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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 知识归纳:导数的计算


知识归纳:导数的计算
一、几个常用函数的导数 1.公式 1 2.公式 2 3.公式 3 4.公式 4 C′=0(C 为常数) (xn)′=nxn-1(n∈Q) (sinx)′=cosx (cosx)′=-sinx

5.y=C(C 是常数),求 y′ . 解:y=f(x)=C, ∴ y=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0,
?y =0.

?x

?y =0,∴y′=0. ?x 6.y=sinx,求 y′

Y′=C′= lim

?x ?0

解:Δy=sin(x+Δx)-sinx =sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx,
?y sin x cos ?x ? cos x sin ?x ? sin x ? , ?x ?x ?y ∴ y ? ? lim ?x ? 0 ? x

sin x cos ?x ? cos x sin ?x ? sin x ?x sin x(cos?x ? 1) ? cos x sin ?x ? lim ?x ?0 ?x ?x sin x(?2 sin 2 ) 2 ? lim cos x sin ?x ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ? x sin 2 2 ? ?x ? cos x ? lim (?2 sin x) ? ?x ?0 ?x 4 ( )2 2 ? lim
?x ?0

=-2sinx· 1· 0+cosx=cosx. ∴y′=cosx. 7. y=cosx,求 y′ . 解:Δy=cos(x+Δx)-cosx
-1-

=cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx,
?y ?x ? 0 ?x cos x cos ?x ? sin x sin ?x ? cos x ? lim ?x ? 0 ?x y ? ? lim

cos x(cos?x ? 1) ? sin x sin ?x ?x ? 0 ?x ?x cos x(?2 sin 2 ) 2 ? lim sin x sin ?x ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x ?x sin 2 2 ? ?x ? sin x ? 1 ? lim (?2 cos x) ?x ? 0 ?x 4 ( )2 2 ? lim

=-2cosx· 1· 0-sinx=-sinx, ∴y′=-sinx. 二、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1.常见函数的导数公式: (1) C ' ? 0 (C 为常数); (2) ( x n )' ? nxn?1 ( n ? Q ); (3) (sin x)' ? cos x ; (4) (cos x)' ? ? sin x ; (5) (a x )' ? a x ln a ; (6) (e x )' ? e x ; (7) (log a x)' ? (8) (ln x)' ?
1 log a e ; x

1 . x

2.导数的运算法则: 法则 1 法则 2

[u( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x) .
[u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x) .

-2-

法则 3

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) . ? ? ? v2 ?v?

'

3. 和或差的导数等于导数的和或差. 证明:y=f(x)=u(x)± v(x Δy=u(x+Δx)± v(x+Δx)-[u(x)± v(x)] =u(x+Δx)-u(x)± [v(x+Δx)-v(x)] =Δu±Δv
?y ?u ? ?v ?u ?v ? ? ? ?x ?x ?x x ?y ?u ?v ?u ?v ? lim ( ? ) ? lim ? lim ∴ lim =u′(x)± v′(x ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?x ?x?0 ?x ?x?0 ?x



即 y′=(u± v)′=u′±v′. 4. 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个 函数乘第二个函数的导数,即(uv)′=u′v+uv 证明:y=f(x)=u(x)v(x Δy=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x =u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x =[u(x+Δx)-u(x)]v(x+Δx)+u(x)· [v(x+Δx)-v(x)] ∴
?y u ( x ? ?x) ? u ( x) v( x ? ?x) ? v( x) ? v( x ? ?x) ? u ( x) ?x ?x ?x

∵v(x)在点 x 处可导, ∴v(x)在点 x 处连续 ∴当 Δx→0 时,v(x+Δx)→v(x ∴ lim
?y u ( x ? ?x) ? u ( x) v( x ? ?x) ? v( x) ? lim v( x ? ?x) ? lim u ( x) ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

=u′(x)v(x)+u(x)v′(x ∴y′=(uv)′=u′v+uv 5. 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分 子的积,再除以分母的平方
u u ?v ? uv? 即 ( )? ? (v v v2

证明: y ? f ( x) ?

u ( x) v( x)

-3-

?y ?

u ( x ? ?x) u ( x) ? v( x ? ?x) v( x)

=

u ( x ? ?x)v( x) ? u ( x)v( x ? ?x) v( x ? ?x)u ( x) [(u ( x ? ?x)v( x)u ( x)v( x)] ? [u ( x)v( x ? ?x) ? u ( x)v( x)] v( x ? ?x)v( x) [(u ( x ? ?x) ? u ( x)]v( x) ? u ( x)[v( x)v( x ? ?x) ? v( x)] v( x ? ?x)v( x)

=

=

u ( x ? ?x ) ? u ( x ) v ( x ? ?x ) ? v ( x ) v( x) ? u ( x) ?y ?x ?x ? ?x v ( x ? ?x ) v ( x )

∵v(x)在点 x 处可导,所以 v(x)在点 x 处连续 ∴当 Δx→0 时,v(x+Δx)→v(x ∴ lim
?y u ?( x)v( x) ? u ( x)v?( x) ?x?0 ?x v( x) ? v( x)

u u ?v ? uv ? 即 y ? ? ( )? ? v v2

-4-


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