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1.3交集、并集(学案及练习题)老师


1、3 交集
引入:利用韦恩图得到交集与并集的定义

并集(第一课时)

引入一:

<1>上述问题中集合 A、 B 与集合 C 之间有什么关系?类比实数的加法运算, 你发现了什么? <2>请你分别用文字语言、图形语言和符号语言来叙述上述问题中,集合 A、B 与集合 C 之间 的关系.

<3>根据上述分析,你能给出并集的一般定义吗?请叙述之.

结论:<1>集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运 算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的 .集合 C 叫集 合 A 与 B 的并集,记为 ,读作 . <2>文字语言: 属于集合 A 属于 集合 B 的元素所组成了集合 C;符号语言: ;图形语言:如上图 所示. <3>一般地,由 属于集合 A 属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集 合A与B的 ,记为 , (读作 ) ,即: . 引入二:
材料一:如下图所示,观察集合 A={1,2,3}、B={2,3,4}与集合 C={1,2,3,4}之间的关 系.

A 1

2, 3

B 4

A 1,2,3

B 2,3,4

材料二:?已知集合 A={1,2,3},B={2,3,4},写出由集合 A,B 中的所有元素组成的集合 C. ?已知集合 A={x|x>1},B={x|x<0},在数轴上表示出集合 A 与 B,并写出由集合 A 与 B 中 的所有元素组成的集合 C.

结论:<1>集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运 算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合 C 叫集
1

合 A 与 B 的并集,记为 A∪B=C,读作 A 并 B. <2>文字语言:所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所组成了集合 C;符号语言:C={x|x∈A,或 x∈B};图形语言: 如上图所示. <3>一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集,记为 A∪B=C, (读作“A 并 B” ) ,即:C={x|x∈A,或 x∈ B}. 知识点:
一、交集:____________________________________________,记作_______,读作______ 注:1、关键词:________________________________ (1) 符号表示:_______________________________ (2) ____________________________________________________________________ 2、韦恩图: A ? B ? ?

A? B ? ?

二、并集:_________________________________________记作_________,,读作______ 注:1、 “或”包含三层含义:_______________________________ 2、符号表示:___________________________________________ 3、韦恩图: A ? B ? ?

A? B ? ?

练习: (1) 、 A ? ?x | x ? 3?, B ? ?x | x ? ?2?,求 A ? B

注:不等式的解集通常用数轴表示。 (2) 、设 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?, B ? ?x | 1 ? x ? 3?,求 A ? B

(3)设 A ? x | x是等腰三角形 , B ? x | x是直角三角形 ,求 A ? B

?

?

?

?

(4) 、 A ? ?( x, y) y ? ?4 x ? 6? , B ? ?( x, y) | y ? 5x ? 3?,求 A ? B
2

(5)设 A ? ?4,5,6,8?, B ? ?3,5,7,8?,求 A ? B (注意元素的互异性)

(6) A ? x | x是锐角三角形 , B ? x | x是钝角三角形 ,求 A ? B

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三、交集、并集的性质: (1) A ? A ? A , A ? ? ? ? , A ? B ? B ? A

A ? A ? A, A ?? ? ? , A ? B ? B ? A
(2) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) , ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) (3) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) , A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) (4) A ? B ? A(或B) ? A ? B (5) A ? B 且 A ? C ? A ? B ? C (6) A ? B ? A ? A ? B , A ? B ? A ? B ? A (7) A ? (CU A) ? U , A ? (CU A) ? ? (8) CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) , CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) (此性质叫德摩根率或反演率,由课本 14 页例 8 可得。画韦恩图) 注意: (1)判断: A ? B ? A ? C ? B ? C ( ) A? B ? A?C ? B ? C ( ) (2) ? 是 A ? B 的真子集,说明 A ? B 。

(3) A ? B ? A ? A ? B (注意讨论 A 是否为 ? )

3

交集、并集主要题型
题型一:交集问题

2 2 例 1、已知集合 M ? x y ? x ? 1 , N ? x y ? ?2? x ? 3? ,那么 M ? N ? (

?

?

?

?



A

? 5 2 6? ? ? ??x, y ? x ? , y ? ? ? 3 3 ? ? ? ?

B

?x ?1 ? x ? 3? ?

C

?? 1 ? x ? 3?

D xx?3

?

练习:

2 2 1、 设集合 A ? x y ? 2 x, x ? R , B ? x y ? x ? 1, x ? R ,则 A ? B ? 2 2 2、 集合 M ? ? x, y ? x ? y ? 1, x ? R, y ? R ,

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集合 N ? y 2x ? y ? 3 ? 0, x ? R, y ? R ,则 M ? N ? 3、 M ? ? 圆?, N ? 直线 ,则 M ? N ? 4、 M ? ?x, y ? x ? y ? 1, x ? R, y ? R , N ? ?x, y ? x ? y ? 3, x ? R, y ? R ,则

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M ?N ?
5、 A ? x x ?2k ? 1, k ? N

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?, B ? ?x x ?k ? 3, k ? N?,则 A ? B ?

例 2、设集合 U ? ? 1,2,3,4,5,6,7? , P ? ? 1,2,3,4,5?, Q ? ?3,4,5,6,7? ,求(1) P ? Q (2) P ? CU Q

练习:设 A ? a ? 1,3,5 , B ? 2a ? 1, a 2 ? 2a, a 2 ? 2a ? 1 ,当 A ? B ? ?2,3? 时,求 A,B

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例 3、设集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x 0 ? x ? 4 ,求 A ? B

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练习 1、 设集合 A ? x 0 ? x ? 2 , B ? x m ? x ? m ? 1 ,若 A ? B ? B ,求 m 的取值范围

? ?

? ?

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2、 设集合 A ? x 0 ? x ? 2 , B ? x 2m ? x ? m ? 1 ,若 A ? B ? B ,求 m 的取值范围
4

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题型二:并集问题 例 1、 A ? ? 1,2,3,4,5?, B ? ?2,3,5,7? ,求 A ? B

例 2、 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x 0 ? x ? 4 ,求 A ? B

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2 2 例 3、 P ? y y ? x ? 1, x ? R , Q ? y y ? 5 ? x , x ? R ,求 P ? Q

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例 4、设 M ? ? 1,3, x?, N ? x 2 ? x ? 1 ,若 M ? N ? M ,则 x 的值为

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题型三:利用韦恩图解决交、并、补问题 例 1、已知全集 U,M、N 为 M 的两个非空子集,若 CU M ? N ,则( A M ? CU N B M )

CU N

C CU M ? CU N

DM ? N

例 2、 设 M, N 是非空集合, 且 M ? N ? U(U 为全集) , 则下列集合表示空集的是 ( A M ? ?CU N ? B ?CU M ? ? N C ?CU M ? ? ?CU N ? DM ? N



例 3、设全集 M ? ? 1,2,3,4,0?,集合 A ? ? 1,2,3,0?,集合 B ? ?2,3,4? ,则 ?CU A? ? ?CU B? ? ( A ?0? ) B ?0,1? C ?0,1,4? D ?0,1,2,3,4?

练习 1、若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有( A A?C B C?A C A?C D A??



2、 若集合 S ? 小于 且 ?CS A? ? B ? ? 10的正整数 ,A ? S ,B ? S , 1 , 9?,A ? B ? ?2?,

?

?

?CS A? ? ?CS B? ? ?4, 6, 8?,求 A 和 B
5

题型四:与方程有关的集合问题(含参数问题)

2 2 2 例 1: A ? x x ? 4 x ? 0 , B ? x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 , 若A ? B ? B, 求a的值

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2 2 练习 1: 已知 A ? x x ? px ? q ? 0 , B ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 ,且 A ? B ? B ,

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求 p,q 的值或关系式

2 2 2: S ? x 2 x ? px ? q ? 0 , T ? x 6 x ? ( p ? 2) x ? q ? 5 ? 0

?

?

?

?

且 S ?T ? ? ? 求 S ?T

?1 ? ?2?

例 2: A ? x x ? m x ? 1 ? 0 , 若A ? R ? ?, 求实数m的范围
2

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例3

A ? x x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0 , B ? x x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 , C ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 且A ? B ? ?, A ? C ? ?求a的值

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6

思考题:已知全集 U ? ? 1,2,3,4,5?, A ? x x 2 ? 5 x ? q ? 0, x ? U , 求C u A及q的值

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例4

A= x x ? a , B = x 1 ? x ? 2 , A ? (C R B) ? R ,求 a 的取值范围

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例5

2 A= x x ? ax ? x ? a, a ? R , B = x 1 ? x ? 3 ,若 A ? B ? B ,求 a 的取值范围

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题型五 容斥原理(集合元素个数问题) (见课本阅读材料) 有限集合 A 的元素个数记为 Card(A),则 (1)Card(A ? B)= Card(A)+ Card(B)-Card(A ? B ), (2)Card(A ? B ? C )=Card(A)+ Card(B)+ Card(C) - Card(A ? B )- Card(B ? C ) -Card(A ? C )+ Card(A ? B ? C ), 例 1 某班有 25 名学生参加数学竞赛,有 18 名学生参加物理竞赛,有 6 名学生既参加数学 竞赛又参加物理竞赛,问这个班共有多少学生参加竞赛?

练习 某地对 100 名农户的生活情况做了调查。统计结果:有彩电的 65 户,有冰箱的 84 户 两者都有的 53 户, (1)问彩电冰箱至少有一种的有几户? (2)若两者全无的只有 2 户,问统计结果正确吗?

例 2 某班级共有 50 名学生,已知全班有 25 名学生参加数学竞赛,有 33 名学生参加物理 竞赛,则同时参加两者的人数的最大值和最小值

8


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