所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ= , 169 60 所以 sinθcosθ=- . 169 7 60 由根与系数的关系,知 sinθ,cosθ 是方程 x2- x- =0 的两根, 13 169 12 5 所以 x1= ,x2=- . 13 13

因为 θ∈(0,π),所以 sinθ>0,cosθ<0. 12 5 所以 sinθ= ,cosθ=- . 13 13 sinθ 12 所以 tanθ= =- . cosθ 5 60 解法二:同解法一,得 sinθcosθ=- , 169 sinθcosθ 60 所以 2 =- , 169 sin θ+cos2θ 弦化切,得 tanθ 60 =- , 169 tan2θ+1

即 60tan2θ+169tanθ+60=0, 12 5 解得 tanθ=- 或 tanθ=- . 5 12

又 θ∈(0,π),sinθ+cosθ=

7 60 >0,sinθcosθ=- <0. 13 169

?π 3π? 12 所以 θ∈?2, 4 ?,所以 tanθ=- . 5 ? ?

7 ? ?sinθ+cosθ=13 解法三:解方程组? 得, 2 2 ?sin θ+cos θ=1 ?

?sinθ=12 ? 13 ? 5 ?cosθ=-13 ?
故 tanθ=- 12 . 5

?sinθ=- 5 ? 13 或? ?cosθ=12 13 ?

(舍).

答题启示 ?1?平方关系是一组同角关系式, 如 sin2α+cos2β=1?α≠β?就不一定成立, 因此能否利用这组关系解题要 用“是否同角”来判别. ?2?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值,由于利用 “平方关系”公式求平 方根,会出现两解,所以需根据角所在的象限判断符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论 .

跟踪训练 [2015· 辽宁模拟]已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 tanα=( A.-1 B.- 2 2 C. 2 2 D.1 )

解析

? ?sinα-cosα= 2, 解法一:由? 2 2 ? ?sin α+cos α=1,

得:2cos2α+2 2cosα+1=0, 即( 2cosα+1)2=0,∴cosα=- 又 α∈(0,π),∴α= 2 . 2

3π 3π ,∴tanα=tan =-1. 4 4

解法二:因为 sinα-cosα= 2,
? ? π? π? 所以 2sin?α-4?= 2,所以 sin?α-4?=1. ? ? ? ?

因为 α∈(0,π),所以 α=

3π ,所以 tanα=-1. 4

解法三:因为 sinα-cosα= 2,所以(sinα-cosα)2=2,所以 sin2α=-1.因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π), 3π 3π 所以 2α= ,所以 α= ,所以 tanα=-1. 2 4

板块四 模拟演练· 提能增分

板块五 限时· 规范· 特训


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