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2012届高考数学一轮复习测试卷等差数列


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第二十八讲

等差数列

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值是一个确定的常数,则数列{

an}中也为常数 的项是( A.S7 C.S13 ) B.S8 D.S15

解析:设 a2+a4+a15=p(常数), 1 ∴3a1+18d=p,解 a7= p. 3 13×(a1+a13) 13 ∴S13= =13a7= p. 2 3 答案:C 1 2.等差数列{an}中,已知 a1= ,a2+a5=4,an=33,则 n 为( 3 A.48 B.49 C.50 D.51 1 2 1 2 解析:∵a2+a5=2a1+5d=4,则由 a1= 得 d= ,令 an=33= +(n-1)× ,可解得 n=50.故选 C. 3 3 3 3 答案:C 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为( A.2 B.3 C.4 D.5 a3+a5 解析:a5=S5-S4≤5,S5=a1+a2+…+a5=5a3≤15,a3≤3,则 a4= ≤4,a4 的最大值为 4.故选 2 C. 答案:C a5 4.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S5=3(a2+a8),则 的值为( a3 1 1 A. B. 6 3 3 5 C. D. 5 6 解析:∵{an}是等差数列, ) ) )

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a2+a8 S5 5 S 2 6 6 5 5 a5 ∴ = = ×5= = ,故选 D. a3 a1+a5 (a1+a5)×5 S5 6 2 2 答案:D a11 5. (2011· 济宁市模拟)已知数列{an}为等差数列, 若 <-1, 且它们的前 n 项和 Sn 有最大值, 则使 Sn>0 a10 的 n 的最大值为( A.11 B.19 C.20 D.21 a11 解析:∵ <-1,且 Sn 有最大值, a10 ∴a10>0,a11<0,且 a10+a11<0, 19(a1+a19) ∴S19= =19·10>0, a 2 20(a1+a20) S20= =10(a10+a11)<0. 2 所以使得 Sn>0 的 n 的最大值为 19,故选 B. 答案:B 6.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6 的横纵坐标分别对应数 列{an}(n∈N*)的前 12 项,如下表所示: )

a1 x1

a2 y1

a3 x2

a4 y2

a5 x3

a6 y3

a7 x4 )

a8 y4

a9 x5

a10 y5

a11 x6

a12 y6

按如此规律下去,则 a2009+a2010+a2011 等于( A.1003 B.1005 C.1006 D.2011

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解析:依题意得,数列 a2,a4,a6,…,a2k,…,是以 a2=1 为首项,1 为公差的等差数列,因此 a2010 =a2×1005=1+(1005-1)×1=1005.数列 a1,a3,a5,a7,…,a2k-1,…,即是以 1,-1,2,-2,…,的规 律呈现,且 a2009 是该数列的第 1005 项,且 1005=2×502+1,因此 a2009=503,a2011=-503,a2009+a2010 +a2011=1005,选 B. 答案:B 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=________. 解析:S9=9a5=-9, ∴a5=-1,S16=8(a5+a12)=-72. 答案:-72 An 7n+45 a6 8.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = ,则 =________. Bn n+3 b6 an A2n-1 解析:本题考查等差数列的基础知识,由于这是选择题可直接由结论 = 求得. bn B2n-1 61 答案: 7 9. f(x)= 设 1 , 利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法, 可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0) 2+ 2
x

+…+f(5)+f(6)的值为________. 1 解析:∵f(x)= x , 2+ 2 1 x · 2 2 1 2 ∴f(1-x)= 1-x = = , 2 + 2 2+ 2·x 2 2+2x
x

1 x 1 · 2 1+ ·x 2 2 2 1 2 ∴f(x)+f(1-x)= x + = = . 2 2+ 2 2+2x 2+2x 设 S=f(-5)+f(-4)+…+f(6), 则 S=f(6)+f(5)+…+f(-5), ∴2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+ [f(-5)+f(6)]=6 2, ∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3 2. 答案:3 2 Sn 10.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4-a2=8,a3+a5=26,记 Tn= 2,如果存在正整数 M,使得 n

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对一切正整数 n,Tn≤M 都成立,则 M 的最小值是________. 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ∵a4-a2=8,∴d=4. 又∵a3+a5=26,即 2a1+6d=26,∴a1=1. n(n-1) ∴Sn=n+ ×4=2n2-n, 2 Sn 1 则 Tn= 2=2- <2. n n ∵对一切正整数 Tn≤M 恒成立,∴M≥2. ∴M 的最小值为 2. 答案:2 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.已知:f(x)=- 且 a1=1,an>0. (1)求数列{an}的通项公式; Tn+1 Tn (2)数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且满足 2 = 2 +16n2-8n-3,问:当 b1 为何值时,数列{bn}是等差 an an+1 数列. 解:(1)由 y=- 点 Pn?an,-a 1 4+ 2, x 1 1 4+ 2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 Pn?an,-a ?在曲线 y=f(x)上(n∈N*), x ? n+1?

?

n+1

1 ? 在曲线 y=f(x)上,

?

1 ∴- =f(an)=- an+1 1 并且 an>0,∴ = an+1 ∴

1 4+ 2, an 1 4+ 2, an

1 1 - 2=4(n∈N*). a2+1 an n

1 1 数列{ 2}是等差数列,首项 2=1,公差 d 为 4, an a1 1 1 ∴ 2=1+4(n-1)=4n-3,a2= . n an 4n-3 ∵an>0,∴an= 1 (n∈N*). 4n-3

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(2)由 an=

Tn+1 Tn 1 , 2 = 2 +16n2-8n-3 得 4n-3 an an+1

(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1), Tn+1 Tn = +1. 4n+1 4n-3 Tn 令 cn= ,如果 c1=1,此时 b1=T1=1, 4n-3 ∴cn=1+(n-1)×1=n,n∈N*, 则 Tn=(4n-3)n=4n2-3n,n∈N*, ∴bn=8n-7,n∈N*,∴b1=1 时数列{bn}是等差数列. 12.数列{an}满足 an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),已知 a3=95. (1)求 a1,a2; 1 (2)是否存在一个实数 t,使得 bn= n(an+t)(n∈N*),且{bn}为等差数列?若存在,则求出 t 的值;若不 3 存在,请说明理由. 解:(1)n=2 时,a2=3a1+32-1 n=3 时,a3=3a2+33-1=95, ∴a2=23. ∴23=3a1+8,∴a1=5. (2)当 n≥2 时, 1 1 bn-bn-1= n(an+t)- n-1(an-1+t) 3 3 1 = n(an+t-3an-1-3t) 3 1+2t 1 = n(3n-1-2t)=1- n . 3 3 1 要使{bn}为等差数列,则必须使 1+2t=0,∴t=- , 2 1 即存在 t=- ,使{bn}为等差数列. 2 ax 13.设 f(x)= (a≠0),令 a1=1,an+1=f(an),又 bn=an·n+1,n∈N*. a x+a
?1? (1)证明数列?a ?是等差数列; ? n?

(2)求数列{an}的通项公式; (3)求数列{bn}的前 n 项和.

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分析:将题设中函数解析式转化为数列的递推关系,再将递推关系通过整理变形转化为等差数列,从 而求数列的通项公式,本题在求{bn}前 n 项和时运用了裂项相消法,这是数列求和的常用方法. 解:(1)证明:an+1=f(an)= a·n a 1 = , an+a 1 1 + a an



1 1 1 1 1 1 = + ,即 - = . an+1 a an an+1 an a

?1? 1 ∴?a ?是首项为 1,公差为 的等差数列. a ? n? ?1? (2)由(1)知?a ?是等差数列, ? n?

1 1 a ∴ =1+(n-1) .整理得 an= . an a (a-1)+n 1 1 a a (3)bn=an·n+1= a · =a2?n+a-1-n+a?. ? ? (a-1)+n (a-1)+n+1 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 1 1 1 1 则 Tn=a2??a-1+a?+?1+a-2+a?+

??

? ?

?

1 1 …+?n+a-1-n+a??

?

??

1 1 n+a-a na =a2?a-n+a?=a2· = . ? ? a(n+a) n+a na ∴数列{bn}的前 n 项和为 . n+a

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