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1.1.1《集合的含义与表示》教学设计(人教A版必修1)


1.1.1《集合的含义与表示》教案
【教学目标】

1.了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征; 2. 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系; 3. 掌握常用数集及其记法; 4.了解集合的表示方法; 5.能正确选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同 的具体问题,感受集合语言的意义和作用.
【导入新课】 一、实

例引入: 军训前学校通知:8 月 20 日 8 点,高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通 知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是 高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合, 即是一些研究对象的总体. 二、问题情境引入:我们高一(一)班一共 52 人,其中班长张三,现有以下问题: ⑴ 52 人组成的班集体能否组成一个整体? ⑵ 张三和 52 人所组成的班集体是什么关系? ⑶ 假设李四是相邻班的学生,问他与高一·一班是什么关系? 新授课阶段 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们

能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2. 一般地,我们把研究对象统称为元素( element ) ,一些元素组成的总体叫集合 (set) ,也简称集.[ 3. 思考 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 大于 3 小于 11 的偶数; (2) 我国的小河流; (3) 非负奇数;

(4) 方程 x ? 1 ? 0 的解;
2

(5) 某校 2012 级新生; (6) 血压很高的人; (7) 著名的数学家; (8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点; (9) 全班成绩好的学生. 对学生的解答予以讨论、点评,进而讲解下面的问题. 4. 关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素, 或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立. (2) 互异性: 一个给定集合中的元素, 指属于这个集合的互不相同的个体 (对象) , 因此,同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关. (4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样. (二) 元素与集合的关系 1. (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作:a∈A; (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作:a ? A, 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A, , 4 ? A, 等等. 2.集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母 A,B,C?表示,集合的元素用小 写的拉丁字母 a,b,c,?表示. 3.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R. 例 1 若集合 A 为所以大于 1 二小于 3 的实数组成的集合,则下面说法正确的为( A. 0 ? A B. 1 ? A C. 0.2 ? A D. ?1 ? A )

解析:根据元素与集合的关系可得,答案 C. 答案: C 例 2 用“∈”或“ ? ”符号填空: (1)8 (3)-3 N; Z; (2)0 (4) 2 N; Q; A, 美国 A, 印度 A,

(5) 设 A 为所有亚洲国家组成的集合, 则中国 英国 A.

答案: ?;?;?;?;?,?,? 例 3 判断下列各句的说法是否正确: (1) 所有在 N 中的元素都在 N*中 ( (2) 所有在 N 中的元素都在 Z 中 ( ) ) ) ) )

(3) 所有不在 N*中的数都不在 Z 中 ( (4) 所有不在 Q 中的实数都在 R 中 (

(5) 由既在 R 中又在 N 中的数组成的集合中一定包含数 0 ( (6) 不在 N 中的数不能使方程 4x=8 成立 ( 答案: ×,√,×,√,×,√ 例 4 已知集合 P 的元素为 1, m, m
2

)

? 3m ? 3 , 若 3 ? P 且-1 ? P,求实数 m 的值

解:根据 3 ? P ,得若 m ? 3, 则m ? 3m ? 3 ? 3 此时不满足题意;若 m ? 3m ? 3 ? 3, 解得
2

此时 m ? 0 或 m ? 3 (舍) ,综上 符合条件的 m ? 0 . 点评:本题综合运用集合的定义和元素与集合的关系解题,注意集合的性质的运用. (三)集合的表示方法 我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便, 除此之外还常用列举法和描述法来表示集合 (1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“ ? 的方法叫列举法. 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},? 说明:1.集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序. 2.各个元素之间要用逗号隔开;

? ”括起来表示集合

3.元素不能重复; 4.集合中的元素可以数,点,代数式等; 5.对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方 能用省略号,象自然数集N用列举法表示为 ?1, 2,3, 4,5,......? . 例 5 用列举法表示下列集合: (1)x2-4 的一次因式组成的集合. (3)方程 x2+6x+9=0 的解集. (2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}. (4){20 以内的质数}.

(5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}. (6){大于 0 小于 3 的整数} (7){x∈R|x2+5x-14=0}. (8){(x,y)}|x∈N,且 1≤x<4,y-2x=0}. (9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}. 分析:用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序 地用“, ”隔开放在大括号内. 解:(1)因 x2-4=(x-2) (x+2) ,故符合题意的集合为{x-2,x+2}. (2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即 y≤4,又 y∈N,∴y=0,1,2,3,4. 故{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4}. (3)由 x2+6x+9=0 得 x1=x2=-3,∴方程 x2+6x+9=0 的解集为{-3}. (4){20 以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19}. (5)因 x∈Z , y∈Z ,则 x=-1,0,1 时,y=0,1,-1. 那么{(x,y)|x2+y2=1,x∈Z ,y∈Z}={(-1,0) , (0,1) , (0,-1) , (1,0)}. (6){大于 0 小于 3 的整数}={1,2}. (7)因 x2+5x-14=0 的解为 x1=-7,x2=2,则{x∈R|x2+5x-14=0}={-7,2}. (8)当 x∈N 且 1≤x<4 时,x=1,2,3,此时 y=2x,即 y=2,4,6. 那么{(x,y)|x∈N 且 1≤x<4,y-2x=0}={(1,2) , (2,4) , (3,6)}. (9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}={(0,6) (1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1) , (6,0)}.

(2)描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号{ }内. 具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范

围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式: ? x ? A p ( x )

?

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x︳直角三角形},?; 说明: 1.课本 P5 最后一段话; 2.描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是 不同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{x︳整数},即 代表整数集 Z. 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集},

{R}也是错误的. 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注 意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法. 例 6 用描述法表示下列集合: (1)方程 2x+y=5 的解集. (3)方程 ax+by=0(ab≠0)的解. (2)小于 10 的所有非负整数的集合. (4)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合.

(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
?x + y=1 (6)方程组? 的解的集合. ?x-y=1

(7){1,3,5,7,?}. (9)非负偶数.

(8)x 轴上所有点的集合. (10)能被 3 整除的整数.

分析:用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性,确定代表元素,公共属 性可以用文字直接表述,也可用数学关系表示,但要抓住其实质. 解:(1){(x,y)|2x+y=5}. (2)小于 10 的所有非负整数的集合用描述法表示为{x|0≤x<10,x∈Z}. (3)方程 ax+by=0(ab≠0)的解用描述法表示为{(x,y)|ax+by=0(ab≠0)}. (4)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合用描述法表示为{x|x>3}. (5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{(x,y)|xy<0}.
?x + y=1 ?x + y=1 (6)方程组? 的解的集合用描述法表示为{(x,y)|? }. ?x-y=1 ?x-y=1

(7){1,3,5,7,?}用描述法表示为{x|x=2k-1,k∈N*}. (8)x 轴上所有点的集合用描述法表示为{(x,y)|x∈R,y=0}.

(9)非负偶数用描述法表示为{x|x=2k,k∈N}. (10)能被 3 整除的整数用描述法表示为{x|x=3k,k∈Z}.

(3)文恩图法:集合的表示除了列举法和描述法外,还有恩韦图(文氏图)叙述如下: 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.如图:

表示任意一个集合 A 表示{3,9,27}

表示{4, 6, 10} 边界用直线还是曲线, 用实线还是虚线都无关紧要, 只要封闭并把有关元素和子集统统 包含在里边就行,但不能理解成圈内每个点都是集合的元素 . ................. 例 7 设集合 A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈ Z},又有 a∈A,b∈B,判断元素 a+b 与集合 A、B 和 C 的关系. 解:因 A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},则集合 A 由偶数构成,集合 B 由奇数构成. 即 a 是偶数,b 是奇数 设 a=2m,b=2n+1(m∈Z ,n∈Z)

则 a+b=2(m+n)+1 是奇数,那么 a+b∈ \ A,a+b∈B. 又 C={x|x=4k+1,k∈Z}是由部分奇数构成且 x=4k+1=2·2k+1. 故 m+n 是偶数时,a+b∈C;m+n 不是偶数时,a+b∈ \C 综上 a+b∈ \ A,a+b∈B,a+b∈ \ C. 课堂小结 1.集合的概念中, “某些指定的对象” ,可以是任意的具体确定的事物,例如数、式、点、 形、物等. 2.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性,要能熟练运用之. 3. 集合的常用表示方法,包括列举法、描述法. 作业 1.习题 1.1,第 1- 2 题; 2.预习集合的表示方法.

拓展提升 1.用集合符号表示下列集合,并写出集合中的元素: (1)所有绝对值等于 8 的数的集合 A; (2)所有绝对值小于 8 的整数的集合 B.

2.下列各组对象不能形成 集合的是( .... A.大于 6 的所有整数 C.被 3 除余 2 的所有整数 3.下列条件能形成集合的是( A.充分小的负数全体 C.某班本学期视力较差的同学 )

) B.高中数学的所有难题 1 D.函数 y= 图象上所有的点 x

B.爱好飞机的一些人 D.某校某班某一天所有课程

4.集合 A 的元素由 kx2-3x+2=0 的解构成,其中 k∈R,若 A 中的元素至多有一个,求 k 值的范围.

5.若 x∈R,则{3,x,x2-2x}中的元素 x 应满足什么条件?

1 1 6.方程 ax2+5x+c=0 的解集是{ , },则 a=_______,c=_______. 2 3

7.集合 A 的元素是由 x=a+b 2 (a∈Z,b∈Z) 组成, 判断下列元素 x 与集合 A 之间的关系: 0, 1 1 , . 2-1 3- 2

参考答案 1. 分析:由集合定义:一组确定对象的全体形成集合,所以能否形成集合,就看所提 对象是否确定;其次集合元素的特征也是解决问题依据所在. 解:(1)A={绝对值等于 8 的数} (2)B={绝对值小于 8 的整数} 其元素为:-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7. 2. 解:综观四个选择支,A、C、D 的对象是确定的,惟有 B 中的对象不确定,故不能 形成集合的是 B. 3 解:综观该题的四个选择支,A、B、C 的对象不确定,惟有 D 某校某班某一天所有 课程的对象确定,故能形成集合的是 D. 4. 解:由题 A 中元素即方程 kx2-3x+2=0(k∈R)的根 2 若 k=0,则 x= ,知 A 中有一个元素,符合题设[ 3 若 k≠0,则方程为一元二次方程. 9 当Δ =9-8k=0 即 k= 时,kx2-3x+2=0 有两相等的实数根,此时 A 中有一个元素. 8 9 又当 9-8k<0 即 k> 时,kx2-3x+2=0 无解. 8 此时 A 中无任何元素,即 A= ? 也符合条件 9 综上所述 k=0 或 k≥ 8 评述:解决涉及一元二次方程问题,先看二次项系数是否确定,若不确定,如该题,则 须分类讨论.其次至多有一个元素,决定了这样的集合或者含一个元素,或者不含元素,分 两种情况. 5. 解:集合元素的特征说明{3,x,x2-2x}中元素应满足关系式 其元素为:-8,8

? ?x≠32 ?x≠x -2x ?3≠x2-2x ?

3 ? ?x≠ 2 即?x ≠3x ?x2-2x-3≠0 ?

? ?x≠3 也就是?x≠0 ?x≠-1 ?

即 x≠-1,0,3 满足条件. 1 1 1 1 6. 解:方程 ax2+5x+c=0 的解集是{ , },那么 、 是方程两根 2 3 2 3

?2 +3 =-a 即有? 1 1 c ?2 ·3 =a

1

1

5

?a=-6 得? ?c=-1

那么 a=-6,c=-1

7.解:因 x=a+b 2 ,a∈Z ,b∈Z 则当 a=b=0 时,x=0 又 1 = 2 +1=1+ 2 2-1

当 a=b=1 时,x=1+ 2 又 1 = 3 + 2 3- 2

当 a= 3 ,b=1 时,a+b 2 = 3 + 2 而此时 3 ∈ \ Z,故有: 故 0∈A, 1 ∈ \ A, 3- 2

1 1 ∈A, ∈ \ A. 2-1 3- 2

15 8.解:若 x 是整数,则有 x+x=15,x= 与 x 是整数相矛盾,若 x 不是整数,则 x 必 2 在两个连续整数之间 设 n<x<n+1 则有 n+(n+1)=15,2n=14,n=7 即 7<x<8 ∴x∈(7,8)


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