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江苏省扬州中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版).doc


2016-2017 学年江苏省扬州中学高一(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题(5*14=70) 1. (2016?南通模拟)已知集合 A={x|﹣1≤x<2},集合 B={x|x<1},则 A∩B= <1} . 【考点】交集及其运算. 【专题】集合思想;定义法;集合. 【分析】由集合 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={x|﹣1≤x<2},集合 B={x|x<1}, ∴A∩B={x|﹣1≤x<1}, 故答案为:{x|﹣1≤x<1} 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. {x|﹣1≤x

2. (2015?广州一模)函数 f(x)=ln(x﹣2)的定义域为 (2,+∞) . 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据对数函数 f(x)的解析式,真数大于 0,列出不等式,求出解集即可. 【解答】解:∵函数 f(x)=ln(x﹣2) , ∴x﹣2>0; 解得 x>2, ∴该函数的定义域为(2,+∞) . 故答案为: (2,+∞) . 【点评】本题考查了对数函数定义域的应用问题,是基础题目.

a 3. (2014?陕西)已知 4 =2,lgx=a,则 x=



【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】化指数式为对数式求得 a,代入 lgx=a 后由对数的运算性质求得 x 的值.

【解答】解:由 4 =2,得 再由 lgx=a= , 得 x= . .

a



故答案为:

【点评】本题考查了指数式与对数式的互化,考查了对数的运算性质,是基础题.

4. (2016 秋?广陵区校级期中)函数 f(x)=x2﹣4x+5,x∈[1,5],则该函数值域为 10] . 【考点】二次函数在闭区间上的最值. 【专题】函数的性质及应用.

[1,

【分析】根据函数 f(x)的解析式,利用二次函数的性质求得函数的最值,从而求得函数 的值域. 【解答】解:由于函数 f(x)=x2﹣4x+5=(x﹣2)2+1,x∈[1,5], 则当 x=2 时,函数取得最小值为 1,当 x=5 时,函数取得最大值为 10, 故该函数值域为[1,10], 故答案为[1,10]. 【点评】 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值, 二次函数的性质的应用, 属于中档题.

5. (2016 秋?广陵区校级期中)已知函数 f(x)=ax3+bx+1,且 f(﹣2)=3,则 f(2)= ﹣ 1 . 【考点】函数奇偶性的性质;函数的值. 【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】利用函数的奇偶性的性质,化简求解即可. 【解答】解:函数 f(x)=ax3+bx+1,且 f(﹣2)=3, 则 f(2)=8a+2b+1=﹣(﹣8a﹣2b+1)+2 =﹣3+2=﹣1 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用,考查计算能力.

6. (2015 秋?安吉县期末)计算 【考点】对数的运算性质.

﹣lg2﹣lg5= 3 .

【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】利用指数的运算法则以及导数的运算法则化简求解即可. 【解答】解: 故答案为:3. 【点评】本题考查导数的运算法则的应用,考查计算能力. =4﹣2=3.

7. (2016 秋?广陵区校级期中)集合 A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素,则 a 的值是 0 或 1 . 【考点】集合的表示法. 【专题】计算题;集合思想;集合. 【分析】根据集合 A={x|ax2+2x﹣1=0}只有一个元素,可得方程 ax2﹣2x﹣1=0 只有一个根, 然后分 a=0 和 a≠0 两种情况讨论,求出 a 的值即可 【解答】解:根据集合 A={x|ax2+2x﹣1=0}只有一个元素, 可得方程 ax2+2x﹣1=0 只有一个根, ①a=0,x= ,满足题意; ②a≠0 时,则应满足△=0, 即(﹣2)2﹣4a×1=4﹣4a=0 解得 a=1. 所以 a=0 或 a=1. 故答案为:0 或 1. 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,以及一元二次方程的根的情况的判断,属于基 础题

2 8. (2016 秋?广陵区校级期中)若函数 f(x)=﹣x +2ax 与函数 g(x)= 在区间[1,2]上都

是减函数,则实数 a 的取值范围是 (0,1] . 【考点】函数单调性的性质.

【专题】函数的性质及应用. 【分析】由函数 f(x)=﹣x2+2ax 在区间[1,2]上是减函数,可得[1,2]为其减区间的子集, 进而得 a 的限制条件,由反比例函数的性质可求 a 的范围,取其交集即可求出.
2 【解答】解:因为函数 f(x)=﹣x +2ax 在[1,2]上是减函数,所以﹣

=a≤1①,

又函数 g(x)= 在区间[1,2]上是减函数,所以 a>0②, 综①②,得 0<a≤1,即实数 a 的取值范围是(0,1]. 故答案为: (0,1]. 【点评】 本题考查函数单调性的性质, 函数在某区间上单调, 该区间未必为函数的单调区间, 而为单调区间的子集.

9. (2016 秋?广陵区校级期中)函数 f(x)=2loga(x﹣2)+3(a>0,a≠1)恒过定点的坐 标为 (3,3) . 【考点】对数函数的图象与性质. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】令真数等于 1,求出相应的坐标,可得答案. 【解答】解:令 x﹣2=1,则 x=3, f(3)=2loga(3﹣2)+3=3, 故函数 f(x)=2loga(x﹣2)+3(a>0,a≠1)恒过定点的坐标为(3,3) , 故答案为: (3,3) . 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,熟练掌握对数函数的图象和性质,是 解答的关键.

10. (2016 秋?广陵区校级期中)已知函数 f(x﹣1)=x2﹣2x,则 f(x)= 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数思想;换元法;函数的性质及应用. 【分析】利用换元法求解即可. 【解答】解:函数 f(x﹣1)=x2﹣2x, 令 x﹣1=t,则 x=t+1 那么 f(x﹣1)=x2﹣2x 转化为 f(t)=(t+1)2﹣2(t+1)=t2﹣1.

x2﹣1 .

所以得 f(x)=x2﹣1 故答案为:x2﹣1. 【点评】本题考查了解析式的求法,利用了换元法.属于基础题.

11. (2015 秋?白山校级期中)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数,且 f(x﹣1)>f (3﹣2x) ,求 x 的取值范围 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用函数 f(x)的奇偶性及在[0,+∞)上的单调性, 可把 f(x﹣1)>f(3﹣2x)转化为关于 x﹣1 与 3﹣2x 的不等式,从而可以求解. 【解答】解:因为偶函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数, 所以 f(x﹣1)>f(3﹣2x)?f(|x﹣1|)>f(|3﹣2x|)?|x﹣1|>|3﹣2x|, 两边平方并化简得 3x2﹣10x+8<0, 解得 故答案为: ( ,所以 x 的取值范围为 ( ) . ) . .

【点评】本题为函数奇偶性及单调性的综合考查.解决本题的关键是利用性质去掉符号“f”, 转化为关于 x﹣1 与 3﹣2x 的不等式求解.

12. (2016 秋?广陵区校级期中)f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且在 (﹣∞, 0]上是增函数,设 a=f(log47) ,b=f( >a>b . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】对于偶函数,有 f(x)=f(|x|) ,在[0,+∞)上是减函数,所以,只需比较自变量 的绝对值的大小即可,即比较 3 个正数|log23|、|log47|、|0.20.6|的大小,这 3 个正数中越大的, 对应的函数值越小. 【解答】解:f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且在 (﹣∞,0]上是增函数, 故 f(x)在[0,+∞)上是减函数,
0.6 ) ,c=f(0.2 ) ,则 a,b,c 大小关系是 c

∵a=f(log47) ,b=f( ∵log47=log2 >1,∵

) ,c=f(0.2 ) , =﹣log23=﹣log49<﹣1,0<0.20.6<1, ) ,即 c>a>b,

0.6

3 0.6 0.6 ∴|log2 |>|log47|>|0.2 |>0,∴f(0.2 )>f( log47)>f(

故答案为:c>a>b. 【点评】本题考查偶函数的性质,函数单调性的应用,属于中档题.

13. (2015 春?淮安期末)已知函数 y=lg( ﹣1)的定义域为 A,若对任意 x∈A 都有不等 式
2 ﹣m x﹣2mx>﹣2 恒成立,则正实数 m 的取值范围是 (0,





【考点】函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】运用对数的真数大于 0,可得 A=(0,1) ,对已知不等式两边除以 x,运用参数分 离和乘 1 法,结合基本不等式可得不等式右边 到 m 的范围. 【解答】解:由函数 y=lg( ﹣1)可得, ﹣1>0,解得 0<x<1, 即有 A=(0,1) , 对任意 x∈A 都有不等式
2 ﹣m x﹣2mx>﹣2 恒成立,即有

+ 的最小值,再解 m 的不等式即可得

2 2 ﹣m ﹣2m>﹣ ,整理可得 m +2m<

+ 在(0,1)恒成立,



+ =(

+ ) (1﹣x+x)= +2+

+



+2

=

. ,由于 m>0, ,

2 即有 m +2m<

解得 0<m<

故答案为: (0,

) .

【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和基本不等式,考查运算求 解能力,属于中档题.

14. (2016?湖南校级模拟)已知函数

,关于 x 的方程 f (x)+a|f

2

(x)|+b=0(a,b∈R)恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是 (﹣4,﹣2) . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】题中原方程 f2(x)+a|f(x)|+b=0 恰有 6 个不同实数解,故先根据题意作出 f(x) 的简图,由图可知,只有当 f(x)=2 时,它有二个根,且当 f(x)=k(0<k<2) ,关于 x 的方程 f2(x)+a|f(x)|+b=0(a,b∈R)恰有 6 个不同实数解,据此即可求得实数 a 的取 值范围. 【解答】解:先根据题意作出 f(x)的简图: 得 f(x)>0. ∵题中原方程 f2(x)+a|f(x)|+b=0(a,b∈R)恰有 6 个不同实数解,即方程 f2(x)+af (x)+b=0(a,b∈R)恰有 6 个不同实数解, ∴故由图可知,只有当 f(x)=2 时,它有二个根.故关于 x 的方程 f2(x)+af(x)+b=0 中, 有:4+2a+b=0,b=﹣4﹣2a, 且当 f(x)=k,0<k<2 时,关于 x 的方程 f2(x)+af(x)+b=0 有 4 个不同实数解, ∴k2+ak﹣4﹣2a=0, a=﹣2﹣k,∵0<k<2, ∴a∈(﹣4,﹣2) . 故答案为: (﹣4,﹣2) .

【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握 数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷.

二、解答题: (14+14+14+16+16+16) 15. (14 分) (2016 秋?广陵区校级期中)已知全集为 R,集合 A={x|y=lgx+
x﹣a <2 ≤8}.

},B={x|

(I)当 a=0 时,求(?RA)∩B; (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;集合. 【分析】 (1)利用函数有意义求得 A,解指数不等式求得 B,再根据补集的定义求得?RA, 再利用两个集合的交集的定义求得(?RA)∩B; (2)若 A∪B=B,A? B,即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)A={x|y=lgx+
x

}=(0,2],∴?RA=(﹣∞,0]∪(2,+∞)

当 a=0 时, <2 ≤8,∴﹣2<x≤3,∴B=(﹣2,3], 则(?RA)∩B=(﹣2,0]∪(2,3];
x﹣a (2)B={x| <2 ≤8}=(a﹣2,a+3].

∵A∪B=B,∴A? B, ∴ ,

∴﹣1≤a≤2.

【点评】本题主要考查不等式的解法,集合的补集、两个集合的交集的定义和求法,属于基 础题.

16. (14 分) (2013 秋?滑县期末)已知二次函数 y=f(x)满足 f(﹣2)=f(4)=﹣16,且 f (x)最大值为 2. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)在[t,t+1](t>0)上的最大值. 【考点】二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)由条件可得二次函数的图象的对称轴为 x=1,可设函数 f(x)=a(x﹣1)2+2, a<0.根据 f(﹣2)=﹣16,求得 a 的值,可得 f(x)的解析式. (2)分当 t≥1 时和当 0<t<1 时两种情况,分别利用函数 f(x)的单调性,求得函数的最 大值. 【解答】解: (1)∵已知二次函数 y=f(x)满足 f(﹣2)=f(4)=﹣16,且 f(x)最大值 为 2, 故函数的图象的对称轴为 x=1, 可设函数 f(x)=a(x﹣1)2+2,a<0. 根据 f(﹣2)=9a+2=﹣16,求得 a=﹣2, 故 f(x)=﹣2(x﹣1)2+2=﹣2x2+4x. (2)当 t≥1 时,函数 f(x)在[t,t+1]上是减函数, 故最大值为 f(t)=﹣2t2+4t, 当 0<t<1 时,函数 f(x)在[t,1]上是增函数,在[1,t+1]上是减函数, 故函数的最大值为 f(1)=2. 综上,fmax(x)= .

【点评】本题主要考查二次函数的性质,求二次函数在闭区间上的最值,体现了分类讨论的 数学思想,属于中档题.

17. (14 分) (2016 秋?广陵区校级期中)已知函数 f(x)=loga(ax2﹣x+1) ,其中 a>0 且 a ≠1.

(1)当 a= 时,求函数 f(x)的值域; (2)当 f(x)在区间 上为增函数时,求实数 a 的取值范围.

【考点】复合函数的单调性;函数的值域. 【专题】综合题;分类讨论;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)把 代入函数解析式,可得定义域为 R,利用配方法求出真数的范围,结

合复合函数单调性求得函数 f(x)的值域;
2 (2)对 a>1 和 0<a<1 分类讨论,由 ax ﹣x+1 在

上得单调性及 ax ﹣x+1>0 对

2

恒成立列不等式组求解 a 的取值范围,最后取并集得答案. 【解答】解: (1)当 故定义域为 R, 又∵ ,且函数 在(0,+∞)单调递减, 时, 恒成立,

∴ (2)依题意可知,

,即函数 f(x)的值域为(﹣∞,1];

i)当 a>1 时,由复合函数的单调性可知,必须 ax2﹣x+1 在 >0 对 恒成立.

2 上递增,且 ax ﹣x+1

故有

,解得:a≥2;

2 ii) 当 0<a<1 时, 同理必须 ax ﹣x+1 在

上递减, 且 ax ﹣x+1>0 对

2

恒成立.

故有

,解得:



综上,实数 a 的取值范围为



【点评】本题考查复合函数的单调性,考查了复合函数值域的求法,体现了分类讨论的数学 思想方法及数学转化思想方法,属中档题.

18. (16 分) (2016 秋?广陵区校级期中)设 f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,且 f(x+2) =﹣f(x) ,当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)求﹣1≤x≤3 时,f(x)的解析式; (3)当﹣4≤x≤4 时,求 f(x)=m(m<0)的所有实根之和. 【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】数形结合;转化法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据函数奇偶性的性质即可求 f(π)的值; (2)结合函数奇偶性和周期性的性质即可求﹣1≤x≤3 时,f(x)的解析式; (3)当﹣4≤x≤4 时,作出函数 f(x)的图象,利用数形结合即可求 f(x)=m(m<0)的 所有实根之和. 【解答】解: (1)∵f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) , 即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数, 则 f(π)=f(π﹣4)=﹣f(4﹣π)=﹣(4﹣π)=π﹣4; (2)若﹣1≤x≤0,则 0≤﹣x≤1, 则 f(﹣x)=﹣x, ∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣x=﹣f(x) , 即 f(x)=x,﹣1≤x≤0, 即当﹣1≤x≤1 时,f(x)=x, 若 1≤x≤3,则﹣1≤x﹣2≤1, ∵f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x)=﹣f(x﹣2)=﹣(x﹣2)=﹣x+2, 即当﹣1≤x≤3 时,f(x)的解析式为 f(x)= (3)作出函数 f(x)在﹣4≤x≤4 时的图象如图, 则函数的最小值为﹣1, 若 m<﹣1,则方程 f(x)=m(m<0)无解, 若 m=﹣1,则函数在﹣4≤x≤4 上的零点为 x=﹣1,x=3,则﹣1+3=2, ;

若﹣1<m<0,则函数在﹣4≤x≤4 上共有 4 个零点,则它们分别关于 x=﹣1 和 x=3 对称, 设分别为 a,b,c,d, 则 a+b=﹣2,b+d=6, 即 a+b+c+d=﹣2+6=4.

【点评】本题主要考查函数解析式的求解,函数奇偶性的性质,以及函数与方程的应用,利 用数形结合是解决本题的关键.

19. (16 分) (2016 秋?广陵区校级期中)设 a 为实数,函数 f(x)=x|x﹣a|. (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)当 0≤x≤1 时,求 f(x)的最大值. 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)讨论 a=0 时与 a≠0 时的奇偶性,然后定义定义进行证明即可; (2)讨论当 a≤0 和 a>0 时,求出函数 f(x)=x|x﹣a|的表达式,即可求出在区间[0,1]上 的最大值. 【解答】解: (1)由题意可知函数 f(x)的定义域为 R. 当 a=0 时 f(x)=x|x﹣a|=x|x|,为奇函数. 当 a≠0 时,f(x)=x|x﹣a|, f(1)=|1﹣a|,f(﹣1)=﹣|1+a|, f(﹣x)≠f(x)且 f(﹣x)≠﹣f(x) , ∴此时函数 f(x)为非奇非偶函数. (2)若 a≤0,则函数 f(x)=x|x﹣a|在 0≤x≤1 上为增函数, ∴函数 f(x)的最大值为 f(1)=|1﹣a|=1﹣a,

若 a>0,由题意可得 f(x)=



由于 a>0 且 0≤x≤1,结合函数 f(x)的图象可知, 由 ,



,即 a≥2 时,f(x)在[0,1]上单调递增,

∴f(x)的最大值为 f(1)=a﹣1; 当 即 , 时,f(x)在[0, ]上递增,在[ ,a]上递减,

∴f(x)的最大值为 f( )=





,即

时,

f(x)在[0, ]上递增,在[ ,a]上递减,在[a,1]上递增, ∴f(x)的最大值为 f(1)=1﹣a. 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,以及分段函数的最值的求法,考查学生的运算能 力.

20. (16 分) (2014 秋?扬中市校级期末)设函数 f(x)=kax﹣a x(a>0 且 a≠1)是奇函数.


(1)求常数 k 的值; (2)若 a>1,试判断函数 f(x)的单调性,并加以证明;
2x 2x (3)若已知 f(1)= ,且函数 g(x)=a +a﹣ ﹣2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为

﹣2,求实数 m 的值. 【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据函数的奇偶性的性质,建立方程即可求常数 k 的值;

(2)当 a>1 时,f(x)在 R 上递增.运用单调性的定义证明,注意作差、变形和定符号、 下结论几个步骤; (3)根据 f(1)= ,求出 a,然后利用函数的最小值建立方程求解 m. 【解答】解: (1)∵f(x)=kax﹣a x(a>0 且 a≠1)是奇函数.


∴f(0)=0,即 k﹣1=0,解得 k=1. (2)∵f(x)=ax﹣a x(a>0 且 a≠1) ,


当 a>1 时,f(x)在 R 上递增. 理由如下:设 m<n,则 f(m)﹣f(n)=am﹣a =(am﹣an)+(a﹣n﹣a﹣m)=(am﹣an) (1+ 由于 m<n,则 0<am<an,即 am﹣an<0, f(m)﹣f(n)<0,即 f(m)<f(n) , 则当 a>1 时,f(x)在 R 上递增. (3)∵f(1)= ,∴a﹣ = , 即 3a2﹣8a﹣3=0, 解得 a=3 或 a=﹣ (舍去) . ∴g(x)=32x+3 令 t=3x﹣3 x,
﹣ ﹣2x ﹣m

﹣(an﹣a n)


) ,

﹣2m(3x﹣3 x)=(3x﹣3 x)2﹣2m(3x﹣3 x)+2,
﹣ ﹣ ﹣

∵x≥1, ∴t≥f(1)= , ∴(3x﹣3 x)2﹣2m(3x﹣3 x)+2=(t﹣m)2+2﹣m2,
﹣ ﹣

当m 当m 解得 m= ∴m=

2 时,2﹣m =﹣2,解得 m=2,不成立舍去.

2 时, ( ) ﹣2m× +2=﹣2,

,满足条件, .

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,以及指数函数的性质和运算,考查学生的运算能 力,综合性较强.


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