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二次函数最值问题综合复习


全方位教学辅导教案
学科:数学 学 教 内 重 难 教 目 生 学 容 点 点 学 标 任课教师: 性 别 男
2

授课时间: 2013 年 4 月 日 年 级 初三 总课时:

星期 第

次课

二次函数 y=ax +bx+c 的图象和性质、最值
1、y=ax +bx+c 的性质; 2、y=ax +bx+c 与 y=a(x-h) +k 的图象及性质的联系与区别. 1、.会画 y=a x ? k ,y=a(x-h) ,y=ax +bx+c 的图象;
2
2 2 2 2 2

2、掌握 y=ax +bx+c 的图象与 y=ax 的关系,能结合图象理解二次函数的性质.

2

2

课 前 作业完成情况: 检 查 与交流 交流与沟通 针

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质
对 教 性 授 学 课
回顾: 1.对于任意一个二次函数,如 y ? ? x ? 3x ? 2 ,怎么知道它的开口方向、对称轴和顶点坐标,
2

并快速地画出图象呢? 2.你能用配方法求出二次函数 y ? ax ? bx ? c 的对称轴和顶点坐标并完成填空吗?
2

二次函数 y ? ax ? bx ? c 的对称轴是
2

,顶点坐标是



典型例题 例 1 通过配方,确定抛物线 y=5x -15x+9 的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.
2




归纳反思 1.通过本题你能总结出配方的要点和关键吗? 2.列表时选值,应以对称轴为中心,函数值可由对称性得到. 3.描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描 点,最后用平滑曲线顺次连结各点. 例 2 已知抛物线 y ? x ? (a ? 2) x ? 9 的顶点在坐标轴上,求 a 的值.
2

1

分析:顶点在坐标轴上有两种可能: (1)顶点在 x 轴上,则顶点的纵坐标等于 0; (2)顶点在 y 轴上,则顶点的横坐标等于 0. 解: y ? x 2 ? (a ? 2) x ? 9 ? ( x ?

a?2 2 (a ? 2) 2 ) ?9? , 2 4 ?a ? 2 (a ? 2) 2 ? 则抛物线的顶点坐标是 ? ,9 ? ?. 2 4 ? ? a?2 ? 0 ,解得, a ? ?2 . 当顶点在 y 轴上时,有 ? 2 (a ? 2) 2 ? 0 ,解得, a ? 4 或 a ? ?8 . 当顶点在 x 轴上时,有 9 ? 4 2 所 以 , 当 抛 物 线 y ? x ? (a ? 2) x ? 9 的 顶 点 在 坐 标 轴 上 时 , a 有 三 个 值 , 分 别
y

是 –2, 4, 8. 强化练习 一、选择题 2 1.二次函数y=x -2x+1的顶点在( ) A.第一象限 B.x轴上 C.y轴上 D.第四象限 2 +2x+1的说法中, 正确的是( 2.下列关于抛物线y=x )

O

x

第 5 题图

A.开口向下 B.对称轴是直线 x=1 C.与 x 轴有两个交点 D.顶点坐标是(-1,0) 2 3.若抛物线y=x -2mx+m2+m+1的顶点在第二象限,则常数m的取值范 围是( ) A.m<-1或m>2 B.-1<m<2 C.-1<m<0 D.m>1 2 4.二次函数y=1-6x-3x 的顶点坐标和对称轴分 别是( ) A.顶点(1,4) 对称轴x=1 B.顶点(-1,4) 对称轴x= -1 C.顶点(1,4) 对称轴x=4 D.顶点(-1,4) 对称轴x=4 2 5.如图,观察二次函数y=ax +bx+c的图象可知点(b,c)一定在第( )象限. A.一 B.二 C.三 D.四 6.为了备战世界杯,中国足球队在某次集训中,一 队员在距离球门12米处挑射,正好射中了2.4 米高的球门横梁.若足球运行的路线是抛物线 y ? ax2 ? bx ? c (如图),则下列结论:①a<

?

1 1 ;② ? <a<0; ③a-b+c>0;④0<b< 60 60
) C.②③ D.②④ . ,当 x . ,c= . 时,y 随 x 的增大而减小.

-12a.其中正确的是( A.①③ B.①④ 二、填空题
2 2

7.二次函数 y ? ? x ? 2 x 的对称轴是 8.二次函数 y ? 2 x ? 2 x ? 1的图象的顶点是
2

9.抛物线 y ? ax ? 4x ? 6 的顶点横坐标是-2,则 a =
2 10.抛物线 y ? ax ? 2x ? c 的顶点是 ( ,?1) ,则 a =
2

1 3

11.若抛物线y=(m-1)x +2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零,则m=_______. 2 12.已知抛物线 y=ax +bx+c 经过点 A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵 坐标为-8 的另一点的坐标是_________.

二次函数的最值
2

例 1 求下列函数的最大值或最小值. (1) y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 ; (2) y ? ? x 2 ? 3x ? 4 .

分析:由于函数 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 和 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 的自变量 x 的取值范围是全体实数,所以 只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值. 解:(1)因为二次函数 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 中的二次项系数 2>0, 所以抛物线 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 有最低点,即函数有最小值.
2 因为 y ? 2 x ? 3x ? 5 = 2( x ? ) ?
2

3 4

49 , 8

3 49 时,函数 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 有最小值是 ? . 4 8 2 (2)因为二次函数 y ? ? x ? 3x ? 4 中的二次项系数-1<0,
所以当 x ? 所以抛物线 y ? ? x ? 3x ? 4 有最高点,即函数有最大值.
2

因为 y ? ? x ? 3x ? 4 = ? ( x ?
2

3 2 25 ) ? , 2 4

所以当 x ? ?

25 3 2 时,函数 y ? ? x ? 3x ? 4 有最大值 . 4 2

归纳反思 最大值或最小值的求法: 第一步确定 a 的符号,a>0 有最小值,a<0 有最大值; 第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

例 2 某商场试销一种成本为 60 元/件的 T 恤,规定试销期间单价不低于成本单价,又获利不得 高 40%,经试销发现, 销售量 y (件)与销售单价 x(元/件)符合一次函数 y ? kx ? b ,且 x ? 70 时, y ? 50 ; x ? 80 时, y ? 40 ; (1)求出一次函数 y ? kx ? b 的解析式; (2)若该商场获得利润为 w 元,试写出利润 w 与销售单价 x 之间的关系式,销售单价定为多少 时,商场可获得最大利润,最大利润是多少?

分析:日销售利润=日销售量×每件产品的利润,因此主要是正确表示出这两个量.

3

?50 ? 70k ? b ? k ? ?1 ,∴ ? ?40 ? 80k ? b ?b ? 120 ∴一次函数的解析式为: y ? ? x ? 120 .
解:(1)由题意得: ? (2) w ? ( x ? 60)(? x ? 120) ? ? x 2 ? 180x ? 7200? ?( x ? 90)2 ? 900 ∵抛物线开口向下,∴当 x ? 90 时, w 随 x 的增大而增大; 而 60≤ x ≤84,∴当 x ? 84 时, w ? (84 ? 60)(120 ? 84) ? 864. 答:当销售价定为 84 元/件时,商场可以获得最大利润,最大利润是 864 元. 归纳反思 解决实际问题时,应先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,一定要考 虑在自变量的取值范围内得出正确结果. 例 3 如图,在 Rt⊿ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点 D 在斜边 AB 上,分别作 DE⊥AC, DF⊥BC,垂足分别为 E.F,得四边形 DECF,设 DE=x,DF=y. (1)用含 y 的代数式表示 AE; (2)求 y 与 x 之间的函数关系式,并求出 x 的取值范围; (3)设四边形 DECF 的面积为 S,求 S 与 x 之间的函数关系,并求出 S 的最大值.

解:(1)由题意可知,四边形 DECF 为矩形,因此, AE ? AC ? DF ? 8 ? y . (2)由 DE ∥ BC ,得

DE AE x 8? y ? ,即 ? , BC AC 4 8 所以, y ? 8 ? 2 x ,x 的取值范围是 0 ? x ? 4 .

(3) S ? xy ? x(8 ? 2 x) ? ?2 x 2 ? 8x ? ?2( x ? 2) 2 ? 8 , 所以,当 x=2 时,S 有最大值 8.

强化练习 一、选择题 1.已知二次函数 y ? a( x ? 1) ? b 有最小值–1,则 a 与 b 之间的大小关系是(
2



A.a<b
2

B.a=b

C.a>b

D.不能确定 ) D. a ? 0, y1 ? y 2
4

2.二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,当 x=1 时,函数 y 有最大值,设 ( x1 , y1 ) ,( x 2 , y 2 ) 是 这个函数图象上的两点,且 1 ? x1 ? x2 ,则( A. a ? 0, y1 ? y 2 B. a ? 0, y1 ? y 2 C. a ? 0, y1 ? y 2

3.抛物线 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 1 的顶点关于原点对称的点的坐标是( A.(-1,3) 二、填空题 B.(-1,-3) C.(1,3) D.(1,-3)



4.抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 4 的开口向 5.对于二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? m ,当 x=
2

;对称轴是 时,y 有最小值. .

;顶点为 y P

.

6.已知二次函数 y ? x ? 6 x ? m 的最小值为 1,则 m=

7.如图,矩形 ABCD 的长 AB=4cm,宽 AD=2cm. O 是 AB 的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为 AO 与 OB.抛物线 的顶点是 O,关于 OP 对称且经过 C、D 两点,则图中阴影部分的面 积是 cm2.

D A

C B

x

(第 6 题)

1 2 8.二次函数 y ? ( x ? 1) ? 3 的对称轴是 2
随 x 的增大而
2

,在对称轴的左侧, y

O
时,y 随 x 的增

. ,根据图象可知,当 x

9.抛物线 y ? x ? 2x ? 1 的对称轴是

大而减小. 三、解答题: 10.某产品每件成本是 120 元,试销阶段每件产品的销售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之 间关系如下表: x(元) y(件) 130 70 150 50 165 35

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,要获得最大销售利润,每件产品的销售价定为多少元?此 时每日销售利润是多少?

11.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=2,DC=2 2,点 P 在边 BC 上运动(与 B、C 不重合),设 PC=x,四边形 ABPD 的面积为 y. ⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; D A 1 ⑵若以 D 为圆心, 为半径作⊙D,以 P 为圆心,以 PC 的长为半径作⊙P,当 x 2 为何值时,⊙D 与⊙P 相切?并求出这两圆相切时四边形 ABPD 的面积.
B P C

5

课 堂 检 测

二次函数中考题摘要
一、精心选一选 1.抛物线 y ? x ? 4 的顶点坐标是(
2

) C.(1,-3)
2

A.(2,0) A. x ? ?

B.(-2,0)

D.(0,-4) )

2.若(2,5),(4,5)是抛物线 y ? ax ? bx ? c 上的两个点,则它的对称轴是 (

b a

B. x ? 1

C. x ? 2

D. x ? 3

3.已知反比例函数 y ?

a (a ? 0) ,当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小,则函数 y ? ax2 ? a 的图 x
B.第一、二象限 D.第一、二、三象限
2

象经过的象限是( ) A.第三、四象限 C.第二、三、四象限
2

4.抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的两个交点为(-1,0), (3,0),其形状与抛物线 y ? ?2x 相同,则 y ? ax ? bx ? c 的函数关系式为(
2


2 2

A. y ? ?2 x ? x ? 3
2

B. y ? ?2 x ? 4 x ? 5 D. y ? ?2 x ? 4 x ? 6 ) C.b= -8,c=14 . . D.b= -8,c=18

C. y ? ?2 x ? 4 x ? 8
2 2

5.把抛物线 y ? x ? bx ? c 向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,得到抛物线

y ? x 2 ? 2x ? 1 ,则(
A.b=2,c= -2 二、细心填一填 6.若 y ? (2 ? m) x m
2

B.b= -6,c=6
?2

是二次函数,则 m=

7.二次函数 y ? ? x ? 2 x 的开口向
2

,对称轴是

1 2 3 x ? x ? 的最低点坐标是 ,当 x 时,y 随 x 的增大而增大. 2 2 2 9.已知二次函数 y ? ax ? 2 的图象经过点(1,-1),则这个二次函数的关系式为 ,
8.抛物线 y ? 它与 x 轴的交点的个数为 个.;
6

10.若 y 与 x 成正比例,当 x=2 时,y=4,那么当 x= -3 时,y 的值为 11.抛物线 y ? x ? 3x ? 4 与 y 轴的交点坐标是
2

2

. .
2

,与 x 轴的交点坐标是

12.有一长方形条幅,长为 a m,宽为 b m(b<a=,四周镶上宽度相等的花边,求剩余面积 S(m ) 与花边宽度 x(m)之间的函数关系式为 ,自变量 x 的取值范围 为 . 13.抛物线 y ? ax2 与直线 y ? 3x ? b 只有一个公共点,则 b= . . 14.已知抛物线 y ? ax2 ? x ? c 与 x 轴交点的横坐标为 –1,则 a ? c =

15.已知点 A(1,4)和 B(2,2),试写出过 A,B 两点的二次函数的关系式(任写两 个) . . 三、认真答一答 16.已知一个二次函数的图象经过点 A(-1,0).B(3,0)和 C(0,-3)三点;(1)求此二 次函数的解析式;(2)对于实数 m ,点 M(m ,-5)是否在这个二次函数的图象上?说明 理由.

17.某产品每件成本 10 元,试销阶段每件产品的销售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关系 如下表: x(元) y(件) 15 25 20 20 30 10 … …

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. (1)求出日销售量 y(件)与销售价 x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?

7

18.如图:矩形 ABCD 的顶点 B,C 在 x 轴的正半轴上,A,D 在抛物线 y ? 顶点均为动点,且矩形在抛物线与 x 轴围成的区域里. (1)设 A 点的坐标为( x , y ),试求矩形周长 p 关于变 量 x 的函数表达式; (2)是否存在这样的矩形,它的周长为 9,试证明你的结论.

2 2 8 x ? x 上,矩形的 3 3

y

A
O

D E
C

B

x

第 18 题图

课 后 作 业

1.某食品零售店为仪器厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家,统计销售情况发现:当这种 面包的单价定为 7 角时,每天卖出 160 个.在此基础上,这种面包的单价每提高 1 角时,该零 售店每天就会少卖出 20 个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是 5 角. 设这种面包的单价为 x(角),零售店每天销售这种面包所获得的利润为 y(角). ⑴用含 x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数; ⑵求 y 与 x 之间的函数关系式; ⑶当面包单价定为多少时,该零售店每天销售这种面包获得的利润最大?最大利润为多 少?

8

2. 如图.在矩形 OABC 中,OA=8,OC=4,OA.OC 分别在 x,y 轴上,点 O 在 OA 上,且 CD=AD. (1)求直线 CD 的解析式; (2)求经过 B.C.D 三点的抛物线的解析式; y (3)在上述抛物线上位于 x 轴下方的图象上, 是否存在一 B C 点 P,使△PBC 的面积等于矩形的面积?若存在,求出点 P 的坐标,若不存在请说明理由. O D 第 2 题图
A

x

签字 老师 课后 评价

教研组长: 教学主任: 学生: 下节课的计划: 学生的状况、接受情况和配合程度: 给家长的建议:

教务老师:

家长:

9


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