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高二数学下册期末考试试卷


高二数学下册期末考试试卷
高 二 年 级 数 学 ( 理 科 ) 本试卷共 20 题,满分为 160 分,考试时间为 120 分钟 一. 填充题 填充题(本大题共 14 个 小 题 , 每 小 题 5 分 , 计 70 分 ) 1. 已 知 A11 = 11 × 10 × L × 6 , 则 m = m 6 的 圆 心 的 极 坐 标 是 (1, π 2) .1 ? ?

x = ?2 2 + 2 t ? x = 1 + cos θ ? 3. 曲线 C1 : ? (θ 为参数)上的点到曲线 C 2 : ? (t 为参数) 上的点 1 ? y = sin θ ? y = 1? t ? ? 2 的 最 短 距 离 为 1 . 4.设随机变量 ξ 的分布列为 P (ξ = i ) = m( ) , i = 1, 2,3, 4 ,则 m 的值为 i1 216 15 标 为 A(3, 3, (4, ?3, 7), C (0,5, 1) , 则 BC 边 上 的 中 线 长 为 3 6. 如 图 , 在 空 间 四 边 形 OABC 中 , 已 知 E 是 线 段 BC 的 中 点 , G 是 AE 的 C E G O A uuur uuu uuu uuur r r r r r r r r 中点,若 OA, OB, OC 分别记为 a, b, c ,则用 a, b, c 表 示 OG 的 结 果 为 uuur 1r 1r 1r OG = a+ b+ c 2 4 4 n + (n + 1) + L + (3n ? 2) = (2n ? 1) 2 8. B 7.从 1 = 12 , 2 + 3 + 4 = 32 ,3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 52 中归纳出的一般结论为: . . ? 5 1? ?a b ? ? 的 逆 矩 阵 为 ? c d ? , 则 a + b + c + d = 0 ? 7 3? ? ? 9.甲乙两队进行排球比赛,采用五局三胜制,已知每局比赛中甲胜的概率为 则在甲队以 2:0 领 先 的 情 况 下 , 乙 队 获 胜 的 概 率 为 2 1 , 乙 胜 的 概 率 为 , 3 3 1 27 . 设 矩 阵 ? . 5. 已 知 ?ABC 的 2), 三 个 顶 B 点 坐 2. 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ρ = 2sin θ

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10.在平面上画 n 条直线,且任何两条直线都相交,任何三条直线都不共点.设这 n 条 直 线 将 平 面 分 成 f ( n) 个 部 分 , 则 f ( k + 1) ? f ( k ) = k +1 . 11.一个与自然数有关的命题,若 n = k ( k ∈ N ) 时命题成立可以推出 n = k + 1 时 命 题 也 成 立 . 现 已 知 n = 10 时 该 命 题 不 成 立 , 那 么 下 列 结 论 正 确 的 是 : ③ ⑤ ( 填 上 所 有 正 确 命 题的序号)① n = 11 时该命题一定不成立;② n = 11 时该命题一定成立;③ n = 1 时该命 题一定 不成立;④至少存在一个自然数 n0 ,使 n = n0 时该命题成立;⑤该命题可能对所有 自 然 数 都 不 成 立 12.若把英语单词“ good ”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有 11 种. 13.把 4 名男乒乓球选手和 4 名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混合双打表演 赛, 不同的 比赛分配方法有 72 种 (混合双打是 1 男 1 女对 1 男 1 女, 用数字作答)。 14. 已 知 ? x ? 2 ? ? 1 ? 且当 x ∈ [0,1] ? 的展开式中的常数项为 T , f ( x) 是以 T 为周期的偶函数,5x3 ? 5 时, f ( x ) = x ,若在区间 [ ?1,3] 内,函数 g ( x ) = f ( x ) ? kx ? k 有 4 个 零 点 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ? 1? ? 0, ? ? 4? . 二 . 解 答 题 ( 本 大 题 共 6 个 小 题 , 计 90 分 ) 解 答 题 15.(本题 15 分)某班从 4 名男同学和 2 名女同学中任选 3 人参加全校举行的 “八荣 八耻”教育 演讲赛。如果设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女同学的人数. ( 1) 若 ξ ≤ 1 , 求 共 有 不 同 选 法 的 种 数 ; ( 2) 求 ξ 的 分 布 列 和 数 学 期 望 ; 1 2 3 ( 3) 求 “ ξ ≥ 1 ” 的 概 率 。 解 : ( 1) C2C4 + C4 = 16 , 所 以 共 有 不 同 选 法 的 种 数 为 16; … … … … 4 分 ( 2) 易 知 ξ 可 能 取 的 值 为 0,1,2 . P ( ξ = k ) = 所 以 , ξ 的 分 布 列 为 3 C2k .C4 ? k , k = 0,1, 2. 3 C6 ξ P 0 1

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2 1 3 1 … 1 5 5 5 分 (

… … … … 10 3 1 5 5 5 3) “ 所 选 3 人 中 女 同 学 人 数 ξ ≥ 1 ” 的 概 率 为 : 4 P ( ξ ≥ 1) = P ( ξ = 1) + P ( ξ = 2) = 。 … … … 15 分 5 2) E ξ = 0 × + … … … … … … … … … 12 分









( ξ 的 数 学 1 × + 2 期 × 望 = 为 : 1 ;

16.(本 题 16 分 ) 已 知 二 项 式 ( x + ) 的 展 开 式 中 前 三 项 的 系 数 成 等 差 数 列 . n 1 ( 2) 设 n 1 ① ② n ③ 1 ( 1) x + 求 ) = a0 + 2 求 求 a0 ? a5 a1 1) 的 + a2 an 值 ? ; a3 + 的 大 L 值 + 值 ( n a1 x + 的 a2 x 值 + L + ; an x 2 ( . n 2 . ? ;

ai (i = 0,1, 2,L n) 的 最 1 解 : ( 1)由题设,得 C0 + × C2 = 2 × × C1 , ………………………3 分 n n n 4 2 即 n 2 ? 9n + 8 = 0 , 解 得 n = 8 , n = 1 ( 舍 去 ) . … … … … … … … … 4 分 ( 2) ① Tr +1 = C8r x8? r ? 7 ?1? ? , 令 8 ? r = 5 ? r = 3 ∴ a5 = … … … … … … … … … 7 分 4 ?2? 1 … … … … … … … … … 10 分 256 r ② 在 等 式 的 两 边 取 x = ?1 , 得 a0 ? a1 + a2 ? a3 + L + a8 = 1 r +1 ?1 r ? 2r C8 ≥ 2r +1 C8 , ? ③设第 r+1 的系数最大,则 ? ………………… 12 分 ? 1 Cr ≥ 1 Cr ?1 . ? 2r 8 2r ?1 8 ? 1 ? 1 ? 8 ? r ≥ 2(r + 1) , ? 即 ? 解 得 r = 2 或 r = 3 . … … … … … … … … … … 14 分 ?1 ≥ 1 . ? 2r 9 ? 1 ? 所 以 ai 系 数 最 大 值 为 7 . … … … … … … 16 分



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17. ( 本 题 15 分 ) 已 知 矩 ?4? ?9 ? ? , α = ? ?1? , 且 A α 1) 求 实 数 x, y 的 值 ; ?2 y 3) 20 ( α 解 2)求 A 的 特征 值 λ1 , λ2 (λ 1 > λ 2 ) 及 对应 的 特征 向 量 α1 , α 2 ; . : ( 1) A α = ? 计 算 阵 = ? A = ? 4 ? . ? ? ? ? ( ? A

?x (

3?

2 ? x 3 ? ? 4 ? ? 4 x ? 3 ? ?9 ? ? x = 3 ………………………3 分 ?? ? = ? ?=? ??? ? 2 y ? ? ?1? ? 8 ? y ? ? 4 ? ? y = 4 ( 2) 由 λ ? 7 λ + 6 = 0 ? λ 1 = 6, λ 2 = 1 … … … … … … … … … 5 分 设 α 1 = ? uu ?1? r uu ?3 ? r ? x1 ? ? 3 3 ? ? x1 ? ?6 x1 ? ? , ? 2 4 ? ? y ? = ?6 y ? ? 可 取 α1 = ?1? ,同样可得α 2 = ? ?2 ? …………9 分 ? ? 1? ? 1? ?? ? ? ? y1 ? ? ( 3) 令 ? ?4? ?1? ?3 ? ? m + 3n = 4 ?m = 1 ? = m ?1? + n ? ?2 ? ? ?m ? 2n = ?1 ? ? n = 1 … … … … … … … … … 13 分 ? ?1? ?? ? ? ? ? 所 以 A20 α = 620 α 1 + 120 α 2 = ? uu r uu r ? 620 + 3 ? ? … … … … … … … … … 15 分 20 ?6 ? 2? 18. (本题 14 分)如图, 已知 P 、O 分别是正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 上、 下底 的 中 心 , E 是 的 中 点 , AB = kAA1 . ( 1) 求 证 : A1 E ∥ 平 面 PBC ;

面 AB (

2) 当 k = 2 时 , 求 直 线 PA 与 平 面 PBC 所 成 角 的 正 弦 值 . 解:以点 O 为原点, 直线 OA、 OB、 OP 所在直线分别为 x、 y、 z 轴, 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 不 妨 设 AB = 2 2 , 则 得 2 2 2 2 ) 、 E (1,1, 0) 、 P(0, 0, ) 、 B(0, 2, 0) 、 C (?2, 0, 0) … 2 分 k k uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r 2 2 2 2 ( 1) 由 上 得 A1 E = (?1,1, ? ) 、 BC = (?2, ?2,

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0) 、 PB = (0, 2, ? ) ,设 A1 E = x ? BC + y ? PB 得 k k uuuu 1 uuu uuu r r r 2 2 2 2 1 (?1,1, ? ) = x ? (?2, ?2, 0) + y ? (0, 2, ? ) 解得 x = , y = 1 , ∴ A1 E = BC + PB ……6 分 2 2 k k A1 (2, 0, Q BC ∩ PB = B , A1 E ? 平 面 PBC ∴ A1 E ∥ 平 面 PBC uuu r uuu r … 8 分 uuu r \_ ( 2) 当 k = 2 时 , 由 P(0, 0, 2) 、 A(2, 0, 0) 得 PA = (2,0, ? 2) 、 BC = (?2, ?2, 0) 、 PB = (0, 2, ? 2) r uuu r r r ? n ? BC = 0 ?1+ α = 0 ? , 得 ? , n = (1, ?1, ? 1) …11 分 设平面 PBC 的法向量为 n = (1, α , β ) ,则由 ? r uuu r ?α ? β = 0 ? n ? PB = 0 ? uuu r r uuu r r PA ? n 6 6 r sin ? PA, ? = uuu r = n ,∴直线 PA 与平面 PBC 所 成 角 的 正 弦 值 . … … … 14 分 3 3 | PA | ? | n | 19. (本题 16 分)已知在平面直角坐标系 xoy 中, 关于原点的伸压变换 Ti (i = 1, 2, 3,L) 对 应 的 矩 阵 为 ? ? λ i ?0 0? x2 y2 , 其 中 λ i ( λ i > 0) 称 为 伸 压 比 . ( 1) 若 双 曲 线 C1 的 方 程 为 ? = 1 , 伸 压 比 λ i ? 9 4 ? λ1 = 2 , 求 C1 在 “ 伸 压 变 换 T1 ” 作 用 后 所 得 双 曲 线 C 2 的 标 准 方 程 ; ( 2) 如 果 椭 圆 x2 y2 C 1: + = 1 经“伸压变换 T2 ”后得到椭圆 C 2 ,且 C2 的焦距为 6,求伸压比 λ2 的 值 ; ( 3) 16 4 对 抛 物 线 C 1 : y 2 = 2 p1 x , 作 变 换 T1 , 得 抛 物 线 C 2 : y 2 = 2 p 2 x ; 对 C 2 作 变 换 T2 得 抛 物 线 C 3:y 2 = 2 p3 x , 如 此 进 行 下 去 , 对 抛 物 线 C n:y 2 = 2 p n x 作 变 换 Tn , 得 抛 物 线 1 C n+

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1:y 2 = 2 p n+1 x , .若 p1 = 1, λ n = ( ) n ,求数列 { pn } 的通项公式 p n . L 2 解 :( 1)设 P ( x, y ) 是 C2 上任一点, P ( x1 , y1 ) 是 C1 上与之对应的点,则 1 ? x = ? 2 0 ? ? x1 ? ? x ? ? 1 ? ?0 2? ? y ? = ? y ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ?y = ? 1 ? ( 2) 同 样 可 得 C2 的 方 程 为 ( 3) 对 x x2 y 2 2 ? ? = 1 … … … … … … … … … 4 分 y 36 16 2 x2 y2 3 + 2 = 1 ∴ 12c 2 = 9 ? λ = … … … … … … … … … 8 分 2 16 λ 4 λ 2 Cn x : y 2 = 2 pn x 作 变 换 Tn 得 抛 物 线 C n+1 : ( y λ n ) 2 = 2 pn( λ )? y 2 = 2 pn λ n x ∴ pn +1 1 = λ n = ( ) n , … … … … … … … … … 12 分 pn 2 p3 p n - 1 pn p2 p4 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ( n2? 1) 所 以 ? ? ?L ? ? = ( ) ? ( ) ? ( ) ?L ? ( ) = ( ) , 又 p1 p2 p3 p n?2 p n ?1 2 2 2 2 2 1 n ( n2? 1) p1 = 1, ∴ pn = ( ) … … … … … … … … … 16 分 2 20. (本题 14 分)曲线 C1 的极坐标方程是 ρ = cos θ , C2 的极坐标方程为 ρ = 1 cos θ , 点 A 的 极 坐 标 是 (2, 0) .( 1)求曲线 C1 上的动点 P 到点 A 距离的最大值; 绕点 A 旋转一周而形成图形的面积. : ( 1) 方 程 ρ = cos θ 表 示 圆 心 在 ( ,

+



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( 2) C2 平 面 内 1 2 1 的 圆 , 所 以 曲 线 C1 上 的 动 点 P 到 点 A 距 离 的 2 最 大 值 为 2 … … … 4 分 ( 2)设 P ( ρ ,θ ) 是曲线 C 上的任意一点,则 | OP |= ρ = 1 + cos θ ,由余弦 定 理 , 得 | AP |2 =| OP |2 + | OA |2 ?2 | OP | ? | OA | cosθ = (1 + cosθ )2 + 2 2 ?4(1 + cos θ )cos θ = 16 1 ? 3(cos θ + )2 3 3 1 16 当 cos θ = ? 时 , | AP | 有 最 大 值 为 … … … 10 分 3 3 将 点 A ( 2 , 0)代入曲线 C 的极坐标方程,是满足的,知点 A 在曲线 C 上………12 分 所以曲线 C 在它所在的平面内绕点 A 旋转一周而形成的图形是以点 A 为圆心、 | AP |= 半径的圆, 其 面 积 为 16 为 3 16 π .………14 分 3 0) 求 , 半 在 它 径 所 在 为 的


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