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第一章 第一讲 1.1.1集合的含义与表示


第一章 集合与函数概念 1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 温故知新 1.自然数的集合包含:零和 ;有理数的集合包含:整数和

2.在平面上,到一个定点的距离等于定长的点的集合

3.到一条线段的两个端点距离相等的点的集合是这条线段的 新课引入 有一位牧民非常喜欢数学, 但他怎么也想不明白集合的意义, 于是他请教一位数学家: “尊

敬的先生, 请你告诉我集合是什么?”集合是不定义的概念,数学家很难回答.一天,他看到牧民正在向羊圈里 赶羊, 等到牧民把羊全赶进羊圈并关好门. 数学家突然灵机一动, 高兴地告诉牧民: “这就是集合”. 你 能理解集合了吗?集合就是把需要的东西拿到一起. 自主预习 1.我们在初中接触过“正数的集合”、“负数的集合”等,集合的含义又是什么呢? ①解不等式 2x-1>3 得 x>2,所有大于 2 的实数集在一起称为这个不等式的解集. ②平面几何中,圆是到定点的距离等于定长的点的集合. ③自然数的集合 0,1,2,3,? ④高一(5)班全体同学组成一个集合. 请你想一想,集合这个概念应该怎样描述? 一般地,我们把所研究的对象如点、自然数、高一(5)班的同学统称为 总体叫做 ,通常用大写拉丁字母 A、B、C,?表示. 2.元素与集合的关系用符号 表示. 通过以上所学,完成下列练习. 用符号∈或?填空. (1)设 A 是正整数集合,则 0________A, 2________A,2________A; (2)设 A 为所有中国的河流组成的集合,则 长江________A,尼罗河________A, 亚马孙河________A,黄河________A. [答案] (1)? ? ∈ (2)∈ ? ? ∈ ,把一些 组成的

[解析] (1)若 A 是正整数构成的集合, 则 0 和无理数 2不是 A 中的元素.2 是正整数, 是 A 中的 元素. (2)长江在中国境内,故长江∈A;尼罗河不在中国境内,故尼罗河?A;亚马孙河也不在中国境内,故 亚马孙河?A;黄河在中国境内,故黄河∈A. 3.集合中元素的性质(或称三要素): 、 、

(1)给定的集合中的元素必须是确定的. “我国的小河流”能不能组成一个集合,你能用集合的知识解释吗? 答案:“我国的小河流”不能组成一个集合.因为集合中的元素必须是确定的,而在我国的河流中到 底多大才算小河流并无具体的标准. (2)集合中的元素必须是互不相同的,由 1,-1,1,3 组成的集合为 ;若 a∈{a2,1}则 a = .

(3)若构成两集合的元素是一样的,则称两集合 ,若集合{1,2}与集合{a,1}相等,则 a= . 4. 常见的数集符号: 自然数集: ; 正整数集: ; 整数集: ; 有理数集: ; 实数集: . 通过以上所学,完成下列练习. 下列关系中正确的有________ ① 3 0∈N*;②- ∈Q;③π ?Q;④0?N;⑤ 2∈R;⑥-3∈Z;⑦0∈Z;⑧0.9∈R 2 ②③⑤⑥⑦⑧ 3 0 不属于正整数集,属于自然数集,也属于整数集,故①④错误,⑦正确;- 是分数,属 2

[答案] [解析]

于有理数集,故②正确;π 是无理数,不属于有理数集,故③正确; 2是无理数,属于实数集,故 ⑤正确;-3 是负整数,属于整数集,故⑥正确;0.9 是小数,属于实数集,故⑧正确. 5.把集合中的元素一一列举出来.并用花括号 括起来表示集合的方法叫做 ,如大于- 1 且小于 10 的偶数构成的集合可表示为 【思维拓展】 (1)适用范围:有限集或元素间存在明显规律的无限集.在此需要说明的是,对 于有限集,由于元素的无序性,集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合,两者的表述无差异.但具 有一定规律的无限集{1,2,3,4,?}就不能写成{2,1,4,3,?}了. (2)元素与元素之间用“,”分隔开. (3)x 与{x}的含义不同,x 表示元素,而{x}表示只含一个元素 x 的集合. 通过以上所学,完成下列练习. 用列举法表示下列集合: (1)方程(x2-1)(x2+2x-8)=0 的解集为________. (2)方程|x-1|=3 的解集为________. (3)绝对值小于 3 的整数的集合为________. [答案] (1){-1,1,-4,2} (2){-2,4} (3){-2,-1,0,1,2} 6.用集合所含元素的 表示集合的方法,称作描述法. ,再画一条竖线, 它 的 一 般 形 式 是 {x ∈ A|p(x)} 或

具体方法是:在花括号内先写上表示这个集合元素的 在这条竖线后面写出这个集合中元素所具有的

{x|p(x)}.“ ”为代表元素,“ ”为元素 x 必须具有的共同特征,当且仅当“x”适合条件 “p(x)”时,x 才是该集合中的元素,此法具有抽象概括、普遍性的特点,当元素个数较多时,一般 选用此法. 【思维拓展】 (1)写清楚该集合中的代表元素. (2)集合与它的代表元素所采用的字母名称无关, 只与集合中元素的共同特征有关. 例如, {x∈R|x<1} 也可以写成{y∈R|y<1}. (3)所有描述的内容都要写在集合符号内.例如,{x∈Z|x=2k},k∈Z,这种表述方式不符合要 求,需将 k∈Z 也写进大括号内,即{x∈Z|x=2k,k∈Z}. (4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素所属范围为实数集时可以省略. 通过以上所学,完成下列练习. 试用描述法表示下列集合: (1)方程 x2-3x+2=0 的解集为________. (2)不等式 3x+2>0 的解集为________. (3)大于 1 小于 5 的整数组成的集合为________. [答案] (1){x|x2-3x+2=0} (2){x|3x+2>0} (3){x∈Z|1<x<5} 7.在平面上,到一个角的两边距离相等的点的集合是这个角的________ [答案] 平分线 8.点、直线等非常基本的概念被称为不定义概念或称为描述性定义. 一、集合概念的考查 学法指导:1.判断一组对象能否组成集合,关键看对象的标准是否明确.如果此组对象的限定范 围满足确定性,就可组成集合;否则,不能组成集合. 2.判断集合中的元素个数时,要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个,即集合中的元素满 足互异性. [例 1] 下列所给的对象能构成集合的是________. ①所有的正三角形; ②比姚明篮球打的好的人. ③某校高一年级 16 岁以下的学生; ④平面直角坐标系内到原点距离等于 1 的点的集合; ⑤参加第 30 届奥运会的年轻运动员; ⑥ 2的近似值的全体. [解析] ①能构成集合,其中的元素需满足三条边相等; ②不能构成集合,因为“比姚明篮球打的好的人”的标准不明确,所以元素不确定,故不能构成 集合; ② 能构成集合,其中的元素是“某校高一年级 16 岁以下的学生”; ④能构成集合,其中的元素是“平面直角坐标系内到原点距离等于 1 的点”;

⑤不能构成集合,因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的,故不能构成集合; ③ ④ ⑥不能构成集合,因为“ 2的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难断定一个数是不是它 的近似值,所以不能构成集合. 规律总结: 判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键,而判断一个对象是不是 确定的,关键就是要找到一个明确的衡量标准,同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性. (2012 - 2013 学年度河北冀中学高一年级教学质量调研题 ) 下列对象中不可以构成集合的是 ) A.接近 0 的数 ⑤ ⑥ B.等于 2 的数

(

C.所有的正数 D.不等于 0 的偶数 [解析] 因为“接近 0 的数”的接近程度不明确很难判定一个数是不是与 0 接近, 所以不能构成 集合.选 A.

二、集合中元素特性的考查 学法指导:(1)什么是元素分析法? 解决集合问题的关键是能否把用集合语言描述的问题转化为数学问题,而集合离不开元素,因此分析 元素是解决集合问题的核心,这种抓住元素进行分析的方法称为元素分析法. (2)如何应用元素分析法解决有关集合问题? ①分析元素的性质,即确定性、互异性、无序性; ②由元素所具有的性质转化为相关问题的性质, 如本例由 a、 b、c 互异转化为△ABC 三边长互不相等. [例 2] (2012-2013 学年重庆市风鸣山中学)若一个集合中的三个元素 a,b,c 是△ABC 的三边 长,则此三角形一定不是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 [分析] 欲判断三角形的形状,需判断三边关系或三角关系.由于已知条件涉及三边,故考虑三边之 间的关系. [解析] 由于集合中元素具有互异性,即 a、b、c 互不相等,因此△ABC 一定不是等腰三角形.D 练习 2.a,b,c,d 为集合 A 的四个元素,那么以 a,b,c,d 为边长构成的四边形可能是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 [分析] 欲判断四边形的形状,需判断四边形的四条边之间的关系.

[解析] 由于集合中的元素具有“互异性”,故 a,b,c,d 四个元素互不相同,即组成四边形的四 条边互不相等. 规律总结:解答本题应抓住集合的元素具有“互异性”这一特征,由 a,b,c,d 互异转化为四边形 的四条边互不相等.

三、集合相等的考查 学法指导:(1)两个集合是否相等,不能从集合的形式上看,而应该判断出这两个集合的所有元 素,再根据集合相等的定义进行判断. (2)利用集合相等求表达形式不同的两个集合中某个参变量的数值时,必须同时注意检验元素是否满 足互异性. [例 3] 设集合 A={x,y},B={0,x2},若集合 A、B 相等,求实数 x、y 的值. [分析] 根据集合相等的概念可知 x、y 与 0、x2 分别对应相等,解方程并根据集合中元素的互异性 可求得 x、y 的值. [解析] 因为 A、B 相等,则 x=0 或 y=0. (1)当 x=0 时,x2=0,则 B={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去. (2)当 y=0 时,x=x2,解得 x=0 或 x=1.由(1)知 x=0 应舍去. 综上知:x=1,y=0. 规律总结:由集合相等求参数,应从集合相等的概念入手,寻找元素之间的关系,若集合中的未知元 素不止一个,需进行分类讨论.注意利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍. 练习 3.若将上式中的集合 A 改为{a, ,1},B 改为{a2,a+b,0},其他条件不改变,怎样求 a2 013+

b a

b2 013 的值.
[解析] 方法一:∵{a, ,1}={a2,a+b,0}, 又∵a≠0,1≠0,∴ =0,∴b=0, ∴{a,0,1}={a2,a,0}, ∴a2=1,即 a=±1, 又当 a=1 时,A={1,0,1}不满足集合中元素的互异性,舍去,∴a=-1,即集合 A={-1,0,1}, 此时 a=-1,b=0, 此时 a=-1,b=0, 故 a2 013+b2 013=(-1)2 013+02 013=-1+0=-1. 方法二:∵{a, ,1}={a2,a+b,0},

b a

b a

b a

b ? a + +1=a + a+b ? a ∴? b a· ·1=a a+b ? ? a
2 2

+0

解得 a=±1,b=0, 由集合中元素的互异性知 a≠1, ∴a=-1,b=0.

∴a2 013+b2 013=(-1)2 013+02 013=-1+0=-1. 四、元素与集合关系的考查 学法指导: 1.对于元素与集合关系的两点认识: (1)a∈A 与 a?A 取决于 a 是不是集合 A 中的元素,根据集合中元素的确定性可知,对于任何 a 与

A,a∈A 或 a?A 这两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)符号“∈”“?”表示元素与集合的从属关系,不能用来表示集合与集合之间的关系,这一点要牢 记. 2.实数的分类: 自然数 ? ?整数? ? ? ? ?负整数 ?有理数? ?正分数 实数? ? ?分数? ?负分数 ? ?正无理数 ? 无理数? ? ?负无理数 有限小数 ? ? ?有理数? ? ? ?无限循环小数 实数? ?无限小数 ? ?无理数→无限不循环小数? ? [例 4] 用符号∈与?填空: (1)0________N*; 3________Z; 0________N;(-1)0________N*; 4 3+2________Q; ________Q. 3 (2)3________{2,3};3________{(2,3)}; (2,3)________{(2,3)};(3,2)________{(2,3)}. (3)若 a2=3,则 a________R,若 a2=-1,则 a________R. [解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别.(2)中 3 是集合(2,3)的元素;但 整数 3 不是点集{(2,3)}的元素;同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素;因为坐标顺序不同,(3,2)不是集 合{(2,3)}的元素.(3)平方等于 3 的数是± 3,当然是实数,而平方等于-1 的实数是不存在的.

? ?小数 ?

1 练习 4.给出下列关系:① ∈R;② 2?Q;③|-3|?N*;④|- 3|∈Q.其中正确的有( 2

)

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 [解析] 选 B. 本题考查元素与集合之间的关系及常用数集的记法. ①正确; ②正确; ③不正确; ④不正确. 故

五、集合表示的列举法的考查 学法指导: 1.列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时,全部列举,如{1,2,3,4}; (2)元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从 1 到 1000 的所有自然数” 可以表示为{1,2,3,?,1000}; (3)元素个数无限但有规律时, 也可以数似地用省略号列举, 如: 自然数集 N 可以表示为{0,1,2,3, ?}. 2.使用列举法表示集合时的注意点 (1)元素之间用“,”而不用“、”隔开; (2)元素不重复,满足元素的互异性; (3)元素无顺序,满足元素的无序性. [例 5] 用列举法表示下列集合: (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数解组成的集合; (3)直线 y=2x+1 与 y 轴的交点所组成的集合. [分析] 题目中要求用列举法表示集合, 需先辨析集合中元素的特征及满足的性质,再一一列举出满 足条件的元素. [解析] (1)因为不大于 10 是指小于或等于 10,非负是大于或等于 0 的意思.所以不大于 10 的 非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}. (2)方程 x2=x 的解是 x=0 或 x=1,所以方程的解组成的集合为{0,1}. (3)将 x=0 代入 y=2x+1,得 y=1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}. 练习 5.用列举法表示下列集合: (1)由所有小于 10 的既是奇数又是素数的自然数组成的集合; (2)式子 |a| |b| + (a≠0,b≠0)的所有值组成的集合.

a

b

[解析] (1)满足条件的数有 3,5,7,所以所求集合为:{3,5,7}. (2)∵a≠0,b≠0, ∴a 与 b 可能同号也可能异号,故

①当 a>0,b>0 时, ②当 a<0,b<0 时,

|a|

a
|a|

+ +

|b|

b
|b|

=2; =-2; |a| + |b| =0.

a

b

③当 a>0,b<0 或 a<0,b>0 时, 故所有的值组成的集合为{-2,0,2}.

a

b

六、集合表示的描述法的考查 学法指导:使用描述法时应注意以下几点 (1)写清楚该集合中的代表元素,高中教学要研究两类元素:数或点; (2)说明该集合中元素的共同属性,如方程,不等式、函数或几何图形等; (3)不能出现未被说明的字母; (4)所有描述的内容都要写在花括号内,用于描述的内容力求简洁、准确. [例 6] 用描述法表示下列集合: (1)被 5 除余 1 的正整数集合; (2)小于 4 的全体奇数构成的集合; (3)坐标平面内,两坐标轴上点的集合; (4)三角形的全体构成的集合; (5){2,4,6,8}. [分析] 分析代表元素→分析元素满足的条件→写出集合. [解析] (1){x|x=5k+1,k∈N}; (2){x|x=2k+1,k<2,k∈Z}; (3){(x,y)|xy=0,x∈R,y∈R}; (4){x|x 是三角形}; (5){x|x=2n,1≤n≤4,n∈N}. 规律总结:(1)用描述法表示集合时,一定要体现描述法的形式,不要漏写集合的代表元素及元 素所具有的性质,且用“|”隔开. (2)若描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母说明其含义或指出取值范围,如(1)、(2)、 (5)题. 练习 6.用描述法表示下列集合:

1 2 3 4 5 (1){ , , , , }; 3 4 5 6 7 (2)坐标平面内的第一、三象限内点的集合; (3)图中阴影部分(含边界)的点的坐标. [解析] (1){x|x=

n n+2

,n∈N*且 n≤5};

(2)第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同, 因而可写成{(x,y)|xy>0,且 x∈R,y∈R}; 3 1 (3){(x,y)|-1≤x≤ ,- ≤y≤1,且 xy≥0},此题是图形语言转换为符号语言. 2 2

七、分类讨论的思想 [例 7] 已知集合 A 是由方程 ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合. (1)1 是 A 中的一个元素,求集合 A 中的其他元素; (2)若 A 中有且仅有一个元素,求 a 的值组成的集合 B; (3)若 A 中至多有一个元素,试求 a 的取值范围. [解析] (1)∵1 是 A 的元素∴1 是方程 ax2+2x+1=0 的一个根,∴a×12+2×1+1=0,即 a= -3, ∴方程即为-3x2+2x+1=0, 1 1 ∴x1=1,x2=- ,∴集合 A 中的其他元素为- . 3 3 1 (2)若 a=0,方程化为 2x+1=0,此时有且仅有一个根 x=- ; 2 若 a≠0,则当且仅当方程的判别式 Δ =4-4a=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实根 x1=x2 =-1,此时集合 A 中有且仅有一个元素, ∴所求集合 B={0,1}. (3)集合 A 中至多有一个元素包括两种情况:

①A 中有且只有一个元素,由(2)知此时 a=0 或 a=1; ②A 中一个元素也没有,即方程 ax2+2x+1=0 无实根,此时 a≠0,且 Δ =4-4a<0,∴a>1; 综合①、②知所求 a 的取值范围是{a|a≥1 或 a=0}. 八、综合分析与解决问题能力的考查 *[例 8] 设 S 是由满足下列条件的实数所构成的集合: ①1?S;②若 a∈S,则 1 ∈S.请解答下列问题: 1-a

(1)若 2∈S,则 S 中必有另外两个数,求出这两个数; 1 (2)求证:若 a∈S,且 a≠0,则 1- ∈S;

a

(3)集合 S 能否只含有一个元素?若能,求出这个元素;若不能,请说明理由. [分析] 1 (1)已知 2∈S,利用条件②求其他元素;(2)由 a∈S,利用条件②推 1- ∈S;(3)假设结论

a

成立,利用条件②解方程. [解析] (1)∵2∈S,2≠1,∴ ∵-1∈S,-1≠1,∴ 1 =-1∈S. 1-2 1 = ∈S. 2

1 1- -

1 1 1 又∵ ∈S, ≠1,∴ =2∈S, 2 2 1 1- 2 1 ∴集合 S 中另外两个数为-1 和 . 2 (2)证明:由 a∈S,则 1 ∈S,可得 1-a 1 1 1- 1-a ∈S,

即 1-

1 1 1-a



1-a 1 1 =1- ∈S.∵a≠0,∴1- ≠1, 1-a-1 a a

1 ∴若 a∈S,且 a≠0,则 1- ∈S.

a

(3)集合 S 中的元素不能只有一个, 原因如下: 假设集合 S 中只有一个元素, 则根据题意, 知 a= 即 a2-a+1=0,此方程无实数解,因此集合 S 不可能只含有一个元素.

1 , 1-a

规律总结:解决存在性问题的思路:①假设存在;②根据已知条件、定理进行推导,如果能求出 结果就说明存在,如果无解或推出矛盾就说明不存在. (注:带*号的题目,供教师教学时参考选用) 1.忽略集合中元素的形式特征 ?x+y=1, [例 9] 求方程组? 2 2 ?x -y =9 的解集.

[错解] 解方程组,将 x+y=1 代入 x2-y2=9,得 x-y=9,解得 x=5,y=-4,故解集为{5, -4}. [错因分析] 解方程组时,一对数值作为整体是一个元素,而不是 x 的解是一个元素,y 的解是一个 元素. [思路分析] 先解方程组,再将解用花括号表示出来.它们的顺序不能写反,也可以写成有序数对的 形式. [正解 ] 解方程组,将 x+y= 1 代入 x2-y2=9 ,得 x-y =9,解得 x =5, y=-4 ,所以解集为 ? ? ??x=5, ? ? ? ? x,y ? ?也可表示为{(5,-4)}. ??y=-4 ? ? ? ? ? 2.没有形成用集合中元素互异性进行检验的意识 [例 10] 若 1∈{x2+1,2,x},求 x 的值. [错解] 依题意,得 x2+1=1 或 x=1,解得 x=0 或 x=1.即 x=0,1. [错因分析] 忽略了集合中元素互异性的要求,从而遗漏了检验环节. [思路分析] 对集合元素含字母并要求对其求值时,求出值后一定要加以检验,看是否符合集合元素 的互异性. [正解] 依题意, 得 x2+1=1 或 x=1, 解得 x=1 或 x=0.当 x=1 时, x2+1=2, 不合题意(舍去). 当 x=0 时,集合为{0,1,2},∴x=0. 1.下列各组对象,能构成集合的有( ) ①对环境污染不太大的塑料; ②中国古典文学中的四大名著; ③所有的正方形; ④方程 x(x2-2x-3)=0 的所有实数根. A.① B.①②

C.②③④ D.①②③④ [解析] 语句①“污染不太大”没有明确的标准;②中四大名著指的是《水浒传》 《三国演义》 《西游 记》 《红楼梦》 ;③④中的对象也都满足确定性、互异性、无序性. 10 2.下列关系:①0.21∈Q;② ?N*;③- 4∈N*;④ 4∈N.其中正确的个数是( ) 5 A.0 C.2 D.3 B.1

[解析]

①是正确的,②中

10 =2∈N*,③中- 4?N*,④是正确的,故有①④正确. 5 )

3.已知集合 A={x∈N|- 3≤x≤ 3},则必有( A.-1∈A C. 3∈A [解析] B.0∈A D.2∈A

集合 A 中元素有两个特征:x∈N 且- 3≤x≤ 3,观察四个选项,只有 B 正确. )

3 4.由实数 x,-x,|x|, x2,- x3,所组成的集合最多含有元素的个数为( A.2 C.4 B.3 D.5

3 [解析] x2=|x|,- x3=-x,集合中的元素最多含有两个. * 5.若 a∈N,但 a?N ,则 a=________. 6.用符号∈或?填空: (1)1________{1} (2)a________{a,b,c} (4)0________N*

(3)-3________{4,-2} (5)π ________Q

(6) 3________R

(7)若 A={x|x2=x},则-1________A; (8)若 B={x|x2+x-6=0},则 3________B; (9)若 C={x∈N|1≤x≤10},则 8________C; (10)若 D={x∈Z|-2<x<3},则 1.5________D. [答案] (1)∈;(2)∈;(3)?;(4)?;(5)?;(6)∈;(7)?;(8)?;(9)∈;(10)? [点评] 如果 a 是集合 A 的元素,记作 a∈A,否则记作 a?A,N*、Q、R 分别表示正自然数集、有理数 集、实数集. 7.若-3∈{a-3,2a-1,a2-4},则实数 a 构成的集合为________. [解析] 当 a-3=-3 时,a=0,此时集合为{-1,-3,-4};当 2a-1=-3 时,a=-1,此时 a2-4=-3,与集合元素的互异性矛盾.若 a2-4=-3,则 a=±1,a=-1 已讨论.当 a=1 时,集 合为{-2,1,-3},综上所述 a=0 或 1. 8. 由大于 1 小于 5 的自然数组成的集合用列举法可以表示为________. 用描述法可以表示为________.


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