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2016届高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲 集合及其运算


高考总复习

数学文科

第一章

集合与常用逻辑用语

第 1 讲 集合及其运算
最新考纲 1.了解集合的含义、 元素与集合的属于关系; 2.理解集合之间包含与相等的 含义,能识别给定集合的子集;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的 并集与交集;4.理解在给定集合中一个子

集的补集的含义,会求给定子集的补集;5.能使用 韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

知 识 梳 理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 表示 关系 相等 集合间 的基本 关系 子集 真子集 空集 3.集合的基本运算 集合的并集 图形 语言 符号 语言 集合的交集 集合的补集 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 符号语言

A=B A? B A?B

A 中任意一个元素均为 B 中的元素 A 中任意一个元素均为 B 中的元素,且 B 中至少有
一个元素不是 A 中的元素 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集

A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
4.集合的运算性质 并集的性质:

A∩B={x|x∈A,且 x∈B}

?UA={x|x∈U,且 x?A}

1

A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B? A.
交集的性质:

A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A? B.
补集的性质:

A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A.
诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
2 2

精彩 PPT 展示
2

(1)若 A={x|y=x },B={(x,y)|y=x },C={y|y=x },则 A=B=C.(×) (2)若{x 1}={0,1},则 x=0,1.(×) 1 (3)已知集合 A={x|mx=1},B={1,2},且 A? B,则实数 m=1 或 m= .(×) 2 (4)含有 n 个元素的集合的子集个数是 2 ,真子集个数是 2 -1,非空真子集的个数是 2 -2.(√) 2.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知集合 M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则 M∩N =( ) A.(-2,1) C.(1,3) B.(-1,1) D.(-2,3)
n n n
2,

解析 借助数轴求解. 由图知:M∩N=(-1,1). 答案 B 3. (2014·辽宁卷)已知全集 U=R, A={x|x≤0}, B={x|x≥1}, 则集合?U(A∪B)=( A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} 解析 借助数轴求得:A∪B={x|x≤0 或 x≥1}, ∴?U(A∪B)={x|0<x<1}. 答案 D 4.已知集合 A={(x,y)|x,y∈R,且 x +y =1},B={(x,y)|x,y∈R,且 y=x}, 则 A∩B 的元素个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3
2 2

)

B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1}

解析 集合 A 表示的是圆心在原点的单位圆,集合 B 表示的是直线 y=x,据此画出图 象,可得图象有两个交点,即 A∩B 的元素个数为 2. 答案 C

2

5. (人教 A 必修 1P12A10 改编)已知集合 A={x|3≤x<7}, B={x|2<x<10}, 则(?RA)∩B =________. 解析 ∵?RA={x|x<3 或 x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}. 答案 {x|2<x<3 或 7≤x<10}

考点一 集合的含义 【例 1】(1)已知集合 A={0,1,2}, 则集合 B={x-y|x∈A, y∈A}中元素的个数是( A.1 C.5 (2)若集合 A={x∈R|ax +ax+1=0}中只有一个元素,则 a=( A.4 C.0 解析 (1)∵x-y={-2,-1,0,1,2},∴其元素个数为 5. (2)由 ax +ax+1=0 只有一个实数解,可得当 a=0 时,方程无实数解; 当 a≠0 时,则 Δ =a -4a=0,解得 a=4(a=0 不合题意舍去). 答案 (1)C (2)A 规律方法 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的 限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合.(2)集合中元素的三个特性 中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集 合中的元素是否满足互异性.
2 2 016 2 016 【训练 1】 已知 a∈R,b∈R,若?a, ,1?={a ,a+b,0},则 a +b =________. 2 2 2

)

B.3 D.9 ) B.2 D.0 或 4

? ?

b a

? ?

解析 由已知得 =0 及 a≠0,所以 b=0,于是 a =1,即 a=1 或 a=-1,又根据集合 中元素的互异性可知 a=1 应舍去,因此 a=-1,故 a 答案 1 考点二 集合间的基本关系 【例 2】 (1)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B? A,则实数 m 的取值范围为__________. (2)设 U=R,集合 A={x|x +3x+2=0},B={x|x +(m+1)x+m=0},若(?UA)∩B=?, 则 m=__________. 解析 (1)当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠?时,若 B? A,如图.
3
2 2 2 016

b a

2

+b

2 016

=1.

m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1,
解得 2<m≤4. 综上,m 的取值范围是(-∞,4]. (2)A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B? A, ∵方程 x +(m+1)x+m=0 的判别式 Δ =(m+1) -4m= (m-1) ≥0,∴B≠?. ∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}. ①若 B={-1},则 m=1;
2 2 2

深度思考

(1)你会用这些结论吗?

A∪B=A?B?A, A∩B=A?A?B, (?UA)∩B=?? B?A; (2)你考虑到空集了吗?

②若 B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且 m=(-2)·(-2)=4,这两 式不能同时成立, ∴B≠{-2}; ③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且 m=(-1)·(-2)=2, 由这两式得 m=2. 经检验知 m=1 和 m=2 符合条件.∴m=1 或 2. 答案 (1)(-∞,4] (2)1 或 2 规律方法 (1)空集是任何集合的子集, 在涉及集合关系时, 必须优先考虑空集的情况, 否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端 点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题. 【训练 2】 (1)已知集合 A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是 ( ) A.A=B C.A? B B.A∩B=? D.B? A

(2) 已知集合 A = {x|log2x≤2}, B = {x|x < a} ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 __________. 解析 (1)A={x|x>-3},B={x|x≥2},结合数轴可得:

B? A.
(2)由 log2x≤2,得 0<x≤4, 即 A={x|0<x≤4},

而 B={x|x<a},

4

由于 A? B,如图所示,则 a>4. 答案 (1)D (2)(4,+∞) 考点三 集合的基本运算 【例 3】 (1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知集合 A={-2,0,2},B={x|x -x-2=0}, 则 A∩B=( A.? C.{0}
2 2

) B.{2} D.{-2}

(2)(2014·江西卷)设全集为 R, 集合 A={x|x -9<0}, B={x|-1<x≤5}, 则 A∩(?RB) =( ) A.(-3,0) C.(-3,-1] 解析 (1)B={x|x -x-2=0}={-1,2},A={-2,0,2}, ∴A∩B={2}. (2)∵A={x|x -9<0}={x|-3<x<3},
2 2

B.(-3,-1) D.(-3,3)

B={x|-1<x≤5},
∴?RB={x|x≤-1 或 x>5}, ∴A∩(?RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1 或 x>5}={x|-3<x≤-1}. 答案 (1)B (2)C 规律方法 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素 若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的 特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. 【训练 3】 (1)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,2,4} C.{0,2,4} B.{2,3,4} D.{0,2,3,4}

(2)(2014·四川卷)已知集合 A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B= ( ) A.{-1,0} C.{-2,-1,0,1} 解析 (1)?UA={0,4},∴(?UA)∪B={0,2,4}. (2)∵A={x|-1≤x≤2},B 为整数集, ∴A∩B={-1,0,1,2}. 答案 (1)C (2)D 微型专题 集合背景下的新定义问题
5

B.{0,1} D.{-1,0,1,2}

以集合为背景的新定义问题, 集合只是一种表述形式, 实质上考查的是考生接受新信息、 理解新情境、解决新问题的数学能力.解决此类问题,要从以下两点入手: (1)正确理解创新定义.分析新定义的表述意义,把新定义所表达的数学本质弄清楚, 进而转化成熟知的数学情境,并能够应用到具体的解题之中,这是解决问题的基础. (2)合理利用集合性质.运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新 定义型集合问题的关键. 在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的 一些因素,但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.
? ? 3 ? 【例 4】 (2014·青岛质检)设集合 M=?x?m≤x≤m+ 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?,N=?x?n- ≤x≤n 3 ? ? ? ? ? ? ? ?,且 ? ?

M,N 都是集合{0|0≤x≤1}的子集,如果把 b-a 叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集
合 M∩N 的“长度”的最小值是( A. C. 1 3 1 12 ) 2 B. 3 5 D. 12

点拨 先理解集合的“长度”,然后求 M∩N 的“长度”的最小值.

m≥0, ? ? 解析 由已知,可得? 3 ?m+4≤1, ?
1 ? ?n- ≥0, ? 3 ? ?n≤1,

1 即 0≤m≤ ; 4

1 ? 3? N=?2,1?. 即 ≤n≤1, 取 m 的最小值 0, n 的最大值 1, 可得 M=?0, ?, ?3 ? 3 ? 4? ? ?

3 2 1 ? 3? ?2 ? ?2 3? 所以 M∩N=?0, ?∩? ,1?=? , ?.此时集合 M∩N 的“长度”的最小值为 - = .故选 4 3 12 ? 4? ?3 ? ?3 4? C. 答案 C 点评 本题的难点是理解集合的“长度”, 解题时紧扣新定义与基础知识之间的相互联 系,把此类问题转化成熟悉的问题进行求解.

[思想方法] 1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解 题的切入点;另一方面,在解答完毕时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正 确. 2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意的是:首先,过好转化关,即把图形语 言转化为符号语言;其次,当集合的元素个数较少时,常利用枚举法解决,枚举法不失为求
6

集合的子集(真子集)个数的好方法,使用时应做到不重不漏. 3.对于集合的运算,常借助数轴、Venn 图,这是数形结合思想的又一体现. [易错防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对 集合进行化简. 2.空集不含任何元素,但它是存在的,在利用 A? B 解题时,若不明确集合 A 是否为空
? ?m+1≥-2, 集时应对集合 A 的情况进行分类讨论.如例 2(1)“错解 1 :由 ? ?2m-1≤7, ?

解得-

m+1<2m-1, ? ? 3≤m≤4;错解 2:由?m+1≥-2, ? ?2m-1≤7,
<2m-1}”认识不清.

解得 2<m≤4,错因都是对集合 B={x|m+1<x

3.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴 图示法要特别注意端点是实心还是空心.

基础巩固题组 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1. (2014·湖北卷)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7}, 集合 A={1,3,5,6}, 则?UA=( A.{1,3,5,6} C.{2,4,7} 解析 ?UA={x|x∈U 且 x?A}={2,4,7}. 答案 C 2.(2014·广州综合测试)已知集合 A={0,1,2,3},B={x|x -x=0},则集合 A∩B 的 子集个数为( A.2 C.6 解析 ∵B={x|x -x=0}={0,1}, ∴A∩B={0,1}, ∴A∩B 的子集个数为 4. 答案 B 3. (2015·贵阳监测)若集合 A={x|x =1}, B={x|x -3x+2=0}, 则集合 A∪B=( A.{1} B.{1,2}
2 2 2 2

)

B.{2,3,7} D.{2,5,7}

) B.4 D.8

)

7

C.{-1,1,2} 解析 ∵A={-1,1},B={1,2}, ∴A∪B={-1,1,2}. 答案 C

D.{-1,1,-2}

4.(2014·山东卷)设集合 A={x|x -2x<0},B={x|1≤x≤4},则 A∩B=( A.(0,2] C.[1,2) 解析
2

2

)

B.(1,2) D.(1,4)

∵ A = {x|x - 2x < 0} = {x|0 < x < 2} , B = {x|1≤x≤4},∴ A∩B = {x|0 < x <

2}∩{x|1≤x≤4}={x|1≤x<2}. 答案 C 5.(2014·武汉检测)设集合 P={x|x>1},Q={x|x -x>0},则下列结论正确的是 ( ) A.P? Q C.P=Q
2 2

B.Q? P D.P∪Q=R

解析 由集合 Q={x|x -x>0},知 Q={x|x<0 或 x>1},所以 P? Q,故选 A. 答案 A 6.设集合 A={x|0<x≤3},B={x|x<-1 或 x>2},则 A∩B=( A.(2,3] +∞) C.(-1,3] +∞) 解析 借助数轴得: D.(-∞,0)∪(2, ) B. (-∞, -1)∪(0,

∴A∩B=(2,3]. 答案 A 7.已知集合 A={x|x =1},B={x|ax=1},若 B? A,则实数 a 的取值集合为( A.{-1,0,1} C.{-1,0} B.{-1,1} D.{0,1}
2

)

1 1 解析 因为 A={1,-1},当 a=0 时,B=?,适合题意;当 a≠0 时,B={ }? A,则

a

a

=1 或-1,解得 a=1 或-1,所以实数 a 的取值集合为{-1,0,1}. 答案 A 8.(2015·长沙模拟)已知集合 A={x|x -3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N}, 则满足条件 A? C? B 的集合 C 的个数为( )
8
2

A.1 C.3

B.2 D.4

解析 A={1,2}, B={1,2,3,4}, A? C? B, 则集合 C 可以为: {1,2}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,3,4}.故选 D. 答案 D 二、填空题 9.设全集 U=R,集合 A={x|x>0},B={x|x>1},则集合(?UB)∩A=__________. 解析 ∵?UB={x|x≤1},∴(?UB)∩A={x|0<x≤1}. 答案 {x|0<x≤1} 10. 设集合 A={-1,1,3}, B={a+2, a +4}, A∩B={3}, 则实数 a 的值为__________. 解析 由题意得 a+2=3,则 a=1.此时 A={-1,1,3},B={3,5},A∩B={3},满足 题意. 答案 1 11.(2013·山东卷改编)已知集合 A,B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪B)= {4},B={1,2},则 A∩(?UB)=__________. 解析 由题意知 A∪B={1,2,3}, 又 B={1,2},∴?UB={3,4}, ∴A∩(?UB)={3}. 答案 {3} 12.集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为__________. 解析 根据并集的概念,可知{a,a }={4,16},故只能是 a=4. 答案 4 能力提升题组 (建议用时:15 分钟) 13.(2015·皖南八校联考)设集合 M={(x,y)|y=lg x},N={x|y=lg x},则下列结 论中正确的是( A.M∩N≠? C.M∪N=N 解析 因为 M 为点集,N 为数集,所以 M∩N=?. 答案 B 14. 已知集合 A={(x , y)|y=log2x}, B={(x, y)|y=x -2x}, 则 A∩B 的元素有( A.1 个 C.3 个
2 2 2 2 2

) B.M∩N=? D.M∪N=M

)

B.2 个 D.4 个

解析 在同一直角坐标系下画出函数 y=log2x 与 y=x -2x 的图象,如图所示:
9

由图可知 y=log2x 与 y=x -2x 图象有两个交点,则 A∩B 的元素有 2 个.

2

答案 B 15.已知集合 A={x|y=lg(x-x )},B={x|x -cx<0,c>0},若 A? B,则实数 c 的 取值范围是( A.(0,1] C.(0,1) 解析 ) B.[1,+∞) D.(1,+∞)
2 2

A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,

c),因为 A? B,画出数轴,如图所示,得 c≥1.应选 B.

答案 B 1 16.已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP=__________.

x

解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},

P={y|y= ,x>2}={y|0<y< }, x 2
1 ∴?UP={y|y≥ }. 2 1 答案 {y|y≥ } 2 17.已知集合 A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3},若 C∩A=C,则 a 的取值范围 是__________. 解析 因为 C∩A=C,所以 C? A. 3 ①当 C=?时,满足 C? A,此时-a≥a+3,得 a≤- ; 2 -a<a+3, ? ? ②当 C≠?时,要使 C? A,则?-a≥1, ? ?a+3<5, 3 解得- <a≤-1. 2 答案 (-∞,-1]

1

1

10


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