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复数的乘除


复数的四则运算(2)

[教学目标]: 知识与技能: 1、 掌握复数代数形式的除法运算及意义. 2、理解并掌握共轭复数的概念. 过程与方法: 1、由实数的运算法则来研究复数的运算. 2、通过师生之间、学生与学生之间的互相交流, 使学生学会与别人共同学习. 3、让学生学会运用类比推理研究数学问题,培养 学生理性思维能力. 情感、态度与价值观: 1、通过本节课的学习,能提高学生分析问题解决 问题的能力. 2、学生初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问 题的数学意识.

[教学重点]:复数代数形式的除法 运算.

[教学难点]:复数代数形式的除法 运算.

复习:1、复数的加、减、乘运算

已知两个复数z1=a+biz2=c+di(a,b,c,d∈R), 则

z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i

z1 ? z2 ? ac ? adi ? bci ? bdi

2

? (ac ? bd) ? (ad ? bc)i
运算满足交换律、结合律、分配律(乘法)

2、共轭复数:
复数Z的共轭复数用Z来表示 即Z ? a ? bi时, Z ? a ? bi

说明: 1? | Z |?| Z |
2 ? Z1 ? Z2 ? Z1 ? Z2

?Z ? ? Z
Z1 ? Z2 ? Z1 ? Z2
2

z z ?| z | ?| z |
2

特别地,当 | z |? 1 时, z z ? 1

新授课:
定义:
复数的倒数:已知z=a+bi,如 果存在一个复数z/,使z ? z/=1 1 则z/叫z的倒数,记做: z 提出问题:怎样求z的倒数?

求 1 解 设: z ? x ? yi 则(a+bi)(x+yi)=1,两边 过 同乘(a-bi)得(a-bi)(a+bi)(x+yi)=a程 bi,(a2+b2)(x+yi)=a-bi因此:
a ? bi a b x ? yi ? 2 ? 2 ? 2 i, 2 2 2 a ?b a ?b a ?b

显然, 1 ?

z

a b ? 2 i. 2 2 2 a ?b a ?b

即:

1 z ? 2 z z

复数的除法

把满足(c+di)(x+yi) =a+bi ((c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做 复数 a+bi 除以复数c+di的商, a ? bi 记做 (a ? bi ) ? (c ? di )或 . c ? di

复数的除法
(1)设复数a+bi(a,b∈R),除以c+di(c, d∈R),其商为x+yi(x,y∈R), 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i. ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.
?cx ? dy ? a 由复数相等定义可知 ? ?dx ? cy ? b

解这个方程组,得x与y

复数的除法
( 2)

a ? bi (a ? bi)(c ? di) (a ? bi) ? (c ? di) ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) ac ? bd ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? ? ? i 2 2 2 2 2 2 c ?d c ?d c ?d
2 2

a+bi 因为(c+di) ? 0,则c +d ? 0,所以商 是唯一确定的复数 c+di

除法运算法则:

(a ? bi) ? (c ? di) ? a ? bi ac ? bd bc ? ad ? 2 ? i 2 2 2 c ? di c ? d c ?d

注意:
复数除法的运算法则不要死记 硬背,只需记住两个复数相除 就是先把它们的商写成分数形 式,然后把分子与分母都乘以 分母的共轭复数,把分母变为 实数,再把结果化简即可。

1.(2008山东,2)设z的共轭 复 若 = 数是


2.(2007山东,1)复数
的实部是( ) A.—2B.2 C.3 D.4

3、.(2009山东2)复数

=

4、(2009海南宁夏2)复数

例2、计算
1? i 1? i (1) ? ____; ? ____; 1? i 1? i
1 ? i 2007 (2)( ) ? ______ . 1? i

(1)i;-i (2)i

练习:
4 求一个复数z,使得z+ 为实数,且 z-2 ? 2 z

变式引申:
3

(1+3i)(3 ? 4i) 已知复数z满足 z ? 1 ? 3i ? z, 求 . z

能力提升:
1? 〈2。 设z为虚数,? ? z ? 是实数,且 ?〈 1 z

求 z 的值及z的实部的取值范围; (1)
1? z , 求证:u为纯虚数 (2)设u ? 1? z

(3)求

? ?u

2

的最小值

提示:要准确理解z是虚数这一条件,它实际上告 诉z的虚部不为零这一隐含条件

小结:
1.熟练应用除法的法则来解 决运算问题. 2.求解复数问题主要运用转化 思想,将复数实数化,利用实 数运算解决问题。在转化过程 中主要是依据复数相等与复数 模的概念。


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