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2015高考数学(文)一轮总复习课件:5.2 等差数列


第五章 §5.2 等差数列

§ 1.1 集合的概念和运算 最新考纲(三年28考)
1. 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 2. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应 问题.

3. 了解等差数列与一次函数的关系.

最新考纲 基础梳理

/>第 二 节

自主测评 典例研析

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1. 等差数列

基础梳理

1 同一个 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于□ 2 公差 (公 常数, 这个数列就叫做等差数列, 这个常数就叫做等差数列的□ 差常用字母“d”表示).即 an-an-1=d(n≥2,d 为常数). 2. 等差数列的通项公式 1 a1+(n-1)d =am+(n-m)d=pn+q. an=□ 3. 等差中项 1 等差数列 , 如果 a, A, b 成□ 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. A= ?a,A,b 成等差数列. a+b 2

4. 等差数列的常用性质 (1)若数列{an}是等差数列,则{Aan+B}也是等差数列. (2)若数列{an}是等差数列,m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则 am 1 ap+aq . +an=□ (3)若数列{an}是等差数列,bn=akn+b(k,b 为常数,且不同时为 0),则数 2 等差数列 . 列{bn}也是□ (4)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构 成等差数列.

an-am (5)设 an,am 是一等差数列中的任意两项,则 d= (n≠m). n-m (6)数列{c·an}、{c+an}、{pan+qbn}等都是等差数列,其中 c,p,q 为常数, {an}、{bn}为等差数列. 5. 等差数列的前 n 项和公式 n(a1+an) n(n-1)d 1 na1+ Sn= =□ =An2+Bn. 2 2

拓展提升

1. 等差数列前 n 项和与二次函数的关系 d d 公式变形为 Sn=An2+Bn,其中 A= ,B=a1- ,可以把它看做是关于 n 2 2 的二次函数(d≠0 时),它的图像是过原点的抛物线上横坐标为正整数的一 群孤立的点;当 d=0 时,Sn=a1n,它的图像为射线 y=a1x 上横坐标为正 整数的一群孤立的点.

2. 等差数列前 n 项和的性质 前 n 项和的性质:设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则 (1)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.
? ?Sn? ? (2)? ?也是一个等差数列. ? ?n? ?

(3)Sn=

n(a1+an) 2



n(a2+an-1) 2 d=nan-



n(a3+an-2) 2 d.

=….

(4)Sn=na1+

n(n-1) 2

n(n-1) 2

自主测评
判断下列命题是否正确. (1)若等差数列{an}的公差为 d,则{3an}是等差数列且公差也为 d.( (2)已知等差数列{an}的通项公式 an=3-2n,则它的公差为-2.( (3)在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则 a1 为 3.( ) ) )

(4) 一个五边形的内角度数成等差数列 ,且最小角是 46°,则最大角是 170°.( )

(1) 错误.∵an = a1 + (n - 1)d ,∴ 3an = 3a1 + (n - 1)3d ,即 {3an} 是首项 3a1,公差为 3d 的等差数列. (2)正确.d=an+1-an=3-2(n+1)-(3-2n)=-2. (3)错误.an=a1+(n-1)×2=11 ①②解得 a1=3 或-1. (4)正确.由 5×(46°+x) 2 =(5-2)×180°,∴x=170°. ①,Sn=na1+ n(n-1) 2 ×2=35 ②,由

等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于 x 的方程 x2+(a4+a6)x +10=0 的根的情况是( A. 无实根 )

B. 有两个相等实根 D. 不能确定有无实根

C. 有两个不等实根

由于 a4+a6=a2+a8=2a5, 而 3a5=9, ∴a5=3, 方程为 x2+6x+10=0, 无解.故答案是 A

(2013·北京测试)等差数列{an}中, a2=3, a3+a4=9, 则 a1a6 的值为( A. 14 B. 18 C. 21 D. 27

)

?a1+d=3, 依题意得? 由此解得 d=1,a1=2,a6=a1+5d=7, ?2a1+5d=9,
a1a6=14,选 A.

(2013·淄博检测)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a13=S13= 13,则 a1 等于( A. -14 ) C. -12 D. -11

B. -13

13(a1+a13) 在等差数列中,S13= =13,∴a1+a13=2,即 a1=2-a13 2 =2-13=-11,选 D.

(2013·石家庄质检改编 ) 已知等差数列 {an} 满足 a2 = 3 , Sn - Sn - 3 = 51(n>3),Sn=100,则 n 的值 .

由 Sn-Sn-3=51 得,an-2+an-1+an=51,∴an-1=17,又 a2=3,Sn n(a2+an-1) = =100,解得 n=10. 2

题型分类 ·典例研析
题型1 · 等差数列的基本运算
(1)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=________; (2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, 若 S3=3, S6=24, 则 a9=________; Sn 7n+45 (3)等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 = ,则使得 Tn n-3 an bn 为正整数的正整数 n 的个数是________.

利用等差数列的通项公式及其前 n 项和 Sn 的公式,找到 a1,an, d,Sn,n 五个量之间的关系,合理利用公式,有效快速地解方程.

(1)∵d=a3-a2=4-2=2,∴a10=a2+8d=2+8×2=18.

? 3×2 ?S3=3a1+ d=3, 2 ?a1=-1, ? (2)∵? 解得? ∴a9=a1+8d=15. 6×5 ?d=2, ? S6=6a1+ d=24, ? 2 ?
Sn 7n+45 S2n-1 14n+38 7n+19 (3)∵ = ,∴ -= = , Tn n-3 T2n-1 2n-4 n-2 an 7n+19 33 又 = = = =7+ , T2n-1 b2n-1+b1 bn n-2 n-2 只有 n-2=1,3,11,33 时, 才为正整数,∴使命题成立的 n 有 4 个. bn an S2n-1 a2n-1+a1

1. 等差数列的通项公式及前 n 项和公式, 共涉及五个量 a1, an , d, n, Sn, 知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.但有时单一的用方程的 思想解题,所需的运算量大且运算繁琐,所以,解题时应具体分析题意,寻求较简捷 的方法,从而起到事半功倍的效果. 2. 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数 列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 3. 已知三个或四个数组成等差数列的问题, 要善于设元, 若三个数成等差数列且和为 定值时, 可设为 a-d, a, a+d; 若四个数成等差数列且和为定值时, 可设为 a-3d, a-d,a+d,a+3d.

(2013·全国高考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2 2,且 S1, S2,S4 成等比数列,求{an}的通项公式.

设{an}的公差为 d.
2 由 S 3 =a 2 2得 3a2=a2,故 a2=0 或 a2=3.(4 分)

由 S1,S2,S4 成等比数列得 S2 2=S1S4. 又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d. 故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).(7 分) 若 a2=0,则 d2=-2d2,∴d=0,此时 Sn=0,不合题意; 若 a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得 d=0 或 d=2. 因此{an}的通项公式为 an=3 或 an=2n-1.(10 分)

题型2 · 等差数列的性质及应用
(1)在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=________; (2)在等差数列{an}中,a6=a3+a8,则 S9=________; 4 (3)已知等差数列{an}共有(2n+1)项, = ,则该等差数列的项数为________. S偶 3 S奇

(1)由若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 成立 来求解即可.(2)由(1)同样的性质可知,a5+a6=a3+a8 成立,可得 a5,由 S9 =9a5 可得 S9 的值.(3)由等差数列前 n 项和 Sn 与数列的中间项(或中间两项) 的关系找到解题的突破口.

(1)a2+a8=a4+a6=a3+a7=37, 故 a2+a4+a6+a8=2×3=74. (2)a3+a8=a5+a6=a6,∴a5=0,∴S9=9a5=0. S奇 (n+1)(a1+a2n+1) (n+1)an+1 n+1 4 (3) = = = = ,∴n=3, S偶 n(a2+a2n) nan+1 n 3 ∴数列共有 7 项.
利用等差数列的性质解题, 一定要从等差数列的本质特征入手去思考、 分析题意,才能做到事半功倍.

“巧用性质,减少运算量”是等差数列计算中非常重要的方法.在 等差数列前 n 项和中还常用到以下性质: (1)项数为偶数 2n 的等差数列{an}: S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1),S 偶-S 奇=nd, (2)项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}: S奇 n+1 S2n+1=(2n+1)an+1, = . S偶 n (其中 S 奇,S 偶分别表示数列{an}中所有奇数项、偶数项的和) S奇 = . S偶 an+1 an

(2012·山东高考)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*, 将数列{an}中落入区间(9m, 92m)内的项的个数记为 bm, 求数列{bm}的前 m 项和 Sm.

(1)由 a3+a4+a5=84 可得 3a4=84,a4=28,(2 分) 而 a9=73,则 5d=a9-a4=45,d=9,a1=a4-3d=28-27=1,(4 分) 于是 an=1+(n-1)×9=9n-8,即 an=9n-8.(6 分) (2)对任意 m∈N*,9m<9n-8<92m,则 9m+8<9n<92m+8, 8 8 即 9m-1+ <n<92m-1+ ,而 n∈N*,由题意可知 bm=92m-1-9m-1,(9 分) 9 9 9-92m+1 1-9m 于是 Sm=b1+b2+…+bm=91+93+…+92m-1-(90+91+…+9m-1)= - 1 -9 2 1-9 = 92m+1-9 80 - 9m-1 8 92m+1-10·9m+1 92m+1+1 9m 92m+1+1 9m = = - , 即 Sm = - .(12 分) 80 80 8 80 8

题型3 · 等差数列的判定及证明
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a1= , an=-2SnSn-1(n≥2). 2
? ?1? ? (1)求证:数列? ?是等差数列; ? ?Sn? ?

1

(2)求 Sn 和 an.
因为已知关系式中包含 an, Sn , Sn-1, 所以应根据 an 与 Sn 的关系式: an=Sn-Sn-1(n≥2)将已知条件转化为关于 Sn 与 Sn-1 之间的关系,从而判断
? ?1? ? ? ?是否为等差数列,并求出 Sn 的表达式,然后求出数列{an}的通项公式. ? ?Sn? ?

(1)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,



∴Sn(1+2Sn-1)=Sn-1.由上式,若 Sn-1≠0,则 Sn≠0.(2 分) ∵S1=a1≠0,由递推关系知 Sn≠0(n∈N*), 由①式得 - =2(n≥2).(4 分) Sn Sn-1
? 1 1 ?1? ? ∴? ?是等差数列,其中首项为 = =2,公差为 2.(6 分) ? S1 a1 ?Sn? ?

1

1

(2) = +2(n-1)= +2(n-1),∴Sn= .(9 分) Sn S 1 a1 2n 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=- 1 1 2n(n-1) ,

1

1

1

1

当 n=1 时,a1=S1= 不适合上式,(11 分) 2

?1 ? ,n=1, ?2 ∴an=? (12 分) 1 ? - ,n≥2. ? ? 2n(n-1)
在第(2)问求解 an 的通项公式时, 要注意 n=1 与 n≥2 表达式之 间的关系.

判断或证明一个数列是否为等差数列常用的方法: (1)定义法,即数列{an}中若有 an+1-an=d(常数)(n∈N*),则数列{an}为等 差数列. (2)等差中项法,即数列{an}中若有 2an=an+1+an-1(n≥2),则{an}为等差 数列. (3)若数列{an}的通项公式为 an=kn+b(k,b 为常数),则该数列{an}为等差 数列. (4)若数列{an}的前 n 项和公式为 Sn=an2+bn(a,b 为常数),则数列{an} 为等差数列.

已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 5 an-1 bn= 1 an-1 (n∈N*).

3

1

(1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.

(1)∵an=2-

1 an-1

(n≥2,n∈N*),bn= 1 1

1 an-1 1

,(2 分) 1 an-1 1

∴当 n≥2 时,bn-bn-1=

- = - = - =1.(4 分) ? an-1 an-1-1 ? a - 1 a - 1 a - 1 1 n-1 n-1 n-1 ? ? 2 - - 1 ? an-1? ? ? 5

又 b1= =- ,∴数列{bn}是以- 为首项,1 为公差的等差数列.(6 分) a 1 -1 2 2 (2)由(1)知,bn=n- ,则 an=1+ =1+ ,(8 分) 2 bn 2n-7
? ? ? 7? ? ? ?7 ? 设函数 f(x)=1+ ,易知 f(x)在区间?-∞, ?和? ,+∞?内为减函数,(10 分) 2? ?2 2x-7 ? ?

1

5

7

1

2

2

∴当 n=3 时,an 取得最小值-1;当 n=4 时,an 取得最大值 3.(12 分)

创新题型接触

—— 如何解决数列中的新背景问题

若数列 An:a1,a2,…,an(n≥2)满足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1), 则称 An 为 E 数列.记 S(An)=a1+a2+…+an. (1)写出一个 E 数列 A5,满足 a1=a3=0; (2)若 a1=12,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (3)在 a1=4 的 E 数列 An 中,求使得 S(An)=0 成立的 n 的最小值.

(1)根据递推公式猜想;(2)从必要性与充分性两方面证明,注意递推 关系的利用;(3)先归纳前 8 项,再猜想,最后证明.

(1)0,1,0,1,0 是一个满足条件的 E 数列 A5. (答案不唯一,如 0,-1,0,1,0;0,±1,0,1,2;0,±1,0,-1, -2;0,±1,0,-1,0 都是满足条件的 E 数列 A5)(2 分)

(2)必要性:∵E 数列 An 是递增数列,∴ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999). ∴An 是首项为 12,公差为 1 的等差数列.∴a2 000=12+(2 000-1)×1=2 011.(5 分) 充分性:∵a2 000-a1 999≤1, a1 999-a1 998≤1, … a 2 -a 1 ≤ 1 , ∴a2 000-a1≤1 999,即 a2 000≤a1+1 999. 又 a1=12,a2 000=2 011.∴a2 000=a1+1 999.∴ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1 999), 即 E 数列 An 是递增数列.(9 分) 综上,结论得证.

(3)对首项为 4 的 E 数列 An,由于 a2≥a1-1=3, a3≥a2-1≥2, … a8≥a7-1≥-3, … ∴a1+a2+…+ak>0(k=2,3,…,8).∴对任意的首项为 4 的 E 数列 An, 若 S(An)=0,则必有 n≥9. 又 a1=4 的一个 E 数列 A9:4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4 满 足 S(A9)=0,∴n 的最小值是 9.(12 分)

此类问题的求解关键有三点: 一是对新定义的透彻理解; 二是对数列 相关知识的牢固把握; 三是新旧知识之间通过何种知识桥梁进行灵活迁移(如 本题中的桥梁为绝对值不等式).

今后类似的新背景问题将会成为高考中的常见内容,数列方面,将以 等差、等比数列为基础,定义新的数列形式,但万变不离其宗,灵活调用相 关知识,将新问题转变为旧问题即可.

备课优选
题型4 ·等差数列前n项和的最值

等差数列{an}的首项 a1>0,设其前 n 项和为 Sn,且 S5=S12,则当 n 为 何值时,Sn 有最大值?

可利用 Sn=na1+

n(n-1) 2

d 及二次函数的性质求解, 也可以利用首

项 a1>0,公差 d<0,找最后一个正项求解,还可以利用 Sn=An2+Bn 及二 次函数图像的对称性求解.

解法一:设等差数列{an}的公差为 d,由 S5=S12 得 5a1+10d=12a1+66d,d=- a1<0.(4 分) 8 ∴Sn=na1+ n(n-1) 2
? ? ? 1 17 n(n-1) ? 1 1 ? ? ? ?2 289 2 d=na1+ ·?- a1?=- a1(n -17n)=- a1?n- ? + a1,(8 分) 8 2 2 16 16 64 ? ? ? ?

1

∵a1>0,n∈N*,∴当 n=8 或 n=9 时,Sn 有最大值.(12 分) 解法二:设等差数列{an}的公差为 d,同解法一得 d=- a1<0.(4 分) 设此数列前 n 项和最大, 8
? 1? ? ?an=a1+(n-1)·?- ?a1≥0, ? 8? ?an≥0, ? ? ? 则? 即? (8 分) 解得 8≤n≤9,(10 分) ? ? ?an+1≤0, ? ? 1? an+1=a1+n·?- ?a1≤0, ? ? ? 8?

1

又 n∈N*,∴当 n=8 或 n=9 时,Sn 有最大值.(12 分)

解法三:设等差数列{an}的公差为 d,同解法一得 d=- a1<0.(3 分) 8 由于 Sn=na1+ n(n-1) 2
? d? d ? ? d= n2+?a1- ?n,(6 分) 2? 2 ?

1

? d? d ? ? 设 f(x)= x2+?a1- ?x,则函数 y=f(x)的图像为开口向下的抛物线,如图所示. 2? 2 ?

由 S5=S12 知抛物线的对称轴为直线 x=

5+12 2



17 2

,(9 分)

由图可知,当 1≤n≤8 时,Sn 单调递增;当 n≥9 时,Sn 单调递减.又 n∈N*,对称轴为直 线 x= 17 ,∴当 n=8 或 n=9 时,Sn 最大. (12 分)

求等差数列前 n 项和的最值的常用方法有: (1)运用配方法将 Sn 的表达式转化为二次函数,借助二次函数的单调性及 数形结合的思想,从而使问题得到解决.需要注意“自变量 n 为正整数” 这一隐蔽条件,若对称轴取不到,需考虑最接近对称轴的自变量 n(n 为正 整数)的值; 若对称轴在两个正整数的中间, 此时有两个符合题意的 n 值.

(2)通项公式法:求使 an≥0(an≤0)成立时最大的 n 值即可. 一般地,等差数列{an}中,若 a1>0,Sp=Sq 且 p≠q,则 ①若 p+q 为偶数,则当 n= p+q 2 时,Sn 最大; p+q+1 2

②若 p+q 为奇数, 则当 n=

p+q-1 2

或 n=

时, Sn 最大.

题型5 ·等差数列的综合性问题
设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=10,an+1=9Sn+10. (1)求证:{lg an}是等差数列;
? ? 3 ? ? ?的前 n 项和,求 Tn; (2)设 Tn 是数列? ? ?(lg an)(lg an+1)? ?

(3)求使 Tn> (m2-5m)对所有的 n∈N*恒成立的整数 m 的取值集合. 4
(1)按照定义进行证明.(2)使用裂项法求和.(3)利用求出的 Tn 建立不等式,将恒成立问题转化为最值问题.

1

(1)依题意,a2=9a1+10=100,故 =10. a1 当 n≥2 时,an+1=9Sn+10,an=9Sn-1+10, 两式相减得 an+1-an=9an,即 an+1=10an, an+1 an =10,(3 分)

a2

故{an}为等比数列,且 an=a1qn-1=10n(n∈N*), ∴lg an=n. ∴lg an+1-lg an=(n+1)-n=1,即{lg an}是等差数列.(6 分)
? 1 ? 1 1 ? ? + +…+ (2)由(1)知,Tn=3? ? 1 × 2 2 × 3 n ( n + 1 ) ? ? ? ? 1 1 1 1 1 3 ? ? =3?1- + - +…+ - ?=3-n+1.(9 分) 2 2 3 n n + 1 ? ?

(3)∵Tn=3-

,∴当 n=1 时,Tn 取最小值 . n+1 2

3

3

3 1 依题意有 > (m2-5m),解得-1<m<6, 2 4 故所求整数 m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}.(12 分)

在求解等差数列综合问题时,除注意函数思想、方程思想、消元 及整体代换的思想外,还要特别注意解题中要有目标意识:“需要什么, 求什么”.注重数列与函数、不等式等知识的综合应用.

精选习题
(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列的前 11 项 和 S11 等于( A. 58 ) C. 143 D. 176

B. 88

S11 =

11×(a1+a11) 2

, ∵ a1 + a11 = a4 + a8 = 16 , ∴ S11 =

11×(a4+a8) 2

11×16 = =88.故选 B. 2

(2012·重庆高考)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则数列{an}的前 5 项 和 S5 等于( A. 7 B. ) 15 C. 20 D. 25

5×(a2+a4) 5×6 ∵{an}是等差数列,∴S5= = =15,故选 B. 2 2

已知等差数列的公差 d<0,前 n 项和记为 Sn,满足 S20>0,S21<0, 则当 n= 时,Sn 达到最大值.

∵S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)>0, S21=21a11<0,∴a10>0,a11<0, ∴当 n=10 时,Sn 最大.

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2+pn,a7=11.若 ak+ak+1>12, 则正整数 k 的最小值为 .

∵a7=S7-S6 =2×72+7p -2×62-6p=26 +p =11 ,∴ p=-15,Sn =2n2-15n,an=Sn-Sn-1=4n-17(n≥2),当 n=1 时也满足.于是由 ak 21 +ak+1=8k-30>12,得 k> >5.又 k∈N*,∴k≥6,即 kmin=6. 4

在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3 可得 1+2d=-3.解得 d=-2.(2 分) 从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(4 分)

(2)由(1)可知 an=3-2n. ∴Sn= n(1+3-2n) 2 =2n-n2.(6 分)

进而由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35. 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5.(8 分) 又 k∈N*,故 k=7 为所求.(10 分)


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