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安徽省黄山市屯溪一中等三校2013届高三下学期联考理科数学试题


黄山市屯溪一中等三校 2013 届高三下学期联考试题 理科数学试题
总分 150 分 时间 120 分钟

注意事项:答题前,考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内.答题时,
答案写在答题纸上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效. .........

第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大

题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)
1、复数

(1 ? i ) 2 ?( 3 ?i
1 3 ? i 2 2
B.



A. ?

1 3 ? i 2 2

C. ?1 ? 3i

D. 1 ? 3i

2、已知集合 A ? x x ? 1 ? 2 , B ? ? y y ? x ? ( ) B.

?

?

? ?

1 ? , x ? R且x ? 0? ,则 ? CR B ? ? A = x ?
D. [?2, ?1) )条件.

A. (?2,3]

[? 2 , 3 ]

C. (?2, ?1)

3、 a =3 ”是“直线 ax-2 y -1=0 与直线 6 x-4 y +c=0 平行”的( “ A.充要 4、已知 A ? B.充分不必要 C.必要不充分 )

D.既不充分也不必要

?x
0

3

2

? 1dx ,则 A =(
C.8

A.0

B.6

D.

22 3
2

y2 ? 1 的离心率为( 5、已知 m 是两个正数 2 , 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ? m 3 5 3 3 A. 或 B. C. 5 D. 或 5 2 2 2 2
6、 设函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? , A ? 0, ? ? 0, ? ? 称,它的周期是 ? ,则( A. f ? x ? 的图像过点(0, )



? ?

?
2

?? ?

??

2? ? 的图像关于直线 x ? 3 对 2?

1 ) 2

B. f ? x ? 在 ?

? ? 2? ? 上是减函数 , ?12 3 ? ? ? 5? ? ,0? ? 12 ?

C. f ? x ? 的一条对称轴方程为 x =-

?
12

D. f ? x ? 的一个对称中心是 ?

1 / 11

?x 1 ? 7、在 ? ? ? 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( ) 3 x? ?2
A. -7 B. 7 C. -28 D. 28 ) 8、 已知数列﹛ an ﹜满足 an ?1 ? A、1509.5

n

1 1 2 ? an ? an , a1 ? , 且 则该数列前 2013 项和等于 ( 2 2
C、1509 D、1508

B 、1508.5

10、已知抛物线方程为 y 2 =4 x ,直线 l 的方程为 x-y +4=0 ,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的 距离为 d1 ,到直线 L 的距离为 d2 ,则 d1 +d2 的最小值为( )

A、

5 2 +2 2

B、

5 2 +1 2

C、

5 2 -2 2

D、

5 2 -1 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题,满分 25 分)
11、如果执行右侧的程序框图,那么输出的 S ? .

开始

k=1

S ?0
k ≤ 20?
? 是
S ? S ? 2k



输出 S 结束

k ? k ?1

12、一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的表面积为 体积分别为 .

.

2 / 11

5 2 ? ? x ? 5 cos ? ?x ? t ? 13、已知两曲线参数方程分别为 ? (0≤?<? ) 和 ? 4 (t ? R ) ,它们的交点 ? y ? sin ? ? ?y ? t ?
坐标为 .

?x ? 1 ? 14、已知 x ,y 满足 ? x +y ? 5 ,记目标函数 Z =2 x +y 的最大值为 7,最小值为 1, ? ax +by +c ? 0 ?
则 a:b:c 的值是 15、下列说法中正确的是 . .

①“若 am2 ? bm 2 ,则 a ? b ”的逆命题为真;

? ? ? ②线性回归方程对应的直线 y ? bx ? a 一定经过其样本数据点 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ,

( xn , yn ) 中的一个点;
③命题“存在实数 x ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“对任意实数 x ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” ④用数学归纳法证明(n+1)(n+2) (n+n)= 2n ?1? 3?(2n ?1) ( n ? N )时,从“k”到“k+1” 的证明,左边需增添的一个因式是 2(2k+1) 。
?

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16、 (本小题满分 12 分) 已知向量 m= ?1, cos? x ? ,n = sin? x , 3 , ? >0 ) ( ,函数 f (x)=m ? n ,且 f (x) 图象 上一个最高点的坐标为 ? (1)求 f (x) 的解析式;
2 2 2 (2)在△ABC 中, a,b,c 是角 A、B、C 所对的边,且满足 a +c -b =ac ,求角 B 的大小

??

?

?

?

?? ?

?? ? ? 7? ? , 2 ? ,与之相邻的一个最低点的坐标为 ? , -2 ? . ? 12 ? ? 12 ?

以及 f (A) 的取值范围.

3 / 11

17、 (本小题满分 12 分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽 取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产 品的测量数据: 1 2 3 4 5 编号 x y 169 75 178 80 166 77 175 70 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足≥175且y≥75,该产品为优等品,用上述样本数据估计 乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随即抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分 布列及其均值(即数学期望).

18、 (本小题满分 12 分)

D 沿 如图 1, 平面四边形 ABDC 关于直线 AC 对称, A ? 60? ,?C ? 90? ,CD ? 2 , ?A B 把 B D ?
折起(如图 2) ,使二面角 A-BD-C 的余弦值等于 (1)求 A,C 两点间的距离; (2)证明:AC⊥平面 BCD; (3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值

3 .对于图 2, 3

4 / 11

. 19、 (本小题满分 13 分)

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 , F 为椭圆在 x 轴正半轴上的焦 2 a b 3 ???? ???? ???? ???? ? 点, M , N 两点在椭圆 C 上,且 MF ? FN ( ? ? 0 ) ,定点 A ? ?4,0? ,且 MN ? AF ,
已知椭圆 C:

???? ???? 106 ? AM ? AN ? ; 3
(1)求椭圆 C 的方程; (2)GH 是过 F 点的弦,且当 AH ? AG ? tan ?GAH 的值为 6 3 ,求出直线 GH 的方程。

???? ????

20(本小题满分 13 分) 已知各项均为正数的数列

{an } 的前 n 项和 S n 满足:

S1 ? 1, 且6S n ? (an ? 1)(an ? 2), n ? N * .
(1)求数列 (2)设数列 求证:

{an } 的通项公式;
{bn }满足an (2bn ? 1) ? 1, 记Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和,

2Tn ? 1 ? log2 (an ? 3).

5 / 11

21、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f (x)=ax2 +ln (x+1) . (1)当 a =-

1 时,求函数 f (x) 的单调区间; 4

(2)当 x ??0,+?) 时,函数 f (x) 图象上的点都在 ? 数 a 的取值范围.

?x ? 0 所表示的平面区域内,求实 ? y -x ? 0

* 2 4 8 2n (3) 求证:(1+ e )(1+ )(1+ ) ?[1+ n -1 ]<e(其中 n ? N , 是 自 n 2?3 3? 5 5? 9 (2 +1)(2 +1)

然对数的底数) .

参考答案及评分标准
一、 选择题
1 A 2 C 3 C 4 D 5 D 6 D 7 B 8 A 9 B 10 D

6 / 11

二、 填空题 11、420 15、③④ 三、解答题 16.解: (1) f ( x) ? m ? n ? sin ? x ? 3 cos ? x ? 2( sin ? x ? 12、 4 ? 2 2? ? 2?

4? 3

13、 (1,

2 5 ) 5

14、 (?4) :1: 5

?? ?

1 2

3 cos ? x) 2

? 2sin(? x ?

?
3

).

--------------------------------------2 分
? ? 7? ? , 2 ? ,与之相邻的一个最低点的坐标为 ? , ?2 ? . ? 12 ? ? 12 ?

? f ? x ? 图象上一个最高点的坐标为 ? ?
?

?

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,?T ? ? ,于是 ? ? ?2. 2 12 12 2 T

---------------5 分

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

3

).

---------------------------------6 分

(2)? a ? c ? b ? ac ,? cos B ?
2 2 2

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ----------------------------------7-分 2ac 2

又 0 ? B ? ? ,? B ?

?
3

.? f ( A) ? 2sin(2 A ?

?
3

) -----------------------------------------8 分

?B ?

?
3

?0 ? A ?

? sin(2 A ? ) ? ? ?1,1? . 3

?

2? ? ? 5? .于是 ? 2 A ? ? , 3 3 3 3
------------------------------------------------10 分

所以 f ( A) ?? ?2, 2? .---------------------------------------------------------12 分 17.解:(1)设乙厂生产的产品数量为 x 件,由题意得 (2)由题意知乙厂生产的优等品的数量为 (3)由题意知 ? ? 0,1,2
1 1 2 C32 C3 C 2 C2 3 6 3 1 P(? ? 0) ? 2 ? P(? ? 1) ? ? ? P(? ? 2) ? 2 ? ---------------7 分 2 10 5 C5 10 C5 C5 10

14 5 ? ,所以 x ? 35 。------------2 分 98 x

2 ? 35 ? 14 件---------------4 分 5

所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3 10

3 5

1 10
---------------10 分
7 / 11

所以随机变量 ? 的均值 E? ? 0 ?

3 6 1 4 ? 1? ? 2 ? = 10 10 10 5

---------------12 分

18 、

8 / 11

(2)由(1)知 F(2,0), 设直线 GH 的方程为 x ? my ? 2 . G( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) ,因为

???? ???? AH ? AG ? tan ?GAH ? AH ? AG sin ?GAH ? 2S ?GAH ? 6 3 , 所 以 S ?GAH ? 3 3
---------------7 分 有因为 S ?GAH ?

1 2 AF y1 ? y 2 ? 3 y1 ? y 2 , 所以 y1 ? y 2 ? 3 , ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 3 即 2

(?) 式---------------9 分

由 ? x2

? x ? m y? 2 4m 2 ? , y1 y 2 ? ? 2 得 (m 2 ? 3) y 2 ? 4my ? 2 ? 0 ,所以 y1 ? y 2 ? ? 2 y2 m ?3 m ?3 ? 6 ? 2 ?1 ?

---------------10 分
4 2 代入 (?) 式得 m ? 2m ? 1 ? 0 ,所以 m ? ?1 ---------------11 分

故直线 GH 的方程为 x ? y ? 2 ? 0或x ? y ? 2 ? 0 ---------------13 分 20、解: (1)当 n=1 时,有 6a1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2). 解得 a1 ? 1(与a1 ? S1 ? 1矛盾, 舍去),或a1 ? 2. 当 n ? 2 时,有 ? 1分

?6S n ? (a n ? 1)(a n ? 2), 两式相减得 ?6S n ?1 ? (a n ?1 ? 1)(a n?1 ? 2)
3分

2 2 6an ? an ? an?1 ? 3(an ? an?1 ),即(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 3) ? 0.

由题设 an ? an?1 ? 0, 从而an ? an?1 ? 3 ? 0,即an ? an?1 ? 3. 故数列 {an } 是首项为 2,公差为 3 的等差数列 an ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1. (2)由 a n (2
bn

6分 7分

? 1) ? 1, 得(3n ? 1)( 2 bn ? 1) ? 1, bn ? log 2

3n . 3n ? 1

9 / 11

3 6 9 3n Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log 2 ( ? ? ? ? ? ). 2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ) ? 1 ? log 2 (3n ? 2) 而 2Tn ? 1 ? log 2 (a n ? 3) ? 2 log 2 ( ? ? ? ? ? 2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n 2 3n ? 2 ? ( ? ? ??? ) ? 2 5 8 3n ? 1 2 3 6 9 3n 2 2( ? ? ? ? ? ) 2 5 8 3n ? 1 ? 1 9分 ? 3n ? 2 3 6 9 3n 2 2( ? ? ? ? ? ) 3n ? 1 . 令 cn ? 2 5 8 3n ? 2

3n ? 3 2 ( ) (3n ? 2) c n ?1 (3n ? 3) 2 9n 2 ? 18n ? 9 ? 3n ? 2 ? ? 2 ? 1. 则 cn 3(n ? 1) ? 2 (3n ? 5)(3n ? 2) 9n ? 21n ? 10
而 cn ? 0, 所以cn?1 ? cn ,{cn } 是单调递减数列. 11 分

3 6 9 3n 2 3 2( ? ? ? ? ? ) 2( ) 2 9 3n ? 1 ? 1. 2 所以, cn ? c1 ? ? ? 1.所以cn ? 2 5 8 3 ? 1 ? 2 10 3n ? 2
从而 2Tn ? 1 ? log2 (an ? 3) 成立. 13 分

21、解: (1) a

1 x2 ? ? 时,f (x)=- + ln (x+1)(x>-1) 4 4

f ?(x)=-

(x +2)(x-1) 2(x+1)

由f ?(x)>0,解得-1<x<1;由f ?(x)<0,解得x>1;
单调递减 区间为( , ) 1 +? ; 故函数f(x)的单调递增区间为(-1, ), +?
3分

(2) x ?[0,+?),f (x) ? x恒成立, ? 即ax2 + ln (x+1)-x ? 0恒成立。
设(x)=ax2 + ln (x+1)-x(x ? 0)只需g (x) max ? 0 g 由g ?(x)=2ax+ 1 x[2ax+(2a-1)] -1= x+1 x +1
-x ,g (x)在[0,+?)上单调递减, (x) ? g(0)=0成立 故g x +1

① 当a =0时,g?(x)=

10 / 11

当a >0时,由g?(x)=0得x=


1 -1 2a

1 1 若 -1<0,即a > 时g (x)在(0,+?)上单调递增, 2a 2

5分

故此时g(x)无最大值。
若 1 1 1 1 -1 ? 0,即0<a ? 时g (x)在(0, -1)上单调递减,在( -1,?)上单调递增,故此时g(x)无最大值。 + 2a 2 2a 2a

7分

当a <0时, x ? [0,+?) ? 2ax+(2a-1)<0 ?
③? g ?(x)<0,此时g(x)在[0,+?)上单调递减,g(x) ? g(0)=0

? a的取值范围是(-?,0]
9分

由(2)可知,a =0时,ln(x+1) ? x在[0,+?)上恒成立 又 2n 1 1 =2( n -1 - n ) n -1 n (2 +1)(2 +1) 2 +1 2 +1 2 4 2n )(1+ ) ?[1+ n -1 ] 2?3 3? 5 (2 +1) ? (2n +1)

? ln[(1+ = ln (1+ <

2 4 2n )+ ln (1+ )+ ? + ln[1+ n -1 ] 2?3 3? 5 (2 +1) ? (2 n +1)

2 4 2n + + ? + n -1 2 ? 3 3? 5 (2 +1) ? (2n +1) 1 1 1 1 1 1 =2[( - )+( - )+ ? +( n -1 - n )]<1 2 3 3 5 2 +1 2 +1 ?

(1+

2 4 8 2n )(1+ )(1+ ) ?[1+ n -1 ]<e 2?3 3? 5 5? 9 (2 +1)(2n +1)
13 分

11 / 11


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