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2018年高考数学一轮复习第八章解析几何第54讲圆锥曲线的综合问题实战演练理


2018 年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 54 讲 圆锥曲线的综 合问题实战演练 理

1.(2014·福建卷)设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 +y =1 上的点,则 P,Q 10 两点间的最大距离是( A.5 2 C.7+ 2 D ) B. 46+ 2 D.6 2

2

2


x2

2

解析:设 Q( 10cos θ ,sin θ ),圆心为 M,由已知得 M(0,6). 则|MQ|= ? 10cos θ -0? +?sin θ -6? = 10cos θ +sin θ -12 sin θ +36 = -9sin θ -12sin θ +46 = 2?2 ? -9?sin θ + ? +50≤5 2, 3 ? ?
2 2 2 2 2

?当sin θ =-2时取等号? ? ? 3 ? ?
故|PQ|max=5 2+ 2=6 2. 2.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动 点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为
2 2 2 2

2 . 2

解析:双曲线 x -y =1 的一条渐近线为直线 y=x,显然直线 y=x 与直线 x-y+1=0 平行,且两直线之间的距离为 |0-1| 1 +?-1?
2 2



2 2 2 .因为点 P 为双曲线 x -y =1 的右支上一 2

点,所以点 P 到直线 y=x 的距离恒大于 0.结合图形可知点 P 到直线 x-y+1=0 的距离恒 大于 2 2 ,结合已知可得 c 的最大值为 . 2 2

3.(2013·陕西卷)已知动圆过定点 A(4,0).且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q.若 x 轴 是∠PBQ 的平分线,证明直线 l 过定点. 解析:(1)如图,设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,知|O1A|=|O1M|, 当 O1 不在 y 轴上时, 过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H, 则 H 是 MN 的中点, ∴|O1M|

1

= x +4 . 又|O1A|= ?x-4? +y . ∴ ?x-4? +y = x +4 , 化简得 y =8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y =8x,∴动圆圆心的 轨迹 C 的方程为 y =8x. (2)由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y =8x,得 k x +(2bk-8)x+b =0. 其中 Δ =-32kb+64>0. 8-2bk 由根与系数的关系得 x1+x2= ,① 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

k

b2 x1x2= 2.② k
因为 x 轴是∠PBQ 的平分线, 所以 =- , x1+1 x2+1

y1

y2

即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, ∴(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 整理得 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0.③ 将①②代入③并化简得 8(b+k)=0,∴k=-b,此时 Δ >0, ∴y=-bx+b=-b(x-1),∴x=1 时,y=0,故 l 过定点(1,0). 4.(2016·北京卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

3 ,A(a,0),B(0,b), 2

O(0,0).△ABC 的面积为 1.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证: |AN|·|BM|为定值.

? ?a= 2 , 解析:(1)由题意得?1 ab=1, 2 ? ?a =b +c ,
c
3
2 2 2

解得 a=2,b=1.

所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)由(1)知,A(2,0),B(0,1).设 P(x0,y0),则 x0+4y0=4.
2 2

x2

2

2

当 x0≠0 时,直线 PA 的方程为 y= 令 x=0,得 yM=-

y0

x0-2

(x-2).

2y0 ? 2y0 ? ,从而|BM|=|1-yM|=?1+ ?. x x0-2 0-2? ?

直线 PB 的方程为 y= 令 y=0,得 xN=-

y0-1 x+1. x0

x0 ? x0 ? ,从而|AN|=|2-xN|=?2+ ?. y0-1 ? y0-1? x0 ? ? 2y0 ? ·?1+ ? y0-1? ? x0-2? ?

所以|AN|·|BM|=?2+
2 2

? ?

=? =?

?x0+4y0+4x0y0-4x0-8y0+4? ? x0y0-x0-2y0+2 ? ? ?4x0y0-4x0-8y0+8?=4. ? ? x0y0-x0-2y0+2 ?

当 x0=0 时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2, 所以|AN|·|BM |=4. 综上,|AN|·|BM|为定值.

3


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