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2012—2013学年高三数学一轮复习精品资料——基础知识归纳


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2011 届高三数学一轮复习:基础知识归纳
第一部分 集合 1.理解集合中元素的意义 是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还 ..... 是因变量的取值?还是曲线上的点?? 2.数形结合 是解集合问题的常用方法:解题时要尽可

能地借助数轴、直角坐标系或韦恩 .... 图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法 解决 3.(1) 元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . (2)德摩根公式: CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B . (3)

A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ?
? CU A ? B ? R
注意:讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况. (4)集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2 n 个;真子集有 2 n –1 个;非空子集有 2 n –1 个; 非空真子集有 2 –2 个. 4. ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
n

第二部分 函数与导数 1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一. 2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ; ⑥利用均值不等式

a?b ab ? ? 2

a2 ? b2 ; ⑦利用数形结合或几何意义 (斜率、 距离、 2
x

绝对值的意义等) ;⑧利用函数有界性( a 、 sin x 、 cos x 等) ;⑨平方法;⑩ 导数法 3.复合函数的有关问题: (1)复合函数定义域求法: ① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值 域. (2)复合函数单调性的判定: ①首先将原函数 y ? f [ g ( x)] 分解为基本函数:内函数 u ? g ( x) 与外函数 y ? f (u ) ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4.分段函数:值域(最值) 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性:

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?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 .... ? f ( x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ; f ( x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) . ?奇函数 f ( x) 在 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ?在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性 ?若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性 6.函数的单调性: ?单调性的定义: ① f ( x) 在区间 M 上是增函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ② f ( x) 在区间 M 上是减函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ?单调性的判定:①定义法:一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式, 以利于判断符号;②导数法(见导数部分) ;③复合函数法;④图像法 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性: (1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f ( x ? T ) ? f ( x) (其中 T 为非零常数) , 则称函数 f ( x) 为周期函数, T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最 小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期:① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ; ③ y ? tan x : T ? ? ;④ y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos( ?x ? ? ) : T ?

2? ; |? |

⑤ y ? tan ?x : T ? (3)与周期有关的结论:

? |? |

f ( x ? a) ? f ( x ? a) 或 f ( x ? 2a) ? f ( x)(a ? 0) ? f ( x) 的周期为 2a
8.基本初等函数的图像与性质: ㈠.?指数函数: y ? a (a ? 0, a ? 1) ;?对数函数: y ? log a x(a ? 0, a ? 1) ;
x

?幂函数: y ? x

?

( ? ? R) ;?正弦函数: y ? sin x ;?余弦函数: y ? cos x ;
2

(6)正切函数: y ? tan x ;?一元二次函数: ax ? bx ? c ? 0 (a≠0) ;?其它常用函 数: ① 正比例函数: y ? kx(k ? 0) ; ②反比例函数: y ?

k a ③函数 y ? x ? (a ? 0) (k ? 0) ; x x

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m
m n

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㈡.?分数指数幂: a n ? n am ; a ?.① a ? N ? log a N ? b ;
b

?

?

1 a
m n

(以上 a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

?

② log a ?MN ? ? log a M ? log a N ;

M n ? log a M ? log a N ; ④ log am bn ? log a b . N m log m N log N ?.对数的换底公式: log a N ? .对数恒等式: a a ? N . log m a
③ log a 9.二次函数: ?解析式:①一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c ;②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) ? k , (h, k ) 为顶
2 2

点; ③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) (a≠0). ?二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象的对称轴方程是 x ? ?
2

? b 4ac ? b 2 b , 顶点坐标是 ? ? ? 2a , 4a 2a ?

? ? ?。 ?

10.函数图象: ?图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法 ?图象变换: ① 平移变换:ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , (a ? 0) ———左“+”右“-”; ⅱ) y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-”; ② 对称变换:ⅰ) y ? f ( x) ?? ?? y ? ? f (? x) ;ⅱ) y ? f ( x) ??? y ? ? f ( x) ;
( 0, 0 ) y ?0

ⅲ) y ? f ( x) ??? y ? f (? x) ; ⅳ) y ? f ( x) ??? ? x ? f ( y) ; ③ 翻折变换: ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———(去左翻右)y 轴右不动,右向左翻( f ( x) 在 y 左侧图象 去掉) ; ⅱ) y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———(留上翻下)x 轴上不动,下向上翻(| f ( x) |在 x 下面无 图象) ; 11.函数图象(曲线)对称性的证明: (1)证明函数 y ? f ( x) 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的 对称点仍在图像上; (2)证明函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象的对称性,即证明 y ? f ( x) 图象上任意点关于 对称中心(对称轴)的对称点在 y ? g ( x) 的图象上,反之亦然。
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x ?0

y?x

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注:①曲线 C1:f(x,y)=0 关于原点(0,0)的对称曲线 C2 方程为:f(-x,-y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为:f(-x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为:f(x, -y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为:f(y, x)=0 ②f(a+x)=f(b-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x=

③ y ? f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称 ? f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 2b .

特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x=a 对称. 特别地: y ? f ( x) 的图象关于点 (a, 0) 对称 ? f ?a ? x ? ? ? f ?a ? x ? .

a?b 对称; 2

④函数 y ? f ( x ? a) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? a 对称; 函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? 0 对称。 12.函数零点的求法: ?直接法(求 f ( x) ? 0 的根) ;?图象法;?二分法. (4)零点定理:若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)·f(b)<0 , 则 y=f(x)在(a,b)内至少有一 个零点。 13.导数: ?导数定义:f(x)在点 x0 处的导数记作 y ?
'

x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim
n ?1

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
'

?常见函数的导数公式: ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx
n ' ' x ' x

;③ (sin x) ? cos x ;
x

' ④ (cos x) ? ? sin x ;⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;⑦ (log a x) ?
x '

1 ; x ln a

⑧ (ln x) ?
'

1 。 x
u v u ?v ? uv? ; v2

?导数的四则运算法则: (u ? v)? ? u ? ? v?; (uv)? ? u ?v ? uv ?; ( )? ?

? ? ?(理科)复合函数的导数: y ? x ? yu ? u x ;
?导数的应用: ①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的 切线? ②利用导数判断函数单调性:i) f ?( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数;ii) f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为 减函数;iii) f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数; ③利用导数求极值:ⅰ)求导数 f ?( x) ;ⅱ)求方程 f ?( x) ? 0 的根;ⅲ)列表得极值。 ④ 利用导数求最大值与最小值:ⅰ)求极值;ⅱ)求区间端点值(如果有) ;ⅲ)比较 得最值。 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1.?角度制与弧度制的互化: ? 弧度 ? 180 , 1 ?
?

?

?
180

弧度, 1 弧度 ? (

180

?

) ? ? 57 ?18 '

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?弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ?

1 1 lR ? ?R 2 。 2 2

2.三角函数定义:角 ? 终边上任一点(非原点)P ( x, y ) ,设 | OP |? r 则:
sin ? ? y x y , cos? ? , tan? ? r r x

3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦; (简记为“全 s t c” ) 4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限” 5.? y ? A sin(?x ? ? ) 对称轴:令 ? x ? ? ? k? ?

?
2

,得 x ? ?;

对称中心:

(

k? ? ? ,0)(k ? Z ) ; ?
? y ? A cos( ?x ? ? ) 对称轴:令 ?x ? ? ? k? ,得 x ?
k? ?

k? ? ?

?

;对称中心:

?
2

??

(

?

,0)( k ? Z ) ;

?周期公式:①函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及 y ? A cos(? x ? ? ) 的周期 T ? 常数, 且 A≠0).②函数 y ? A tan??x ? ? ? 的周期 T ? 6.同角三角函数的基本关系: sin 2 x ? cos2 x ? 1; 7.三角函数的单调区间及对称性: ? y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k? ?

2?

?

(A、ω 、? 为

? (A、ω 、 ? 为常数,且 A≠0). ?

sin x ? tan x cos x

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?

k ? Z ,单调递减区间为

? 3? ? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? k ? Z ,对称轴为 x ? k? ? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? , 0 ? (k ? Z ) . ? 2 2 ? 2 ? ? y ? cos x 的 单 调 递 增 区 间 为 ? 2k? ? ? , 2k? ? k ? Z , 单 调 递 减 区 间 为

? 2 k? , 2 k? ? ? ? k ? Z ,
对称轴为 x ? k? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ? ? y ? tan x 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?

? , 0 ? (k ? Z ) . 2 ?

? ?

?
2

, k? ?

??

? k ? Z ,对称中心为 2?

? k? ? ,0 ? ?k ? Z ? . ? ? 2 ?
8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

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tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?
2 2 2 2
2 2

② sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ; cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos ? ? sin ? . ③ a sin ? ? b cos? = a ? b sin(? ? ? ) (其中,辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 所在的象限 决定, tan ? ?

b ). a
2

9.二倍角公式:① sin 2? ? 2 sin ? cos? . (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ② cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? (升幂公式).

cos 2 ? ?
10.正、余弦定理: ?正弦定理:

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? (降幂公式). ,sin 2 ? ? 2 2
( 2R 是 ?ABC 外接圆直径 )

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; ③

a b c a?b?c 。 ? ? ? sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
2 2 2

?余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 等三个; cos A ? 11.几个公式:?三角形面积公式:① S ?

b2 ? c2 ? a2 等三个。 2bc

1 1 1 aha ? bhb ? chc( ha、hb、hc 分别表示 a、 2 2 2 1 1 1 b、c 边上的高);② S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B .③ 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 S?OAB ? (| OA | ? | OB |)2 ? (OA ? OB)2 2
?内切圆半径 r= 2S ?ABC ; 外接圆直径 2R=
a?b?c

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

第四部分 立体几何 1.三视图与直观图:?画三视图要求:正视图与俯视图长对正;正视图与侧视图高平齐;侧 视图与俯视图宽相等。 ?斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。 2.表(侧)面积与体积公式: ?柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧= 2?rh ;③体积:V=S 底 h ?锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧= ?rl ;③体积:V=

1 S 底 h: 3 1 3
' '

' ?台体: ①表面积: S=S 侧+ S 上底 ? S 下底;②侧面积: S 侧= ? (r ? r )l ;③体积: V= (S+ SS ? S )

h; ?球体:①表面积:S= 4?R ;②体积:V= ?R
2

4 3

3

.

3.位置关系的证明(主要方法) :
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?直线与直线平行:①公理 4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。 ?直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行 ? 线面平行。 ?平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。 ?直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ?平面与平面垂直:①定义----两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 注:以上理科还可用向量法。 4.求角: (步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角) ?异面直线所成角的求法: ①平移法:平移直线,构造三角形;②用向量法 ?直线与平面所成的角: ①直接法(利用线面角定义) ;②用向量法 5.结论: ?棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截 面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成 比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与 小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. ?长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a,b,c,则体对角线长为 a ? b ? c
2 2 2



全面积为 2ab+2bc+2ca,体积 V=abc。
2 3 ?正方体的棱长为 a,则体对角线长为 3a ,全面积为 6a ,体积 V= a 。

?球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是 正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. ?正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面体的: ① 高:h ?

6 2 6 6 a ;②对棱间距离: a ;③内切球半径: a ;④外接球半径: a。 3 2 12 4
第五部分 直线与圆

1.斜率公式: k ?

y2 ? y1 ,其中 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) . x2 ? x1

直线的方向向量 v ? ?a, b ? ,则直线的斜率为 k = 2.直线方程的五种形式:

b (a ? 0) . a

(1)点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式: y ? kx ? b ( b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式: (4)截距式:

y ? y1 x ? x1 ? (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) x1 ? x2 , y1 ? y2 ). y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 (其中 a 、 b 分别为直线在 x 轴、 y 轴上的截距,且 a ? 0, b ? 0 ). a b (5)一般式: Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
3.两条直线的位置关系: (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,则:
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① l1 ∥ l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,则: ① l1 // l 2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且 A1C 2 ? A2 C1 ? 0 ;② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 . 4.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件; (2)作可行域,写目标函数; (3)确定目标函数的最优解。 5.两个公式: ?点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d ? Ax 0 ? By 0 ? C ;
A2 ? B 2

?两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离 d ? 6.圆的方程: ?标准方程:① ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2 2 2

C1 ? C 2 A2 ? B 2

;② x ? y ? r
2 2 2 2

2



?一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

( D ? E ? 4 F ? 0)
2 2

注:Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆 ? A=C≠0 且 B=0 且 D +E -4AF>0 7.圆的方程的求法:?待定系数法;?几何法。 8.点、直线与圆的位置关系: (主要掌握几何法) ?点与圆的位置关系: ( d 表示点到圆心的距离) ① d ? R ? 点在圆上;② d ? R ? 点在圆内;③ d ? R ? 点在圆外。 ?直线与圆的位置关系: ( d 表示圆心到直线的距离) ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。 ?圆与圆的位置关系: ( d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径,且 R ? r ) ① d ? R ? r ? 相离;② d ? R ? r ? 外切;③ R ? r ? d ? R ? r ? 相交; ④ d ? R ? r ? 内切;⑤ 0 ? d ? R ? r ? 内含。 9.直线与圆相交所得弦长 | AB |? 2 r ? d
2 2

第六部分

圆锥曲线

1.定义:?椭圆: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ; ?双曲线: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ; ?抛物线:|MF|=d 2.结论 :?直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ,或 AB ? x1 ? x 2 1 ? k 2 , 或 AB ? y1 ? y 2 1 ?
注:①抛物线: AB =x1+x2+p;②通径(最短弦) :ⅰ)椭圆、双曲线: 物线:2p.

1 . k2

2b 2 ;ⅱ)抛 a

?过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: mx ? ny ? 1 ( m, n 同时大于 0 时表示椭
2 2

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圆; ;当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 ?F1 PF2 最大; mn ? 0 时表示双曲线) ?双曲线中的结论:
2 2 2 2 ①双曲线 x ? y ? 1 (a>0,b>0)的渐近线: x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 b ②共渐进线 y ? ? x 的双曲线标准方程可设为 x ? y ? ? (? 为参数, ? ≠ 0) ; 2 2 a a b

③双曲线为等轴双曲线 ? e ?

2 ? 渐近线互相垂直;

?焦点三角形问题求解:利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3.直线与圆锥曲线问题解法: ?直接法(通法) :联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 注意以下问题:①联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程?②直线斜率不 存在时 考虑了吗?③判别式验证了吗? ?设而不求(点差法-----代点作差法) :--------处理弦中点问题 步骤如下:①设点 A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 k AB ?

y1 ? y 2 ? ?? ;③解决问题。 x1 ? x 2

4.求轨迹的常用方法: (1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式) ; (3) 代入法(又称相关点法或坐标转移法) ;?待定系数法; (5)消参法; (6)交轨法; (7) 几何法。 第七部分 1.平面上两点间的距离公式: d A, B ? 平面向量
2

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 2 ,其中 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) .

2.向量的平行与垂直: 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则: ① a ∥ b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; ② a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 3.a·b=|a||b|cos<a,b>= x 1 x2+y1y2; 注:①|a|cos<a,b>叫做 a 在 b 方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做 b 在 a 方向上的投影; ②a·b 的几何意义:a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。 4.cos<a,b>=

a ?b | a || b |



5.三点共线的充要条件:P,A,B 三点共线 ? OP ? xOA ? yOB且x ? y ? 1 。

??? ?

??? ?

??? ?

第八部分 1.定义:

数列

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(1)等差数列{a n} ? a n ?1 ? a n ? d (d为常数, n ? N ?) ? a n ? a n ?1 ? d (n ? 2) ? 2a n ? a n ?1 ? a n ?1 (n ? 2, n ? N *) ? a n ? k n ? b ? S n ? An 2 ? Bn
?等比数列 {a n } ?

a n ?1 2 ? q(q ? 0) ? a n ? a n -1 ? a n ?1 (n ? 2, n ? N ? ) an
等比数列

2.等差、等比数列性质: 等差数列 通项公式

a n ? a1 ? (n ? 1)d

a n ? a1 q n ?1
1.q ? 1时,S n ? na1 ; 2.q ? 1时,S n ? ? a1 ? a n q 1? q
n-m

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) 前 n 项和 S n ? ? na1 ? d 2 2

a1 (1 ? q n ) 1? q

性质

①an=am+ (n-m)d, ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ③ S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ,? 成 AP ④ a k , a k ? m , a k ? 2 m ,?成 AP, d ' ? md

①an=amq ; ②m+n=p+q 时 aman=apaq ③ S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ,? 成 GP ④ a k , a k ? m , a k ? 2 m ,? 成 GP, q' ? q
m

3.常见数列通项的求法: (n=1) ?定义法(利用 AP,GP 的定义) ;?累加法( a n ?1 ? a n ? c n 型) ;?公式法: a = S1 n Sn-Sn-1 (n≥2) ?累乘法 (

a n ?1 ? c n 型) ; ?待定系数法 ( a n ?1 ? kan ? b 型) 转化为 an ?1 ? x ? k (an ? x) an

(6)间接法(例如: a n ?1 ? a n ? 4a n a n ?1 ?

1 1 ; (7) (理科)数学归纳法。 ? ? 4) a n a n ?1

4.前 n 项和的求法:?分组求和法;?错位相减法;?裂项法。 5.等差数列前 n 项和最值的求法: ? S n 最大值 ?

?a n ? 0 ? ?a ? 0 ? ? 或S n 最小值? n ? ? ? a ? 0 a ? 0 n ? 1 n ? 1 ? ? ? ?

;?利用二次函数的图象与性质。

第九部分 不等式

a?b ? 1.均值不等式: ab ? 2

a2 ? b2 (a, b ? 0) 2

注意:①一正二定三相等;②变形: ab ? (

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? ( a, b ? R ) 。 2 2

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2.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有: (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值
2

1 2 s . 4

3.解一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) :若 a ? 0 ,则对于解集不是全集或空集时,对应 的 解集为“大两边,小中间”.如:当 x1 ? x2 , ?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x1 ? x ? x2 ;

?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x ? x2或x ? x1 .
2 2

4.含有绝对值的不等式:当 a ? 0 时,有:① x ? a ? x ? a ? ?a ? x ? a ;
2 2

② x ? a ? x ? a ? x ? a 或 x ? ?a . 5.分式不等式: (1)

f ?x ? f ?x ? (2) ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ; ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ; g ?x ? g ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 f ?x ? f ?x ? ?0?? ?0?? (3) ; (4) . g ?x ? g ?x ? ? g ?x ? ? 0 ? g ?x ? ? 0
? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
g ( x)

6.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时, a
f ( x)

?a

g ( x)

(2)当 0 ? a ? 1时, a

f ( x)

?a

? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ;log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

3.不等式的性质: ? a ? b ? b ? a ;? a ? b, b ? c ? a ? c ;? a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d

? a ? c ? b ? d ;? a ? b, c ? 0 ? ac ? bd ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;
a ? b ? 0, c ? d ? 0

? ac ? bd ;? a ? b ? 0 ? a n ? b n ? 0(n ? N ? ) ;? a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N ? )
第十部分 复数

1.概念: 2 ?z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z ≥ 0;?z=a+bi 是虚数 ? b≠ 0(a,b∈R); 2 ?z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠ 0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠ 0) ? z <0; ?a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;? z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;

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?

z1 (a ? bi)(c ? di) ? bd bc ? ad (z ≠ 0) ; = ? ac 2 ? i 2 z 2 (c ? di)(c ? di) c ? d 2 c2 ? d 2

3.几个重要的结论: ① (1 ? i) 2 ? ?2i ;② 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i; 1? i 1? i ③ i 性质:T=4; i
4n

? 1, i 4 n?1 ? i, i 4 n? 2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n ?1 ? i 4? 2 ? i 4n ?3 ? 0;

4.模的性质:? | z1 z 2 |?| z1 || z 2 | ;? |
2

z1 |z | |? 1 ;? | z n |?| z | n 。 z2 | z2 |

5.实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的解:

?b ? b 2 ? 4ac b 2 ;②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数
2 ①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?

根x?

?b ? ?(b 2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a
第十一部分 概率

1.事件的关系: ?事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ; ?事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B; ?并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或 B 发生,记作 A ? B(或 A ? B ) ; ?并 (积) 事件: 某事件发生, 当且仅当事件 A 发生且 B 发生, 记作 A ? B(或 AB ) ; ?事件 A 与事件 B 互斥:若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ) ,则事件 A 与互斥; ?对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。 2.概率公式: ?互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ?古典概型: P( A) ?

A包含的基本事件的个数 ; 基本事件的总数 构成事件A的区域长度(面积或体积等) ; 试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)
第十二部分 统计与统计案例

?几何概型: P( A) ?

1.抽样方法: ?简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为

n ; N

②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数表法。 ?系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的规则,
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从 每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号;④ 按预 先制定的规则抽取样本。 ?分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情 况, 将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ?

n N

注:以上三种抽样的共同特点是:在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 2.频率分布直方图与茎叶图:?用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分 布直方图。 ?当数据是两位有效数字时, 用中间的数字表示十位数, 即第一个有效数字, 两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎 上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。 3.总体特征数的估计:
n ?样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? x i ;

n

n

i ?1

n ?样本方差 S 2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( x ? x ) 2 ; i n n i ?1
n ?样本标准差 S ? 1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ? ? ( xn ? x )2 ] = 1 ? ( x ? x ) 2 i

n

n

i ?1

3.相关系数(判定两个变量线性相关性) :

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(? xi 2 ? nx 2 )(? yi 2 ? ny 2 )
i ?1 i ?1

n

n

注:? r >0 时,变量 x, y 正相关; r <0 时,变量 x, y 负相关;?当 | r | 越接近于 1,两 个变量的线性相关性越强;当 | r | 越接近于 0 时,两个变量之间几乎不存在线性相关关 系。 4. 回归直线方程
n ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ? i ?1 ?b ? ? n ? 2 y ? a ? bx ,其中 ? ? xi ? x ? ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

第十三部分 1.程序框图:

算法初步

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?图形符号: ① 终端框(起止框) ;② ③

输入、输出框;

处理框(执行框) ;④ 判断框;⑤ 流程线 ; ?程序框图分类: ①顺序结构: ②条件结构: ③循环结构: r =0? 否 求 n 除以 i 的余数 输入 n 是 n 不是质数 n 是质数 i=i+1 i=2 i ? n 或 r=0? 否 是 注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while 型) ——先判断条件,再执行循环体; Ⅱ.直到型(until 型)——先执行一次循环体,再判断条件。 2.基本算法语句: ?输入语句 INPUT “提示内容”;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容”;表达式 赋值语句: ?条件语句:① IF 条件 THEN 语句体 END IF 变量=表达式 ② IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF ②直到型: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

?循环语句:①当型: WHILE 条件 循环体 WEND

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1.充要条件的判断: (1)定义法----正、反方向推理 注意区分: “甲是乙的充分条件(甲 ? 乙) ”与“甲的充分条件是乙(乙 ? 甲) ” (2)利用集合间的包含关系:例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条 件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件。 2.逻辑联结词: ?且(and) :命题形式 p ? q; p ?或(or) : 命题形式 p ? q; 真 ?非(not) :命题形式 ? p . 真 假 假 3.四种命题的相互关系

q 真 假 真 假

p?q p?q 真 真 假 真 假 真 假 假

?p
假 假 真 真

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原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 为 逆

互逆 互 为 逆 否 互逆

逆命题 若q则p 互 否

逆否命题 若非q则非p

4。四种命题: ?原命题:若 p 则 q; ?逆命题:若 q 则 p; ?否命题:若 ? p 则 ? q; ?逆否命题:若 ? q 则 ? p 注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 5.全称量词与存在量词 ?全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用 ? 表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。

?存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用 ? 表示; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 6.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1)个

p 或q p 且q
第十五部分

?p 且 ?q ?p 或 ?q
推理与证明

1.推理: ?合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进 行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具 有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ?演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:?大前提---------已知的一般结论;?小前提 ---------所研究的特殊情况; ?结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

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2.证明: ?直接证明 ①综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系 列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺 推法或由因导果法。 ②分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) ,这种证明 的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 (2)间接证明(反证法) :一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾, 因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。

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