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高中数学课件 1.2同角三角函数基本关系式


1

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

复习与回顾 1.任意角的三角函数的定义

设?是一个任意角?的终边与单位圆的 , 交点P( x, y), 那么:

y x (1) sin ? ? ___; (2) cos ? ? ___;
x y y x (3) tan ? ? ___; (

4) cot ? ? ___;
x 注意: ? ? 叫余切函数, cot y

2

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

2.三角函数的定义域
三角函数 定义域
R R ?
?

sin? cos ? tan ?

{? | ? ? R且? ?

cot ? sec?

2 {? | ? ? R且? ? k? , k ? Z }

? k? , k ? Z } ? k? , k ? Z }

{? | ? ? R且? ?

csc?

2 {? | ? ? R且? ? k? , k ? Z }

3

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

3.三角函数值的符号

? ?
o

y

? ?
sin ?

x

? ? ? ? x x o o ? ? ? ?
cos?

y

y

tan ?

cot ?
y

记忆:一全二正弦, 三切四余弦

sin ?

全正

tan ?o cos ? x cot ?
4

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

4.特殊角的三角函数值
角?的度数 0
角?的 弧 度 数
?

0
0

sin?

30? 45? 60? 90? 180? 270? 360? ? ? ? ? 3? ? 2? 4 6 3 2 2
1 2
3 2
2 2 2 2

3 2

1
0

0 ?1
?1

0

cos ?
tan ?

1
0
不 存在

1 2

0
不 存在

1
0
不 存在
5

cot ?

3 3

1 1

不 3 存在

0
不 存在

3

3 3

0

0

问题探究(一)

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

计算下列各式的值: 1. sin 2 90 ? ? cos 2 90 ? ; 2. sin 2 30 ? ? cos 2 30 ? ; 5? 5? ? ? 3. tan 45 cot 45 ; 4. tan cot . 6 6 问题 : 如果把上面具体的数据 改为一般角?会 有同样的结果吗 ?

sin ? ? cos ? ? 1 tan ? ? cot ? ? 1.
2 2

称为平方关系 称为倒数关系
注:上面两种关系直接可 以用三角函数定义得到.
6

可以证明吗? 如何证明吗? 角?是否可以是任意角吗 ?

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

问题探究(二)
请同学们继续根据三角 函数的定义探索: sin ? , cos ? , tan ?三者之间是否有什么关 ? 系

sin ? y ? ? tan ? cos ? x
角?是否可以是任意角时 ,上式都成立呢 ?

sin ? 当? ? k? ? ( k ? Z )时, ? tan ?成立. 2 cos ?

?

sin ? ? tan ? cos ?

称为商数关系
7

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

同角三角函数基本关系式:

sin ? ? cos ? ? 1 tan ? ? cot ? ? 1.
2 2

称为平方关系 称为倒数关系

sin ? ? tan ? cos ?

称为商数关系

关于三种关系式

2.三种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立. 3.对于同一个角?的sin ?、cos ?、tan ?、cot ?可以利用上三种基本 关系式, "知一求三". 8

3? 1.“同角”的概念与角的表达形式无关. sin 2 ? tan 3? . ? ? 2 2 2 如 : sin 3? ? cos 3? ? 1; tan ? cot ? 1; cos 3? 2 2 2

例题讲解

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

3 例6. 已知 sin ? ? ? , 求 cos ? , tan ?的值. 5 解 : sin? ? 0, sin ? ? ?1,?? 是第三象限或 ?
2

第四象限的角.由sin2? ? cos2? ? 1得 16 ? 3? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? 25 ? 5? 如果? 是第三象限的角,那么
2 2

16 4 cos? ? 0, 于是cos? ? ? ?? 25 5 sin ? ? 3 ? ? 5 ? 3 tan ? ? ? ? ? ??? ? ? ? cos ? ? 5 ? ? 4 ? 4 4 39 如果? 是第四象限的角那么cos? ? , tan ? ? ? . 5 4

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

基础训练

8 1. 已知cos ? ? ? , 求 sin ? , tan ? ,的值. 17
? cos ? ? 0且 cos ? ? 1,? ?是第二或第三象限角 . 求得的结果有两组 .

15 15 如果?是第二象限角时sin ? ? ; tan ? ? ? . , 17 8

15 15 如果?是第三象限角时sin ? ? ? ; tan ? ? , . 17 8
10

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

基础训练

2. 已知 tan ? 是不等于零, 用tan ? 表示 sin ? , cos ? . 2 2 解: sin ? ? cos ? ? 1 sin ? ? tan ? cos ?
? cos 2 ? (1 ? tan 2 ? ) ? 1
1 ? cos ? ? 2 1 ? tan ?
2
11

§4.4同角三角函数的基本关系式(1)

从解题的过程中发现:基本关系式的等价形式

如把sin ? ? cos ? ? 1等价变形为 2 2 2 2 sin ? ? 1 ? cos ?或 cos ? ? 1 ? sin ? .
2 2

sin ? 把 ? tan ?变形为sin ? ? cos ? tan ? . cos ?
1 把 tan ? ? cot ? ? 1变形为tan ? ? 等. cot ?
12

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

cos? 1 ? si n? 例7 : 求 证 ? (三 角 恒 等 式 的 证 明 ) 1 ? si n? cos? 证 明 : 由cos? ? 0, 知si n? ? ?1, 所 以 ? si n? ? 0, 1 1
于 是: 左边? cos? (1 ? si n? ) cos? (1 ? si n? ) ? (1 ? si n? )(1 ? si n? ) 1 ? si n2 ?

cos? (1 ? si n? ) 1 ? si n? ? ? ? 右边 2 cos ? cos?
方法2: ? sin? )(1 ? sin? ) ? 1 ? sin2 ? (1

? cos 2 ? ? cos? cos? 且1 ? sin ? ? 0, cos? ? 0, cos? 1 ? sin ? 所以: ? . 1 ? sin ? cos?

13

能力训练

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

sin ? ? 4 cos ? 1. 已知sin ? ? 2 cos ? , 求 : (1) ; 5sin ? ? 2 cos ? 2 (2)sin ? ? 2sin ? cos ? ;(3)sin ? ? cos ?的值.

3 2. 已知sin ? ? cos ? ? 3 求(1) tan ? ? cot ? ;(2)sin ? ? cos ?的值.

1 3. 已知sin ? ? cos ? ? (0 ? ? ? ? ), 5 3 3 求(1) tan ? ;(2) sin ? ? cos ?的值.
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§1.2.2同角三角函数的基本关系式

能力训练 2 2 4.推倒出: sin ? tan ? ? cos ? cot ? ?
2sin ? cos? ? tan ? ? cot ? 成立
sin ? cos ? 2 证明 : 左边 ? sin ? ? ? cos ? ? ? 2 sin ? cos ? cos ? sin ? sin 4 ? ? cos 4 ? ? 2 sin 2 ? cos 2 ? ? sin ? cos ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 1 ? ? sin ? cos ? sin ? cos ?
2

sin? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 右边 ? ? ? ? cos ? sin? sin? cos ? sin? cos ?

所以,原式成立.
15

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

思考题
4 ? 2m m?3 (1)已知sin ? ? , cos? ? ,? 是第四象限角, m?5 m?5 求 tan ?的值.

解: ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? ( 4 ? 2m ) 2 ? ( m ? 3 ) 2 ? 1

m?5 m?5 化简, 整理得 : m( m ? 8) ? 0, 则, m ? 0或m ? 8.

4 3 当m ? 0时, sin? ? , cos ? ? ? (与?是第四象限角不合 ) 5 5

12 5 12 当m ? 8时, sin? ? ? , cos ? ? ,? tan ? ? ? . 13 13 5 2 2 注意挖掘隐含的条件: sin ? ? cos ? ? 1

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§1.2.2同角三角函数的基本关系式

能力检测
例 : 已知方程2 x ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两个根分别是sin ?、cos ? ( m ? R ). sin ? cos ? 求 ? 的值. 1 ? cot ? 1 ? tan ?
2

提示:先化简后求值.

3 ?1 答案 : 2

17

§1.2.2同角三角函数的基本关系式

小 结
证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消 去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的 方法一般有以下三种:
(1)依据相等关系的传递性从等式的一边开始证明 , , 它等于另一边 证明时一般遵循由繁到 , 简的原则 . ( 2)依据" 等于同量的两个量相等 , 证明左、 右两边等 " 于同一个式子 . ( 3)依据价转化思想证明与原式等价的另一 . 式子成立 从而推出原式成立这种方法对应着两具体 . 的方法 : 综合法 : 先证c ? d成立, 再证c ? d与a ? b等价,由此可 知a ? b成立. 分析法 : 要证a ? b, 只要证c ? d , ? ,因为c ? d成立, 可 18 知a ? b成立.


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