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3.1.5空间向量运算的坐标表示3


3.1.5 空间向量运算的
坐标表示
1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单 几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个

向量的共线或垂直.(重点)
3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离 公式,并能运用这些知识解决一些相关问题. (难点)

【复习导入】
平面向量线性

运算的坐标如何表示?

设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

a ?b ?

(a 1 ?b1 , a2 ? b2 )

;

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) (?a1 , ?a2 ) ; ?a ?

;

a?

a ?a

?

a12 ? a22

;

a / /b ? a ? ?b (? ? R) ?

a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R);

平面向量线性运算的坐标如何表示?

设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

a ? b ? a1b1 ? a2b2
cos a , b ?
a ?b a b

;
?
a1b1 ? a2 b2 a12 ? a2 2 b12 ? b2 2

;

a ?b ?

a ?b ? 0

?

a1b1 ? a2b2 ? 0

【新知探究】
平面向量运算的坐标表示: 空间向量运算的坐标表示:

设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) ; 类 a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) ;
比 推 广

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

?a ? (?a1 , ?a2 )

;

?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 )

;

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ;

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;

巩固练习1
1.设向量a=(-1,0,3),b=(3,1,4).计算:

(1)2a+b=________________.

1 (2) a ? 3b ? __________________. 2
(3)(a+b)·(a-b)=_____________________. 2.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条 件(c-a)·(2b)=-2,则x的值为( A.2 B.-2 C.0 ) D.1

平面向量运算的坐标表示:

空间向量运算的坐标表示:

设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则

a // b ? a ? ? b a // b ? a ? ? b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 ; 类 ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 比 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 推 ? a1b1 ? a2b2 ? 0 广 ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? 0

;

cos a , b ? ?
a
2 1

a ?b a b

cos a , b ?
2

a ?b a b

a1b1 ? a2 b2 ? a2
2

b ? b2
2 1

;

? a12 ? a22 ? a32 b12 ? b22 ? b32;

a1b1 ? a2 b2 ? a3b3

巩固练习2
1.已知a=(-2,3,3),则下列向量中与a平行的是(
A.(1,1,2) B.(2,3,3) D.(-3,2,2)

)

1 3 3 C.( , ? , ? ) 2 4 4

2.若向量m=(2,t,3)与n=(1,2,4)垂直,则t=________.

1 3.若向量a=(1,λ ,2),b=(2,-1,1),且a与b的夹角的余弦值为 , 2
则λ 等于____________.

平面向量运算的坐标表示: 空间向量运算的坐标表示:
设a ? (a1 , a2 ), 则

设a ? (a1 , a2 , a3 ), 则

a? ?

a ?a

a12 ? a2 2

a ? a ?a 类 ? a12 ? a22 ? a32; ; 比
若A( x1 , y1 , z1 )、B ( x2 , y2 , z 2 ),则 AB ? ( x 2 ? x1 , y2

推 若A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ),则 广
AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
2 2 AB ? (x2 ? x1) ? (y2 ? y1)

? y1 , z2 ? z1 )

AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2
默写一遍

巩固练习3
1.已知向量 AB ? ? 2, 3, 4 ?,点A的坐标是(1,2,0),则点B的坐

标是(

)
B.(3,5,4) C.(-1,1,-4) D.(3,6,3)

A.(1,1,4)

2.设A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则 AB 的最小值是_______.

例1. 已知 a =(2,-3,5),b =(-3, 1,-4), 求a + b,a - b, |a|,8a,a ? b

解: a + b =(2,-3, 5)+(-3, 1,-4)=(-1,-2, 1),

a - b =(2,-3, 5)-(-3, 1,-4)=(5,-4, 9),
|a|= 22 +(-3)2 +52 = 38 ,
8a = 8(2,-3, 5)=(16,-24,40),

a ? b =(2,-3,5)(-3,1,-4)= ? 2× (-3)+(-3) ×1+5× (-4) = -29.

再练一下.已知向量a=(3,1,0),b=(1,-1,1), 则|2a-3b|=___.cos〈a,b〉=_______.
【解析】∵2a-3b=(3,5,-3), ∴|2a-3b|= 43,

cos〈a, b〉 ? ? 30 . 15

3 ?1 ? 1? ? ?1? ? 0 ?1
2 2 2 2

3 ? 1 ? 0 ? 1 ? ? ?1? ? 12
2

例2

如图,

在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,B1 E1 ?
,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值. 解:设正方体的棱长为1,如图建
C1

A1 B1 ? D1 F1 ? 4

z
DD 11
A1 F1 E1

立空间直角坐标系 Dxyz ,则
1 D(0 , 0 , 0) , F1 (0 , ,1) . 4 3 1 BE1 ? (1 , , 1) ? (1 , 1 , 0) ? (0 , ? , 1) , 4 4

B1

3 B(1 , 1 , 0) , E1 (1 , , 1) , 4

D

C

y

A

B

x

1 1 DF1 ? (0 , ,1)? (0 , 0 , 0)? (0 , ,1). 4 4

请同学们总结一些

做题步骤

1 1 15 BE1 DF1 ? 0 ? 0 ? ( ? ) ? ? 1 ? 1 ? , 4 4 16

17 17 | BE1 |? , | DF1 |? . 4 4

注意:直线夹角 和向量夹角的不

15 同 BE1 DF1 15 16 所以 cos ? BE1 , DF1 ?? ? ? . | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 ? 4 4

所以BE1与DF1所成的角的余弦值是

15 17

动手试试:如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是

BB1 , D1 B1 的中点,求证: EF ? DA1 .

1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) . 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) ,

所以 DA1 ? (1 , 0 , 1)
课后练习3

1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 因此 EF ? DA ,即 EF ? DA1 . 1

【课堂小结】
今天你学到了什么呢? 1.基本知识:
(1)向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示; (2)两个向量的夹角公式和垂直、平行判定的坐 标表示。

2.思想方法: 用向量坐标法计算或证明几何问题
(1) 建立直角坐标系,
(2)把点、向量坐标化,

(3)对向量计算或证明。

变式训练:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2,

AA1=4,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.
(1)求证:EF⊥CF. (2)求CE的长.

1 1 ? 1? → → 1 1 所以EF· CF= × +(- )× +?- ?×0=0. 2 2 2 2 ? 2? → → 所以EF⊥CF,即 EF⊥CF. 1 → (2)由(1)知CE=(0,-1, ), 2 5 1 2 → 2 2 所以|CE|= 0 ? (?1) ? ( ) = . 2 2


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