kl800.com省心范文网

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 知识归纳:导数的计算


知识归纳:导数的计算
一、几个常用函数的导数 1.公式 1 2.公式 2 3.公式 3 4.公式 4 C′=0(C 为常数) (xn)′=nxn-1(n∈Q) (sinx)′=cosx (cosx)′=-sinx

5.y=C(C 是常数),求 y′ . 解:y=f(x)=C, ∴ y=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0,
?y =0.

?x

?y =0,∴y′=0. ?x 6.y=sinx,求 y′

Y′=C′= lim

?x ?0

解:Δy=sin(x+Δx)-sinx =sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx,
?y sin x cos ?x ? cos x sin ?x ? sin x ? , ?x ?x ?y ∴ y ? ? lim ?x ? 0 ? x

sin x cos ?x ? cos x sin ?x ? sin x ?x sin x(cos?x ? 1) ? cos x sin ?x ? lim ?x ?0 ?x ?x sin x(?2 sin 2 ) 2 ? lim cos x sin ?x ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ? x sin 2 2 ? ?x ? cos x ? lim (?2 sin x) ? ?x ?0 ?x 4 ( )2 2 ? lim
?x ?0

=-2sinx· 1· 0+cosx=cosx. ∴y′=cosx. 7. y=cosx,求 y′ . 解:Δy=cos(x+Δx)-cosx
-1-

=cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx,
?y ?x ? 0 ?x cos x cos ?x ? sin x sin ?x ? cos x ? lim ?x ? 0 ?x y ? ? lim

cos x(cos?x ? 1) ? sin x sin ?x ?x ? 0 ?x ?x cos x(?2 sin 2 ) 2 ? lim sin x sin ?x ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x ?x sin 2 2 ? ?x ? sin x ? 1 ? lim (?2 cos x) ?x ? 0 ?x 4 ( )2 2 ? lim

=-2cosx· 1· 0-sinx=-sinx, ∴y′=-sinx. 二、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1.常见函数的导数公式: (1) C ' ? 0 (C 为常数); (2) ( x n )' ? nxn?1 ( n ? Q ); (3) (sin x)' ? cos x ; (4) (cos x)' ? ? sin x ; (5) (a x )' ? a x ln a ; (6) (e x )' ? e x ; (7) (log a x)' ? (8) (ln x)' ?
1 log a e ; x

1 . x

2.导数的运算法则: 法则 1 法则 2

[u( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x) .
[u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x) .

-2-

法则 3

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) . ? ? ? v2 ?v?

'

3. 和或差的导数等于导数的和或差. 证明:y=f(x)=u(x)± v(x Δy=u(x+Δx)± v(x+Δx)-[u(x)± v(x)] =u(x+Δx)-u(x)± [v(x+Δx)-v(x)] =Δu±Δv
?y ?u ? ?v ?u ?v ? ? ? ?x ?x ?x x ?y ?u ?v ?u ?v ? lim ( ? ) ? lim ? lim ∴ lim =u′(x)± v′(x ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?x ?x?0 ?x ?x?0 ?x



即 y′=(u± v)′=u′±v′. 4. 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个 函数乘第二个函数的导数,即(uv)′=u′v+uv 证明:y=f(x)=u(x)v(x Δy=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x =u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x =[u(x+Δx)-u(x)]v(x+Δx)+u(x)· [v(x+Δx)-v(x)] ∴
?y u ( x ? ?x) ? u ( x) v( x ? ?x) ? v( x) ? v( x ? ?x) ? u ( x) ?x ?x ?x

∵v(x)在点 x 处可导, ∴v(x)在点 x 处连续 ∴当 Δx→0 时,v(x+Δx)→v(x ∴ lim
?y u ( x ? ?x) ? u ( x) v( x ? ?x) ? v( x) ? lim v( x ? ?x) ? lim u ( x) ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

=u′(x)v(x)+u(x)v′(x ∴y′=(uv)′=u′v+uv 5. 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分 子的积,再除以分母的平方
u u ?v ? uv? 即 ( )? ? (v v v2

证明: y ? f ( x) ?

u ( x) v( x)

-3-

?y ?

u ( x ? ?x) u ( x) ? v( x ? ?x) v( x)

=

u ( x ? ?x)v( x) ? u ( x)v( x ? ?x) v( x ? ?x)u ( x) [(u ( x ? ?x)v( x)u ( x)v( x)] ? [u ( x)v( x ? ?x) ? u ( x)v( x)] v( x ? ?x)v( x) [(u ( x ? ?x) ? u ( x)]v( x) ? u ( x)[v( x)v( x ? ?x) ? v( x)] v( x ? ?x)v( x)

=

=

u ( x ? ?x ) ? u ( x ) v ( x ? ?x ) ? v ( x ) v( x) ? u ( x) ?y ?x ?x ? ?x v ( x ? ?x ) v ( x )

∵v(x)在点 x 处可导,所以 v(x)在点 x 处连续 ∴当 Δx→0 时,v(x+Δx)→v(x ∴ lim
?y u ?( x)v( x) ? u ( x)v?( x) ?x?0 ?x v( x) ? v( x)

u u ?v ? uv ? 即 y ? ? ( )? ? v v2

-4-


...1教案:第1章 知识归纳:逻辑联结词“且”“或”“非...

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第1章 知识归纳:逻辑联结词“且”“或”“非”_数学_高中教育_教育专区。1.4 逻辑联结词“且”“或”...

...1教案:第3章 典型例题:导数的几何意义

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 典型例题:导数的几何意义_数学_高中教育_教育专区。3.2 导数的几何意义【例 1】曲线 f(x)=x3+...

...高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 计算导数 参...

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 计算导数 参考教案_数学_高中教育_教育专区。3.3 教学过程: 一、复习 计算导数 1、导数的定义;2...

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第...

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第3章 知识点拨:椭圆与双曲线的经典性质及法则_数学_高中教育_教育专区。椭圆与双曲线的对偶性质--(必背...

...选修1-1教案:第3章 典型例题:导数的概念

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 典型例题:导数的概念_数学_高中教育_教育专区。3.2 导数的概念 【例 1】求函数 y=x2 在点 x...

...1教案:第1章 知识详解:细说“命题及其关系”

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第1章 知识详解:细说“命题及其关系”_数学_高中教育_教育专区。细说“命题及其关系“有关命题及其关系,...

...1教案:第3章 导数的概念及其几何意义 参考教案

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 导数的概念及其几何意义 参考教案_数学_高中教育_教育专区。3.2 导数的概念及其几何意义教学目标: ...

...高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 导数应用 参...

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 导数应用 参考教案_数学_高中教育_教育专区。复习总结:导数应用导读 1. 了解导数概念的某些实际背景...

...1教案:第3章 导数的概念及其几何意义 参考学案

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 导数的概念及其几何意义 参考学案_数学_高中教育_教育专区。3.2.2 导数的几何意义学习要求 1.理解...

...1教案:第3章 实际问题中导数的意义 参考学

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 实际问题中导数的意义 参考学_数学_高中教育_教育专区。4.2.1 实际问题中导数的意义一、学习要求:...