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1.4.2函数的图像和性质 第二课时


1.4.2 正弦函数,余弦函数的性质 命题人:乔更云 审题人:郑伟峰 一、1.周期函数的定义 一般地,对于函数 y=f(x),如果存在一个 的常数 T,使得当 x 取定义域内的 每一个值时, 都成立, 那么就 把函数 y=f(x)叫做 , 不为零的 常数 T 叫做这个函数的 . 2.y=sinx,y=cosx 都是周期函数,其周期 是 , 最 小 正 周 期 是 . 3.y=Asin(ω x+φ )(A≠0,ω ≠0)的最小正 周期为 . 4.y=sinx(x∈R)的奇偶性为:奇函数;单 π π 调性为:在每一个区间[2kπ- ,2kπ+ ], 2 2 (k∈Z)上都是增函数,在每一个区间[2kπ+ π 3π ,2kπ+ ],(k∈Z)上都是减函数;图象的 2 2 对称特征为:关于每一个点(kπ,0)(k∈Z)成 π 中心对称, 关于每一条直线 x=kπ+ , (k∈Z) 2 π 成轴对称;当 x=2kπ+ (k∈Z)时,y 取最大 2 3π 值 1,当 x=2kπ+ (k∈Z)时,y 取最小值 2 -1.即|sinx|≤1, 此性质常称作正弦函数的有 界性. 5.y=cosx(x∈R)的奇偶性为: 函数; 单调 性为:在每一个区间 上都是增函数,在每一个区间 上都是减函数; 图象的对称特 征为:关于每一个点 成中心对称,关于每一条直线 成轴对称;当 x= 时,y 取最 大值 ,当 x= 时,y 取最 小值 . [例 1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) = xsin(π + x) ; (2)f(x) =

1+sinx-cos2x . 1+sinx

[例 2] 求下列函数的单调区间. π ? (1)y=2sin? ?4-x?; (2)y=cos2x.

π? 变式 2 求函数 y=sin? ?3x-3?的单调区间.

[例 3 比较下列各组数的大小. 3 1 7 (1)cos ,sin ,-cos ; 2 10 4 3π? ? 3π? (2)sin? ?sin 8 ?,sin?cos 8 ?.

变式 3 比较下列各组数的大小: (1)sin194° 与 cos160° ; 3π? ? 3π? (2)sin? ?sin 8 ?与 sin?cos 8 ?.

1.4.2 正弦函数,余弦函数的性质 1.(2011~2012· 山东日照调研)有下列三个 [例 4] 求下列函数的值域: (1)y=3-2cos2x,x∈R; (2)y=cos2x+2sinx-2,x∈R. 2 函数:①y=x3+1;②y=sin3x;③y=x+ , x 其中奇函数的个数是( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3

2. 使 cosx=1-m 有意义的 m 的取值范围为 ( ) A.m≥0 B.0≤m≤2 变式 4 求下列函数的值域. (1)y=3-2sin2x;(2)y=|sinx|+sinx. 数( C.-1<m<1 D.m<-1 或 m>1 3.函数 y=cos2x 在下列哪个区间上是减函 ) π π π 3π A.[- , ] B.[ , ] 4 4 4 4 π π C.[0, ] D.[ ,π] 2 2 4.y=2sinx2 的值域是( [例 5] 已知函数 y=a-bcosx 的最大值 3 1 是 ,最小值是- ,求函数 y=-4bsinax 的 2 2 最大值、最小值及周期. A.[-2,2] B.[0,2] C.[-2,0] D.R sinx 5.函数 y= 是( 2+cosx A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 6.已知 a∈R,函数 f(x)=sinx-|a|,x∈R 为奇函数,则 a 等于( ) ) )

A.0 B.1 C =.-1 D.± 1 7.(2010· 重庆)下列函数中,周期为 π,且在 π π [ , ]上为减函数的是( 4 2 )

π π A.y=sin(2x+ ) B.y=cos (2x+ ) 2 2 π π C.y=sin(x+ ) D.y=cos(x+ ) 2 2 8.已知 A={x|y=sinx},B={y|y=sinx},则

A∩B 等于(

) π 1 2x- ?+1 的最大值, 16.求函数 y= cos? 4? 3 ? D.R 及此时自变量 x 的取值集合.

A.{y=sinx} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|x=2π} D.R

9.函数 y(x)=-cos xln x2 的部分图象大致 是图中的( )

10.若函数 y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直 线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个 封闭图形的面积为( A.4 B.8 B.8 17.已知 ω 是正数,函数 f(x)=2sinωx 在区 C.2πD.4π π π 间[- , ]上是增函数,求 ω 的取值范围. 3 4π4 D. )

3π π 11.比较大小:sin ______cos . 5 5 12 . (2011 ~ 2012· 无锡高一检测 ) 函数 y = π sin(x- ),x∈[0,π]的值域为________. 6 13.函数 y=cosx 在区间[-π,a]上为增函 数,则 a 的范围是________. π 2x+ ?的单调递减区间是 14.函数 y=3sin? 6? ? ________. π ? 15.求函数 y=sinx,x∈? ?4,π?的最大值和 最小值.

1.4.2 正弦函数,余弦函数的性质 例 1[解析] (1)函数的定义域为 R,关于原 点对称. ∵f(x)=xsin(π+x)=-xsinx, ∴ f( - x) =- ( - x)sin( - x) =- xsinx = f(x). ∴f(x)是偶函数. (2) 要 使 函 数 有 意 义 , 应 满 足 1 + sinx≠0, ∴ 函 数 的 定 义 域 为

π? ∴函数 y=-2sin? 单调 ?x-4?的单调增、 减区间分别由下面的不等式确定 π π 3π 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z)① 2 4 2 π π π 2kπ- ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z)② 2 4 2 3π 7π 解①得,2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 4 4 π 3π 解②得,2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z). 4 4 π ? 故函数 y=2sin? 单 ?4-x?的单调增区间、 3π 7π? 调减区间分别为? ?2kπ+ 4 ,2kπ+ 4 ? (k ∈ π 3π Z)、2kπ- ,2kπ+ (k∈Z). 4 4 变式 2[解析] 解 y=sinu 在区间[2kπ- π π , 2kπ+ ] (k∈Z)上是增函数, 在区间[2kπ 2 2 π 3π + ,2kπ+ ] (k∈Z)上是减函数. 2 2 π π π 由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ 解得, 2 3 2 2kπ π 2kπ 5π - ≤x≤ + , 3 18 3 18 π π 3π 由 2kπ+ ≤3x- ≤2kπ+ 解得, 2 3 2 2kπ 5π 2kπ 11π + ≤x≤ + . 3 18 3 18 π ∵u=3x- 为增函数, 3 ∴ 原 函 数 的 单 调 增 区 间 为

? ? ? 3π ?x x∈R,且x≠2kπ+ ,k∈Z ?. 2 ? ? ?

∴函数的定义域不关于原点对称. ∴函数既不是奇函数也不是偶函数. 例 2[解析] (1)函数 y=cos2x 的单调增 区间、 单调减区间分别由下面的不等式确定 2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z)① 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z)② π 解①得,kπ- ≤x≤kπ(k∈Z), 2 π 解②得,kπ≤x≤kπ+ (k∈Z). 2 故函数 y=cos2x 的单调增区间、 单调减 π ? 区 间 分 别 为 ? ?kπ-2,kπ? (k ∈ Z) 、

?kπ,kπ+π?(k∈Z). 2? ?
π ? (2)y=2sin? ?4-x?化为 π? y=-2sin? ?x-4?. ∵y=sinu(u∈R)的单调增、 单调减区间 分别为

?2kπ- π ,2kπ+5π?(k∈Z).单调减区间为 ? 3 18 3 18? ?2kπ+5π,2kπ+11π? (k∈Z). 18 ? ? 3 18 3
例 3[ 解析 ] sin π 5 sin 42 2π 2π π=sin(8π+ )=sin 5 5 5 (1)sin 21 π π = sin(4π + ) = 5 5

?2kπ-π,2kπ+π?(k∈Z), 2 2? ? ?2kπ+π,2kπ+3π?(k∈Z). 2 2? ?

π ∵y=sinx 在[0, ]上单增 2 π 2π π 又 0< < < 5 5 2 π 2π 21π 42π ∴sin <sin ,∴sin <sin 5 5 5 5 1 π 1 (2)∵cos5=cos(2π-5), sin =cos( - ) 5 2 5 π ∵y=cosx 在[0, ]上递减 2 π 1 π 又∵0<2π-5< - < 2 5 2 π 1 ∴cos(2π-5)>cos( - ) 2 5 1 ∴cos5>sin 5 变式 3[ 解析 ] 14° )=-sin14° , cos160° = cos(180° - 20° ) =- cos20° = -sin70° . ∵0° <14° <70° <90° ,∴sin14° <sin70° , 从 而 - sin14° > - sin70° , 即 sin194° >cos160° . 3π π 3π 3π (2)∵cos =sin ,∴0<cos <sin <1. 8 8 8 8 而 y=sinx 在(0,1)内递增, 3π? ? 3π? ∴sin? ?cos 8 ?<sin?sin 8 ?. 例 4[解析] (1)∵-1≤cos2x≤1,∴- 2≤-2cos2x≤2. ∴1≤3-2cos2x≤5,即 1≤y≤5. ∴函数 y=3-2cos2x,x∈R 的值域为 [1,5]. (2)y = cos2x + 2sinx - 2 =-sin2x + 2sinx -1=-(sinx-1)2. ∵ - 1≤sinx≤1 , ∴ 函 数 y = cos2x + 2sinx-2,x∈R 的值域为[-4,0]. 变式 4[解析] (1)∵-1≤sin2x≤1,∴ (1)sin194° = sin(180° +

1≤y≤5. ∴y∈[1,5]. (2) 当 sinx≥0 时, y = 2sinx≤2 ,这时 0≤y≤2; 当 sinx<0 时,y=0.

∴函数的值域为 y∈[0,2]. 例5 [正解] b≠0. 当 b>0 时,-b≤bcosx≤b,∴a-b≤a -bcosx≤a+b. ∵ - 1≤cosx≤1 , 由 题 意 知

?a+b=2 ∴? 1 ?a-b=-2

3

1 ? ?a=2 ,解得? , ?b=1 ?

1 ∴y=-4bsinax=-4sin x; 2

?a-b=2 同理, 当 b<0 时, 可得: ? 1 ?a+b=-2
1 ? ?a=2 解得? . ?b=-1 ? 1 综上可知,y=± 4sin x. 2

3



1 ∴函数 y=± 4sin x 的最大值为 4,最小 2 值为-4,周期为 4π. 1.4.2 正弦函数,余弦函数的性质 1 [答案] C [解析] 函数 y=x3+1 不是奇函数也不 2 是偶函数;函数 y=sin3x 和 y=x+ 是奇函 x 数. 2 [答案] B

[解析]

∵-1≤cosx≤-1,∴-1≤1

-m≤1.∴0≤m≤2. 3 [答案] C[解析] ∵y=cos2x, ∴2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z), π 即 kπ≤x≤kπ+ (k∈Z), 2 π 亦即[kπ, kπ+ ](k∈Z)为 y=cos2x 的单调递 2 π 减区间.而 C,[0, ]显然满足上述区间, 2 故选 C. 4 [答案] A [解析] ∵x2≥0,∴sinx2∈[-1,1], ∴y=2sinx2∈[-2,2]. 5 [答案] A [解析] 定义域为 R,f(-x)= sin?-x? = 2+cos?-x?

π 选项 D:y=cos(x+ )=-sinx,周期为 2π. 2 故选 A. 8 [答案] B[ 解 析 ] A = R , B = {y| -

1≤y≤1},则 A∩B={y|-1≤y≤1}. 9 [答案] A[解析] 函数的定义域是(-∞, 0) ∪ (0 ,+ ∞) , f( - x) =- cos( - x)ln( - x)2 =-cos xln x2=f(x), 则函数 f(x)是偶函数, 其图象关于 y 轴对称, 排 除 选 项 C 和 D ; 当 x ∈ (0,1) 时 , cosx>0,0<x2<1,则 ln x2<0,此时 f(x)>0,此 时函数 f(x)的图象位于 x 轴的上方,排除选 项 B. 10 [答案] D [解析] 如图所示.

-sinx =-f(x),则 f(x)是奇函数. 2+cosx 6 [答案] A [解析] 解法一:易知 y=sinx 在 R 上为奇 函数,∴f(0)=0,∴a=0. 解法二:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即 sin(-x)-|a|=-sinx+|a|,-sinx-|a|= -sinx+|a|. ∴|a|=0,即 a=0. 7 [答案] A π [解析] 选项 A:y=sin(2x+ )=cos2x,周 2 π π 期为 π,在[ , ]上为减函数; 4 2 π 选项 B:y=cos(2x+ )=-sin2x,周期为 π, 2 π π 在[ , ]上为增函数; 4 2 π 选项 C:y=sin(x+ )=cosx,周期为 2π; 2 由图可知,S1=S2,S3=S4 ,因此函数 y= 2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线 y=2 所围成 的图形面积即为矩形 OABC 的面积. ∵|OA|=2,|OC|=2π,∴S =4π. 11 [答案] > 1 12[答案] [- ,1] 2 13 [答案] (-π,0] [解析] 由 y=cosx 在[-π,a]上是增函数, 则-π<a≤0. π 2π? 14 [答案] ? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z)
矩形

=2×2π

π π 3π [解析] 令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ, k∈Z, 2 6 2 π 2π 则 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 6 3 π π? 15 [解析] 函数 y=sinx 在区间? ?4,2?上是 π ? 增函数,在区间? ?2,π?上是减函数,所以函 π π? π 数 y=sinx 在区间? ?4,2?上的最大值是 sin2 π 2 =1, 最小值是 sin = ; 函数 y=sinx 在区 4 2 π ? π ,π 上的最大值是 sin =1,最小值是 间? 2 ? ? 2 sinπ=0. π ? 所以函数 y=sinx,x∈? ?4,π?的最大值 是 1,最小值是 0. π? 16 [解析] ∵x∈R,∴-1≤cos? ?2x-4?≤1. π 2 1 4 2x- ?+1≤ . ∴ ≤ cos? 4? 3 3 ? 3 π 1 2x- ?+1 的最大值是 ∴函数 y= cos? 4? 3 ? 4 . 3 π π 此时 2x- =2kπ(k∈Z),∴x=kπ+ . 4 8 即此时自变量 x 的取值集合是
? ? ? π ?x x=kπ+ ,k∈Z ?. 8 ? ? ?

?- π +2kπ, π +2kπ?(k∈Z). ? 2ω ω 2ω ω ?
- ≤- ? ? 2ω 3 从而有? π π ≥ 2ω 4 ? ?ω>0 π π 3 , 解得 0<ω≤ . 2

3 故 ω 的取值范围是(0, ]. 2

17 [解析] 得 -

π π 由 2kπ- ≤ωx≤2kπ+ (k∈Z) 2 2

π 2kπ π 2kπ + ≤x≤ + (k∈Z). 2ω ω 2ω ω

∴f(x)的单调递增区间是

?- π +2kπ, π +2kπ?(k∈Z). ? 2ω ω 2ω ω ?
据 题 意 ,

?-π,π? ? 3 4?


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