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解析几何应用题


2012.11

解析几何应用题
一.填空题 1.嫦娥一号奔月前第一次变轨后运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆,测得近地点 A 距 离地面 ,远地点 B 距离地面 ,地球半径为 ,关于这个椭圆有以下四

种说法:①焦距长为

;②短半轴长为

;③离心率


/>
其中正确的序号为______ __ 2、某桥的桥洞呈抛物线形(如图),桥下水面宽 16 米,当水面上涨 2 米后达到 警戒水位, 水面宽变为 12 米, 此时桥洞顶部距水面高度约为 米 (精 确到 0.1 米) 二.解答题 3. 如图示,一科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东α角的射线 OZ 方向航行, 其中 tg ? = ,在距离港口 O 为 13 a(a 是正常数)浬北偏东β角的 A 处有一个供给科考船物资的 小岛,其中 cos ? =
2 13
1 3

,现指挥部紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m 浬的 B 处的补给船,速往小岛

A 装运物资供给科考船。该船沿 BA 方向不变全速追赶科考船并在 C 处相遇。经测算当两船运行的 航线与海岸线 OB 围成的△OBC 面积 S 最小时,补给最适宜. Z 北 (1) 、求 S 关于 m 的函数关系式 S(m); (2) 、当 m 为何值时,补给最 C 适宜? A

O

B 东

4.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的士只能沿道路 AP, BP 运送到 P 处, PA ? 100m ,
0 PB ? 150m , ?APB ? 60 ,试说明怎样运才能最省工。

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5.(本小题满分 16 分)如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 20 米,要求通行车辆限 高 4 米,隧道全长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. (Ⅰ)若最大拱高 h 为 5 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (Ⅱ)若最大拱高 h 不小于 5.5 米,则应如何设计拱高 h 和拱宽 l,才能使半个椭圆形隧道的 土方工程量最最小?(半个椭圆的面积公式为 S ? 结果精确到 0.1 米)

?
4

lh ,柱体体积为:底面积乘以高.本题

6. (本小题满分 16 分)河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 5 m 时,水面宽为 8 m,一小船 宽 4 m,高 2 m,载货后船露出水面上的部分高 时,小船恰好能通行.

3 m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米 4

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7.某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图 2 所示,某卡车载一 集装箱,箱宽 3m,车与箱共高 4m,此车能否通过此隧道?请说明理由.

8.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案是: 如图, 航天器运行(按

y2 x2 ? ? 1 ,变轨(即航天器运行 100 25 轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、
顺时针方向)的轨迹方程为

64 ? ? M ? 0, ? 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D( 8, 0 ) . 7 ? ?
观测点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:若航天器在 x 轴上方,则在观测点 A、B 测得离航天 器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?

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参考答案 1.①

② ③

2.

2.6 3. .(1)以 O 为原,指北方向为 y 轴建立直角坐标系,则直线 OZ 的方程

为 y=3x.设点 A 的坐标为(x 0 ,y 0 ),则 x 0 = 13 a cos ? =3 a ,y 0 = 13 a sinβ =2 a ,所以 A(3 a ,2 a ). 又 B(m,0),则直线 AB 的方程为 y=

2a 2a 2am (x-m).由 y=3x 及 y= (x-m), 求得 C( , 3m ? 7a 3a ? m 3a ? m
49a 2 14 + a] 7 3 9(m ? a) 3

3am2 6am 7 7 ).∴ S (m) =S ?OBC = (m> a ). (2)S(m) =…= a [(m- a )+ 3m ? 7a 3m ? 7a 3 3
49a 2 14 28 + a ]= a 9 3 3

≥ a [2

2

当且仅当 m-

7 a= 3

49a 2 14 14 7 , 即 m= a (m= a > a ) 时,等 7 3 3 3 9(m ? a) 3

号成立.故当 m=

14 a 浬时,补给最适宜 4. 解析:以 AB 所在直线为 x 轴, AB 的垂直平分线为 y 轴,建立 3

直角坐标系,设 M 是分界线上的点,则有

MA ? PA ? MB ? PB

,于是有

MA ? MB ? PB ? PA ? 150 ? 100 ? 50 ,这说明这条分界线是以 A, B 为焦点的双曲线的右支,在
?APB 中,由余弦定理得: AB ? AP ? PB ? 2 AP ?PB cos 600 ? 17500 ,从而 a ? 25 ,
2 2 2

AB x2 y2 c ? ? 4375 , b2 ? c2 ? a 2 ? 3750 ,所以所求分界线方程为 ? ? 1( x ? 25) ,于是 4 625 3750
2

2

运士时,将此双曲线左侧的士沿

AP 运到 P 点,右侧的士沿 BP 运到 P 点最省工。
2 2 椭圆方程为 x ? y ? 1 .将 b=h=5 与点 P 坐标代入 2 2

5.解:(Ⅰ)如图建立直角坐标系,则点 P(10,4), 椭圆方程,得 a ?
x2 y2 ? ? 1 ,得 a2 b2

a

b

50 100 , 此时l ? 2a ? ? 33.3 .因此隧道的拱宽约为 33.3 米.(II)由椭圆方程 3 3

10 2 4 2 ? ? 1. a2 b2

因为1 ?

10 2 4 2 2 ?10 ? 4 ? ?ab 80? ? 2 ? 即ab ? 80, 且l ? 2a, h ? b, 所以S ? lh ? ? . 2 ab 4 2 2 a b 10 2 4 2 1 当S取最小值时, 有 2 ? 2 ? , 得a ? 10 2 , b ? 4 2此时l ? 2a ? 20 2 ? 28.3, h ? b ? 5.7 2 a b
故当拱高约为 6.4 米、拱宽约为 31.1 米时,土方工程量最小. 第4页

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6. . 建立如图所示的直角坐标系 xOy,设抛物线型拱桥方程为 x2=-2py(p>0) .则由题意知 A(-4,-5) 、B(4,-5)为抛物线型拱桥的两个端点.∴ 16=-2

8 16 2 .∴ 抛物线方程为 x =- y.∵ 小船宽 4m,∴ 当 x=±2 时, 5 5 5 5 y=- ,即当船顶距抛物线拱顶为 m 时,小船恰好能通过. 又∵ 载货后, 4 4
×(-5)p,p= 船露出水面上的部分高

3 5 3 m,∴ 当水面距抛物线拱顶距离 d= ? ? =2(m)时,小船恰好 4 4 4

能通行.答:当水面上涨到与抛物线拱顶相距 2m 时,小船恰好能通行. 7. 解:取抛物线顶点为原点,水平向右为 x 轴正方向建立直角坐标系,设抛物线方程为
x2 ? ?2 py( p ? 0) ,当 x ? 3 时, y ? ?3 ,即取抛物线与矩形的结合点 (3, ? 3) ,代入 x 2 ? ?2 py ,

得 9 ? 6 p ,则 p ?

3 3 ,故抛物线方程为 x 2 ? ?3 y .已知集装箱的宽为 3m ,取 x ? ,则 2 2

1 3 3 1 y ? ? x 2 ? ? .而隧道高为 5m, 5m ? m ? 4 m ? 4m .所以卡车可以通过此隧道. 3 4 4 4

8. . 解 : ( 1 )由 题 意,设 曲 线 方程 为

y ? ax 2 ?

64 7 , 将点 D(8,0) 的坐 标 代入 ,得

0 ? a ? 64 ?

64 1 a?? 7 . ∴ 7 ,



1 64 y ? ? x2 ? 7 7 . 曲线方程

? x2 y2 ? ? 1,?? ?1? ? (2)设变轨点为 C(x,y),根据题意可知 ? ? 100 1 25 64 ? y ? ? x 2 ? ,?? ?2 ? ? 7 7 ?
2

将(2)代入(1) ,

得 4y -7y-36=0,解之,得 y=4(y=-9/4 舍去) ,于是 x=6,所以点 C 的坐标为(6,4) . 所 以 AC ? 2 5 , BC ? 4 .因此,在观测点 A、B 测得离航天器的距离分别为 2 5 ,4 时,应向 航天器发出变轨指令.

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