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1.1.6柱锥台及球的表面积


一、直棱柱、正棱锥的表面积
? 直棱柱: 侧棱与底面垂直的棱柱。 ? 正棱锥: 底面是正多边形,定点在过底面中心且 与底面垂直的直线上。

? 分析直六棱柱和正四棱锥的展开图

S正棱锥侧=

1 1 ' ' nah ? ch 2 2

S表=S底+S侧

? 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半。

斜高

h’
a a

S直棱柱侧=ch.

S表=S底+S侧

? 直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积。

h

h

c

二、正棱台的表面积
? 正棱台: 由正棱锥截得的棱台 ? 分析正四棱台的展开图

S正棱台侧=

1 1 ' ' n(a ? a )h ? (c ? c ' )h' 2 2

S表=S上底+S侧 +S下底
a



h’
a

三、球的表面积
S球=4πR2.
球面面积等于它的大圆面积的4倍。

练习:已知棱长为 a ,各面均为等边三角形
的三棱锥 S ? ABC ,则它的
3 2 a 4 ①底面积为_______,
S

3 3 2 a ②侧面积为_______, 4

C

3a ③表面积为_______.

2

A

B

8

四、圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积的求法:

r O?
l
O
2? r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱侧 ? S长方形 2?rl =

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )
2

圆锥的侧面展开图是扇形
2? r

S圆锥侧 ? ?rl
2

l

r O

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )

2?r '

圆台的侧面展开图是扇环
2? r

r 'O’
l

r

O

S圆台侧=S扇环=?(r ? r )l
/

S ? ? ( r ? r ? r l ? rl )
'
2

2

'

练习:看图回答问题
r ?1
r' ? 1

h?2

l ?2

r ?1

l ?2

r?2

4? 2? S 6? S圆柱侧 ? __ ??S圆锥侧 ? __??????? ? __ 圆台侧 11? S圆柱表 ? 6?????????? ? __ S __ ??S圆锥表 3? ? __
圆台表

例1. 已知正四棱锥底面正方形长为4cm, 高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧 面积及全面积.(单位:cm2,精确到0.01 )
P

解:正棱锥的高PO,斜 高PE,底面边心距OE 组成直角三角形。

D O E B

C

因为OE=2, ∠OPE=30°,

A

所以斜高
因此S侧=

OE 2 PE ? ? ?4 sin 30? 0.5
1 2

ch’=32(cm2)

S全=S侧+S底=48(cm2)

P

D

巩固练习:

1. 在正方体的八个顶点中,有四个恰好是 正四面体的顶点,则正方体的表面积与此

正四面体的表面积的比值为( B )
(A) 2
6 (C) 2

(B) 3 (D) 3
3

2. 侧面都是直角三角形的正三棱锥,底 面边长为a,该三棱锥的全面积是( A ) (A) 3 ? 3 a 2 4 (C) 3 ? 3 a 2 2
3 2 (B) a 4

(D)

3 3 2 ( ? )a 2 4

3. 已知正六棱台的上、下底面边长分别 是2 和4,高是2,则这个棱台的侧面积等



18 7



课后小结:

直棱柱、正棱锥、正棱台、球:

S直棱柱侧=ch.
S正棱锥侧= S正棱锥台=
1 1 ' ' nah ? ch 2 2 1 1 ' ' n(a ? a )h ? (c ? c ' )h' 2 2

S球=4πR2.

S全=S侧+S底

圆柱、圆锥、圆台:

S圆柱侧 ? S长方形 2?rl =

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l ) S圆锥侧 ? ?rl
2

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )
2

S圆台侧=S扇环=?(r ? r )l
/

S ? ? ( r ? r ? r l ? rl )
'
2

2

'


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