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人教A版【选修1-1】课时教案:1.2充分条件和必要条件(2)


[教学目标]: 1.进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念; 2.掌握判断命题的条件的充要性的方法; [教学重点、难点]: 理解充要条件的意义,掌握命题条件的充要性判断. [教学过程]: 一、复习回顾 一般地,如果已知 p ? q ,那么我们就说 p 是 q 成立的充分条件,q 是 p 的必要条件
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⑴“ a ? b ? c ”是“ ? a ? b ??b ? c ?? c ? a ? ? 0 ”的

充分不必要

条件.

⑵若 a、b 都是实数,从① ab ? 0 ;② a ? b ? 0 ;③ ab ? 0 ;④ a ? b ? 0 ;⑤ a 2 ? b 2 ? 0 ;⑥ a 2 ? b 2 ? 0 中选出使 a、b 都不为 0 的充分条件是 ①②⑤ . 二、例题分析 条件充要性的判定结果有四种,判定的方法很多,但针对各种具体情况,应采取不同 的策略,灵活判断.下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题. 1.要注意转换命题判定,培养思维的灵活性 例 1:已知 p: x ? y ? ?2 ;q:x、y 不都是 ?1 ,p 是 q 的什么条件? 分析:要考虑 p 是 q 的什么条件,就是判断“若 p 则 q”及“若 q 则 p”的真假性 从正面很难判断是,我们从它们的逆否命题来判断其真假性 “若 p 则 q”的逆否命题是“若 x、y 都是 ?1 ,则 x ? y ? ?2 ”真的 “若 q 则 p”的逆否命题是“若 x ? y ? ?2 ,则 x、y 都是 ?1 ”假的 故 p 是 q 的充分不必要条件 注:当一个命题很难判断其真假性时,我们可以从其逆否命题来着手. 2 练习:已知 p: x ? 2 或 x ? ;q: x ? 2 或 x ? ?1 ,则 ?p 是 ?q 的什么条件? 3
2 ?q : ?1 ? x ? 2 ?x?2 3 显然 ?p 是 ?q 的的充分不必要条件 方法二:要考虑 ?p 是 ?q 的什么条件,就是判断“若 ?p 则 ?q ”及“若 ?q 则 ?p ”

方法一: ?p :

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的真假性 “若 ?p 则 ?q ”等价于“若 q 则 p”真的 “若 ?q 则 ?p ”等价于“若 p 则 q”假的 故 ?p 是 ?q 的的充分不必要条件 2.要注意 充要条件的传递性,培养思维的敏捷性 例 2:若 M 是 N 的充分不必要条件,N 是 P 的充要条件,Q 是 P 的必要不充分条件,则

M 是 Q 的什么条件? 分析:命题的充分必要性具有传递性 M ? N ? P ? Q

显然 M 是 Q 的充分不必要条件

3.充要性的求解是一种等价的转化 例 3:求关于 x 的一元二次不等式 ax 2 ? 1 ? ax 于一切实数 x 都成立的充要条件 分析:求一个问 题的充要条件,就是把这个问题进行等价转化
?a ? 0 ? 由题可知等价于 a ? 0 或 ?a ? 0 ? a ? 0 或 0 ? a ? 4 ? 0 ? a ? 4 ?? ? 0 ?

4.充要性的证明,关键是理清题意,特别要认清条件与结论分别是什么 例 4:证明:对于 x、y ? R, xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要不充分条件. 分析:要证明必要不充分条件,就是要证明两个,一个是必要条件,另一个是不充 分条件 必要性:对于 x、y ? R,如果 x2 ? y 2 ? 0 则x?0,y?0 即 xy ? 0

故 xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要条件 不充分性:对于 x 、y ? R,如果 xy ? 0 ,如 x ? 0 , y ? 1 ,此时 x2 ? y 2 ? 0 故 xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的不充分条件 综上所述:对于 x、y ? R, xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要不充分条件.

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例 5:p: ?2 ? x ? 10 ;q: 1 ? m ? x ? 1 ? m ? m ? 0? .若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件, 求实数 m 的取值范围. 解:由于 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充分不必要条件
?1 ? m ? ?2 ?m ? 9 于是有 ? ?10 ? 1 ? m


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