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江苏省2012年普通高校对口单招数学试卷及答案


江苏省 2012 年普通高校对口单招文化统考

数学试卷
一、 单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在下列每小题中,选出 一个正确答案,请在答题卡上将所选的字母标号涂黑) 1.若集合 M ? {1, 2} , N ? {2, 3} ,则 M ? N 等于 A. {2} B. {1} C. {1, 3} D. {1, 2,

3} ( )

2.若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) ( 0 ? ? ? ? )是 R 上的奇函数,则 ? 等于 A. 0 B.





? 4

C.

? 2

D.

?
( )

3.函数 f ( x) ? x2 ? mx ? n 的图象关于直线 x ? 1 对称的充要条件是 A. m ? ?2 B. m ? 2 C. n ? ?2 D. n ? 2

4.已知向量 a ? (1, x) , b ? (?1, x) .若 a ? b ,则 | a | 等于 A. 1 B. 2 C. 2 D. 4

?

?

?

?

?





5.若复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? i ,则 z 等于 A. 1 ? i B. 1 ? i C. i D. ?i





6.若直线 l 过点 (?1, 2) 且与直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 平行,则 l 的方程是 A. 3x ? 2 y ? 8 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0
2





B. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 D. 3x ? 2 y ? 8 ? 0 ( D. [2, ? ?) )

7.若实数 x 满足 x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 log2 x 的取值范围是 A. [1, 2] B. (1, 2) C. (??, 1]

8.设甲将一颗骰子抛掷一次,所得向上的点数为 a ,则方程 x ? ax ? 1 ? 0 有两个不相等
2

实根的概率为 ( A.

) B.

2 3

1 3

C.

1 2

D.

5 12

1

9.设双曲线 方程为

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2 ,焦距为 2 3 ,则此双曲线的渐近线 a 2 b2
( B. y ? ?2 x C. y ? ? )

A. y ? ? 2x

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2

10.若偶函数 y ? f ( x) 在 (??, ? 1] 上是增函数,则下列关系式中成立的是 A. f ( ? ) ? C. f (2) ?





3 2

f (?1) ? f (2)
3 f (?1) ? f ( ? ) 2

3 2 3 D. f (2) ? f ( ? ) ? f (?1) 2
B. f (?1) ? f ( ? ) ? f (2) )

11.若圆锥的表面积为 S ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径为( A.

S 3?

B. 2

S 3?

C.

S 5?

D. 2

S 5?

12.若过点 A(3, 0) 的直线 l 与圆 C : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 有公共点,则直线 l 斜率的取值范围 为 A. (? 3, 3) B. [? 3, 3] C. (? ( )

3 3 , ) 3 3

D. [?

3 3 , ] 3 3

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 13. sin150? ? . 14.已知函数 f ( x ) ?

1 ,则 f [ f (1)] ? x ?1



15.用数字 0,3,5,7,9 可以组成 16.在 ?ABC 中, a ? 30, b ? 20, sin A ?

个没有重复数字的五位数(用数字作答) .

3 , 则 cos 2 B ? 2



2 17.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F ,且与 y 轴交于点 A .若

?OAF ( O 为坐标原点)的面积为 4 ,则此抛物线的方程为
18.若实数 x 、 y 满足 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 3 ? 9 的最小值为
x y





2

三、解答题(本大题 7 小题,共 78 分) 19. 分)设关于 x 的不等式 | x ? a | < 1 的解集为 (b, 3) ,求 a ? b 的值. (6

20. (10 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 f (? ) ?

1 ? ? , ? ? ( ? , ) ,求 sin ? 的值. 2 6 3

21. (10 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ? n ? n , n ? N? .
2

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 bn ? 2
an

?1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .

22. (10 分)对于函数 f ( x ) ,若实数 x0 满足 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x ) 的一个不动 点. 已知 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? (b ?1) .
2

(1)当 a ? 1 , b ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)假设 a ?

1 ,求证:对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点. 2

23. (14 分)甲、乙两位选手互不影响地投篮,命中率分别为 未命中的概率为

1 与 p .假设乙投篮两次,均 3

4 . 25
3

(1)若甲投篮 4 次,求他恰命中 3 次的概率; (2)求乙投篮的命中率 p ; (3)若甲、乙两位选手各投篮 1 次,求两人命中总次数 ? 的概率分布与数学期望.

24. (14 分)如图,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AD ? AA ? 1 , AB ? 2 . 1 1 (1)证明:当点 E 在棱 AB 上移动时, D1E ? A D ; 1 (2)当 E 为 AB 的中点时,求①二面角 D1 ? EC ? D 的大小(用反三角函数表示) ; ②点 B 到平面 ECB1 的距离.

D1 A1 D B1

C1

C A E B

25. (14 分)已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且该椭圆上的点到右 2 3 a b

焦点的最大距离为 5 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A 、 B ,且过点 D(9, m) 的直线 DA 、 DB 与此椭 圆的另一个交点分别为 M 、 N ,其中 m ? 0 .求证:直线 MN 必过 x 轴上一定点(其坐标 与 m 无关) .

4

江苏省 2012 年普通高校对口单招文化统考

数学试题答案及评分参考
一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 A 9 C 10 D 11 B 12 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 13.

1 2

14.

2 3

15. 96

16.

1 3

17. y 2 ? 8x

18. 6

三、解答题(本大题共 7 小题,共 78 分) 19. (本小题 6 分) 解:由题意得 ?1 ? x ? a ? 1 ,……………………………………………………………… ?1 ? a ? x ? 1 ? a , …………………………………………………………

1分 1分 2分

??1 ? a ? b ? ?1 ? a ? 3
解得 ?

,………………………………………………………………

?a ? 2 ?b ? 1

, ……………………………………………………………… 1 分 ………………………………………………………… 1分

所以 a ? b ? 3 . 20. (本小题 10 分) 解: (1)由题意得

f ( x) ? cos x ? 3sin x

………………………………………………… 1 分

? 2sin( x ? ) , …………………………………………………… 2 分 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2? . (2)由 f (? ) ? …………………………… 1分

?

1 得 2 ? 1 s i n? ? ( ? , ………………………………………………………… 1 分 ) 6 4

因为 ? ? (?

? ?
,

6 3

) ,所以 ? ?

?

6

? (0,

?

2

),

…………………………

1分

? ? 15 , cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? 6 6 4
从而 sin ? ? sin[(? ?

…………………………

1分

?

)? ] 6 6

?

5

? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin 6 6 6 6

?

?

?

?

1 3 15 1 3 ? 15 . ………………………… 3 分 ? ? ? ? ? 4 2 4 2 8
21. (本小题 10 分) 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 12 ?1 ? 0 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ……………………………… 1分

? (n2 ? n) ? [(n ?1)2 ? (n ?1)]
? 2n ? 2 , ……………………………………………
综合得
a

2分 2分 1分

an ? 2n ? 2 , n?N+
n?1

……………………………………… …………………………………

(2) bn ? 2 n ? 1 ? 22n?2 ? 1 ? 4

? 1,

Tn ? (1 ? 4 ? 42 ? ?? 4n?1 ) ? n
? 1? (1 ? 4n ) 4n 1 ?n ? ?n? . 1? 4 3 3
………………………………… 4分

22. (本小题 10 分) (1)解:由题意得

x2 ? (?2 ? 1) x ? (?2 ?1) ? x ,
即 x ? 2x ? 3 ? 0 ,
2

……………………………

1分

解得 x1 ? ?1 , x2 ? 3 ,

…………………………………… ……………………………

2分 1分

所以函数 f ( x ) 的不动点是 ?1 和 3 . (2)证明:由题意得

1 2 x ? (b ? 1) x ? (b ? 1) ? x , ① 2 1 2 即 x ? bx ? (b ? 1) ? 0 , 2
因为判别式 ? ? b ? 2(b ? 1)
2

…………………………… ……………………………

1分 1分

? b2 ? 2b ? 2

…………………………… ……………………………

2分 1分

? (b ? 1)2 ? 1 ? 0 ,
6

所以方程①有两个相异的实根, 即对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点. …… 1分

23. (本小题 14 分) 解: (1)记甲投篮 4 次,恰命中 3 次的概率为 P ,由题意得 1

1 2 8 . P ? C3 ? ( )3 ? ? 4 1 3 3 81
(2)由题意得

……………………………

4分

(1 ? p) 2 ?
解得 p ?

4 , 25

…………………………… …………………………………………… …………………………………

3分 1分 1分

3 . 5

(3)由题意 ? 可取 0 ,1 , 2 ,

1 3 4 P(? ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? , 3 5 15 1 3 1 3 8 P(? ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 3 5 3 5 15 1 3 3 P(? ? 2) ? ? ? . 3 5 15
所以 ? 的概率分布列为

?
P

0
4 15

1

2

8 15

3 15

…………………………………………… 3 分

E (? ) ? 0 ?

4 8 3 14 ? 1 ? ? 2 ? ? .……………………………………2 分 15 15 15 15

24. (本小题 14 分) (1)证明:连接 AD1 .在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, 1 因为 AD ? AA ,所以 AA1D1D 为正方形, 1 从而 AD1 ? A D . 1 因为点 E 在棱 AB 上,所以 AD1 就是 ED1 在平面 AA1D1D 上的射影, 从而 D1E ? A D . 1 …………………………………………… 4分

7

(2)解:①连接 DE .由题意知 AD ? AA ? 1 , AE ? EB ? 1 . 1 在 Rt ?DAE 中, DE ? 12 ? 12 ? 2 , 在 Rt ?EBC 中, EC ? 12 ? 12 ? 2 ,
2 2 2 从而 DE ? EC ? 4 ? DC ,所以 EC ? DE ,

又由 D1D ? 面 ABCD 知 D1D ? EC ,即 EC ? D1D , 从而 EC ? 面 D1DE ,所以 EC ? D1E , 因此 ?D1ED 是二面角 D1 ? EC ? D 的平面角. 在 Rt ?D1DE 中, tan ?D1ED ? ………………… 2分

D1D 1 2 , ? ? DE 2 2

得 ?D1ED ? arctan

2 , 2 2 . 2
………………… 3分

即二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 arctan ②设点 B 到平面 ECB1 的距离为 h ,

由 EB ? BC ? BB1 ? 1 知 EC ? B1C ? B1E ? 2 ,

S?ECB1 ?

3 3 ? ( 2)2 ? . 4 2

……………………………

1分

因为 VB?ECB1 ? V B1 ?ECB , 所以

1 1 S ?ECB1 ? h ? S ?ECB ? BB1 , 3 3

即 ?

1 3 1 1 3 ? h ? ? ?1,所以 h ? , 3 2 3 2 3 3 . …………………………… 3
4分

故点 B 到平面 ECB1 的距离为

8

25. (本小题 14 分) 解: (1)设右焦点为 (c, 0) ,则由题意得

?c 2 ? ? ?a 3 ?a ? c ? 5 ?
解得 ?



…………………………………………… 2 分

?a ? 3 2 2 2 ,所以 b ? a ? c ? 9 ? 4 ? 5 , ?c ? 2
x2 y2 ? ? 1 . ……………………………………… 2 分 9 5

椭圆 C 的方程为

(2)由(1)知 A(?3, 0), B(3, 0) ,

m ( x ? 3) ………………………………………1 分 12 m 直线 DB 的方程为 y ? ( x ? 3) ……………………………………… 1 分 6
直线 DA 的方程为 y ? 设点 M 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,点 N 的坐标为 ( x2 , y 2 ) ,

m ? ? y ? 12 ( x ? 3) ? 由? 2 2 ?x ? y ?1 ?9 5 ?
得 (5 ?



……………………………………… 1 分

9m 2 2 54m 2 92 m2 )x ? x? ? 45 ? 0 , 122 122 122
M ( x1 , y1 ) 是直线 DA 与此椭圆的两个交点,

由于 A(?3, 0),

所以

92 m2 ? 45 122 ? 3 ? x1 ? , 9m 2 5? 2 12
m 40 m 240 ? 3m 2 ( x1 ? 3) ? ,从而 y1 ? .…………2 分 2 12 80 ? m 2 80 ? m

解得 x1 ?

9



m ? ? y ? 6 ( x ? 3) ? ? 2 2 ?x ? y ?1 ?9 5 ?



……………………………………… 1 分

得 (5 ?

9m 2 2 54m 2 92 m2 ) x ? 2 x ? 2 ? 45 ? 0 , 62 6 6
N ( x2 , y 2 ) 是直线 DB 与此椭圆的两个交点,

由于 B(3, 0),

92 m2 ? 45 62 所以 3 ? x 2 ? , 9m 2 5? 2 6
解得 x 2 ?

m ? 20 m 3m 2 ? 60 ,从而 y 2 ? ( x 2 ? 3) ? . ………… 2 分 2 6 20 ? m 2 20 ? m

240 ? 3m 2 3m 2 ? 60 2 ? 若 x1 ? x 2 ,则由 ,得 m ? 40 2 2 80 ? m 20 ? m
此时 x1 ? x2 ? 1 ,从而直线 MN 的方程为 x ? 1 ,它过点 E (1, 0) ; 若 x1 ? x 2 ,则 m ? 40 ,
2

直线 ME 的斜率 k ME

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m 2 ?1 80 ? m 2 ? 20m 2 10m , ? 20 ? m ? 2 3m ? 60 40 ? m 2 ?1 20 ? m 2

直线 NE 的斜率 k NE

得 k ME ? k NE , 所以直线 MN 过点 E (1, 0) , 因此直线 MN 必过 x 轴上的点 E (1, 0) . ……………………………… 2 分

10

11


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