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广东省佛山市第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题(2)


2014 学年度上学期期中考试高二理科数学试题
命题人:黄俊斌 参考公式:台体体积 : V = 审题人:何历程

1 ( S上底 + S下底 + 3

S上底 S下底 )h

锥体体积:V ?

1 Sh , 球体体积: 3

V ?

4 ?R 3

3

球表面积:

柱体体积:

V ? Sh

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
1 、 已 知 空 间 中 两 点 A(1 , 2 , 3) , B(4 , 2 , a) , 且

AB = 10, 则 a=(
A. 1 或 2 B.1 或 4

) C.0 或 2 D.2 或 4 )

2、某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(

A.

8?

2? 3

B.

8?

?
3
C. 8 ? 2?

2? D. 3

3、在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长等于(
2 2

)

A. 3 3

B. 2 3

C. ?

D. ? )

4、直线 a,b,c 及平面α ,β ,γ ,下列命题正确的是(

A、若 a ? α ,b ? α ,c⊥a, c⊥b 则 c⊥α B、若 b ? α , a//b 则 a//α C、若 a//α ,α ∩β =b 则 a//b D、若 a⊥α , b⊥α 则 a//b 5、 a, b 是异面直线,下面四个命题: ①过 a 至少有一个平面平行于 b; ②过 a 至少有一个平面垂直于 b; ③至多有一条直线与 a,b 都垂直;④至少有一个平面与 a,b 都平行。 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6、 如图, 四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形, SD ? 底面 ABCD, 则下列结论中不正确的是( ) A、AC⊥SB B、AB∥平面 SCD C、SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D、AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角
2 2 7、任意的实数 k,直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系一定是(



A.相离

B.相切

C.相交但直线不过圆心

D.相交且直线过圆心

8、在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 , 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点, 使 得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是( A、 )

3 2

B、

4 3

C、

5 4

D、

6 5

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
9、经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 .

10、以点(2,-1)为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是_______________________ 11、与 直线 5x ? 12y ? 1 ? 0 平行,并且与其距离等于 2 的直线方程是_____________ 12、若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 13、已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC= 2 3 ,则棱锥 O-ABCD 的体积为_____________. 14、如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号). ①当 0 ? CQ ? ②当 CQ ?

1 时,S 为四边形; 2

1 时,S 为等腰梯形; 2 3 1 ③当 CQ ? 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1 R1 ? ; 4 3 3 ④当 ? CQ ? 1 时,S 为六边形; 4
⑤当 CQ ? 1 时,S 的面积为

6 . 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,15、16 两题各 12 分,其余各题 14 分,共 80 分。需 有必要的运算及推理过程,答案写在答卷上)
15、 (12 分)已知圆 C 过点 A( 3 ? 1 ,0) 、B( 1 ? 3 ,0) ,半径为 2,且圆心在 X 轴上方。 (1)求圆 C 的方程 (2)求圆 C 关于直线 3x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程。

S
E
F

G

A

C

16、(12 分)如图,在三棱锥 S ? ABC 中, 平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB , 过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F , 点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

17、 (14 分)已知:以点 C(t,

2 ) ( t ? R, t ? 0 )为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、 t

B,其中 O 为坐标原点。 (1)求证: ?OAB 的面积为定值。 (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M、N,若 OM=ON,求圆 C 的方程。

18、(14 分)如图,四棱锥 S ? ABCD 中,

AB // CD , BC ? CD , 侧 面 SAB 为 等 边 三 角 形 ,

AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1.
(Ⅰ)证明: SD ? 平面SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.

19、 (14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A 侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的中点, 1B 1C1 中,

A1 A ? AB ? 2 .
(1) 求证: AB1 // 平面 BC1D ;

A1

A

3 (2) 若四棱锥 B ? AAC 1 1D 的体积为 ,
求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.
B1

D

B

C1

C

20、(14 分) 已知圆 C: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 ,一动直线 l 过 A(-1,0)与圆 C 相交于 P、Q 两点,M 是 PQ 的中点, l 与直线 m: x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于 N. (1)求证:当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C; (2)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程; (3)探索向量 AM 与向量 AN, AM ? AN 是否与直线 l 的倾斜角有关, 若无关, 请求出其值; 若有关, 请说明理由。

2014 学年度上学期期中考试高二理科数学试题答卷
座位号: 一.选择题:把正确答案的选项符号填涂在答题卡上! 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把正确答案填在答题卷上 试室号: 9._____________; 10.________________; 11.__________________



12._____________; 13.________________; 14._____________________; 三.解答题(共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 12 分)

姓名:



S
班级: 16.(本题满分 12 分)

E A

F

G
C

B
线

考号:

17.(本题满分 14 分)

18.(本题满分 14 分)

19.(本题满分 14 分)

A1

A

D B1

B

C1

C

20.(本题满分 14 分)

2014 学年度上学期期中考试高二理科数学试题参考答案
一.选择题 题号 答案 二.填空题 9、 x ? y ? 1 ? 0
2 2 10、 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?

1 D

2 A

3 B

4 D

5 C

6 D

7 C

8 B

25 2
12、

11、 5x ? 12y ? 27 ? 0 或 5x ? 12y ? 25 ? 0

3 ? 3

13、 8 3

14、①②③⑤

三、解答题
15、 (12 分)已知圆 C 过点 A( 3 ? 1 ,0) 、B( 1 ? 3 ,0) ,半径为 2,且圆心在 X 轴上方。 (1)求圆 C 的方程 (2)求圆 C 关于直线 3x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程。 解: (1) x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0
2 2

----------------------------------4 分

(2)C(1,1)关于 3x ? y ? 3 ? 0 的对称点为(-2,2)------------------------------10 分 所以圆 C 关于直线 3x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 ------------12 分
2 2

16 、 ( 12 分)如图, 在三棱锥 S ? ABC 中 ,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB , 过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的 中点. S 求证:(1)平面 EFG // 平面 ABC ; G E F (2) BC ? SA . C

A

证明:(1)∵ AS ? AB , AF ? SB ∴F 分别是 SB 的中点 ∵E.F 分别是 SA.SB 的中点 ∴EF∥AB 又∵EF ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC ∴EF∥平面 ABC 同理:FG∥平面 ABC 又∵EF ? FG=F, EF.FG ? 平面 ABC

B

--------------------------2 分

-------------------------4 分

∴平面 EFG // 平面 ABC ------------------------6 分 (2)∵平面 SAB ? 平面 SBC ,平面 SAB ? 平面 SBC =SB AF ? 平面 SAB, AF⊥SB ∴AF⊥平面 SBC 又∵BC ? 平面 SBC ∴AF⊥BC 又∵ AB ? BC , AB ? AF=A, AB.AF ? 平面 SAB -----------------------8 分 --------------------------9 分

∴BC⊥平面 SAB 又∵SA ? 平面 SAB ∴BC⊥SA 17、 (14 分)已知:以点 C(t,

-------------------------------------11 分 ---------------------------------------12 分

2 ) ( t ? R, t ? 0 )为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、 t

B,其中 O 为坐标原点。 (1)求证: ?OAB 的面积为定值。 (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M、N,若 OM=ON,求圆 C 的方程。 (1)证明:? 圆 C 过原点 O, OC ? t ?
2 2

4 , ---------------------------1 分 t2 ? 可设圆的方程是 ( x ? t ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? t 2 ? 42 -----------------------2 分 t t 4 令 x=0,得 y=0 或 y= ,令 y=0,得 x=0 或 x=2t ---------------------4 分 t

?

1 1 4 S ?OAB ? OA ? OB ? 2t ? 4 2 2 t

---------------------------6 分

即 ?OAB 的面积为定值 (2)解:? OM=ON,CM=CN ? OC 垂直平分线段 MN

? k MN ? ?2,? kOC ?

1 2

? 直线 OC 的方程是 y ? 1 x
2

-------------------------------7 分 ----------------------------------9 分

?2?t
t

2

,解得 t=-2 或 t=2

I)当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1) ,半径 r= 5

圆心到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离

d?

1 ? 5 5 ,
------------------------------11 分

圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 交于两点 Ii)当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1) ,半径 r= 5

圆心到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离

d?

9 ? 5 5 ,
-----------------------13 分 -----------------------14 分 18、 (14

圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交, 不合题意,舍去。

? 圆 C 的方程为

( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5

分 ) 如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 中 ,

AB // CD , BC ? CD , 侧 面 SAB 为 等 边 三 角 形 ,

AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1.
(Ⅰ)证明: SD ? 平面SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.

(I)取 AB 中点 E,连结 DE,则四边形 BCDE 为矩形,DE=CB=2, 连结 SE,则 SE ? AB, SE ? 3.
2 2 2 又 SD=1,故 ED ? SE ? SD ,

所以 ?DSE 为直角。 由 AB ? DE, AB ? SE, DE

----------------------------------…………4 分

SE ? E ,

得 AB ? 平面 SDE,所以 AB ? SD 。 SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。 所以 SD ? 平面 SAB。 (II)由 AB ? 平面 SDE 知, 平面 ABCD ? 平面 SED。 作 SF ? DE , 垂足为 F,则 SF ? 平面 ABCD, -----------------------------9 分 ---------------------------------…………8 分

SF ?

S D? S E 3 ? . DE 2

--------------------------- 10 分

作 FG ? BC ,垂足为 G,则 FG=DC=1。 连结 SG,则 SG ? BC , 又 BC ? FG, SG

FG ? G ,
----------------…………12 分

故 BC ? 平面 SFG,平面 SBC ? 平面 SFG。 作 FH ? SG ,H 为垂足,则 FH ? 平面 SBC。

FH ?

S F? F G 3 21 ? . SG 7 ,即 F 到平面 SBC 的距离为 7 --------------------------13 分

21 . 由于 ED//BC,所以 ED//平面 SBC,E 到平面 SBC 的距离 d 也有 7
设 AB 与平面 SBC 所成的角为α , 则 sin ? ?

d 21 ? EB 7

----------------…………14 分

19、(14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的中点,

A1

A

A1 A ? AB ? 2 .
(1) 求证: AB1 // 平面 BC1D ;
B1

D

B

3 (2) 若四棱锥 B ? AAC 1 1D 的体积为 ,
求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.
C1 C

(1)证明: 连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点,
D A1 A

E

∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD // AB1 . …… 4 分
B1 B

G
O

∵ OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D , ∴ AB1 // 平面 BC1D . (2)解: 依题意知, AB ? BB1 ? 2 , ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AA 1C1C , …… 6 分
C1

F
C

ABC ∴ 平面 ABC ? 平面 AA 1C1C ,且平面

? AC . 平面 AA 1C1C
……8 分

作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面 AA 1C1C , 设 BC ? a ,

在 Rt△ ABC 中, AC ?

AB2 ? BC2 ? 4 ? a2 , BE ?

AB BC 2a , ? AC 4 ? a2

∴四棱锥 B ? AAC 1 1D 的体积 V ?

1 1 ? ? A1C1 ? AD ? AA1 BE 3 2
…… 10 分

1 3 2a ? ? 4 ? a2 ? 2 ? ? a. 6 2 4 ? a2
依题意得, a ? 3 ,即 BC ? 3 . ∵ AB ? BC, AB ? BB1 , BC ∴ AB ? 平面 BB1C1C . 取 BC 的中点 F ,连接 DF ,则 DF // AB ,且 DF ? ∴ DF ? 平面 BB1C1C . 作 FG ? BC1 ,垂足为 G ,连接 DG , 由于 DF ? BC1 ,且 DF ∴ BC1 ? 平面 DFG . ∵ DG ? 平面 DFG , ∴ BC1 ? DG . ∴ ?DGF 为二面角 C ? BC1 ? D 的平面角.

…… 11 分

BB1 ? B , BC ? 平面 BB1C1C , BB1 ? 平面 BB1C1C ,

1 AB ? 1 . 2

FG ? F ,

…… 13 分

3 ?2 BF CC1 2 3 13 GF BF ? ? ? 由 Rt△ BGF ~Rt△ BCC1 ,得 ,得 GF ? , BC1 13 CC1 BC1 13
在 Rt△ DFG 中, tan ?DGF ?

DF 13 ? . GF 3

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为

13 . 3

…… 14 分

20、 (14 分)已知圆 C: x ? ( y ? 3) ? 4 ,一动直线 l 过 A(-1,0)与圆 C 相交于 P、Q 两点,M 是
2 2

PQ 的中点, l 与直线 m: x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于 N.

(1)求证:当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C; (2)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程; (3)探索向量 AM 与向量 AN, AM ? AN 是否与直线 l 的倾斜角有关, 若无关, 请求出其值; 若有关, 请说明理由。 (1)证明:因为 l 与 m 垂直,且 k m 所以 k

1 ?? , 3

-----------------1 分 -------------2 分

l

? 3, 故直线 l : y ? 3( x ? 1),即3x ? y ? 3 ? 0

圆心(0,3)在直线 l 上,即当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C----------3 分 (2)解:?当直线 l 与 x 轴垂直时,

x ? ?1 符合题意

----------------4 分

?当直线 l 与 x 轴不垂直时,
设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1),即kx ? y ? k ? 0 ,----------------6 分 因为 PQ ? 2 3 ,所以 CM ? 4 ? 3 ? 1 ,

则由

CM ?

?3? k k ?1
2

? 1, 得k ?

4 3

-----------------7 分

所以直线 l : 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 综上,直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 (3)因为 CM ? MN , 所以 AM ? AN ? ( AC ? CM ) ? AN -----------------8 分

? AC ? AN ? CM ? AN ? AC ? AN

----------------9 分

?当直线 l 与 x 轴垂直时,
5 5 N (?1,? ), 则 AN ? (0,? ), 3 3
又 AC ? (1,3),所以AM ? AN ? AC ? AN ? ?5 -------------11 分

?当直线 l 的斜率存在时,
设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1),

? y ? k ( x ? 1) ? 则由 ? 3k ? 6 ? 5k x ? 3 y ? 6 ? 0, 得N(, ) ? 1 ? 3k 1 ? 3k ?
则 AN ? (

? 5 ? 5k , ) 1 ? 3k 1 ? 3k
-----------------13 分

所以 AM ? AN ? AC ? AN ? ?5

综上, AM ? AN 与直线 l 的斜率无关,因此与倾斜角也无关,且 AM ? AN ? ?5 -14 分


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