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第三章 3.4 基本不等式


理解 教材新知 3.4 第 三 章 基 本 不 等 式 突破 常考题型

知识点

题型一 题型二 题型三

跨越 高分障碍 应用 落实体验
随堂即时演练 课时达标检测

3.4

a+b 基本不等式: ab≤ 2

基本不等式
[提出

问题] 问题1:若a,b∈R,则代数式a2+b2与2ab有何大小关 系?

提示:∵(a2+b2)-2ab=(a-b)2≥0. ∴a2+b2≥2ab.

问题2:上述结论中,“=”号何时成立?
提示:当且仅当a=b时成立.
问题3:若以 a , b 分别代替问题1中的a,b,可得 出什么结论?

提示:a+b≥2 ab.
问题4:问题3的结论中,“=”号何时成立?

提示:当且仅当a=b时成立.

[导入新知] 1.重要不等式 当a,b是任意实数时,有a2+b2≥ 2ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立. 2.基本不等式

a+b 1.有关概念:当a,b均为正数时,把 2 叫做正数a,b
的算术平均数,把 ab 叫做正数a,b的几何平均数.

2.不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数大

a+b 于它们的算术平均数,即 ab≤ 2 ,当且仅当 a=b 时,等号
成立.
?a+b? ? ?2 (3)变形:ab≤ ? ? ,a+b≥2 2 ? ?

ab (其中a>0,b>0,当

且仅当a=b时等号成立).

[化解疑难] 1.基本不等式成立的条件:a>0且b>0;其中等号成立的 a+ b 条件:当且仅当a=b时取等号,即若a≠b时,则 ab ≠ ,即 2 a+ b 只能有 ab< . 2 2.从数列的角度看,a,b的算术平均数是a,b的等差中 项,几何平均数是a,b的正的等比中项,则基本不等式可表示 为:a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项.

利用基本不等式证明不等式
[例1] +c2a2. [证明] 已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2

由基本不等式可得

a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2, 同理b4+c4≥2b2c2, c4+a4≥2a2c2, ∴(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2, 从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

[类题通法] 1.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中 必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积” 式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果. 2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.

[活学活用] b2 a2 设a>0,b>0,证明: a + b ≥a+b.

证明:∵a>0,b>0, b2 a2 ∴ a +a≥2b, b +b≥2a, b2 a2 ∴ a + b ≥a+b.

利用基本不等式求最值
[例2] 值; 4 (2)已知x>3,求f(x)=x+ 的最小值. x- 3 1 1 (3)设x>0,y>0,且2x+y=1,求x+y的最小值. (1)已知m,n>0,且m+n=16,求mn的最大

[解]

(1)∵m,n>0且m+n=16,

?m+n? 16?2 ? ?2 ? 所以由基本不等式可得mn≤? =? 2 ? =64, ? ? ? ? 2 ?

当且仅当m=n=8时,mn取到最大值64.

(2)∵x>3, 4 ∴x-3>0, >0, x-3 4 4 于是 f(x)= x + = x- 3+ + 3≥ 2 x-3 x-3 +3=7, 当且仅当 x-3= 4 x-3 4 ?x-3?· x- 3

即 x=5 时,f(x)取到最小值 7. (3)法一:∵x>0,y>0,2x+y=1, 1 1 2x+y 2x+y y 2x ∴ x + y = x + y = 3 + x + y ≥3 + 2 2 2, y 2x x· y =3+

y 2x 当且仅当x= y ,即 y= 2x 时,等号成立, 解得 x=1- 2 ,y= 2-1, 2

2 ∴当 x=1- ,y= 2-1 时, 2 1 1 x+ y有最小值 3+2 2.
?1 1? 1 1 ?1 1? 2x y ? ? ? ? 法二 : x + y = x+y · 1 = x+ y (2x + y) = 3 + y + x ≥3 + ? ? ? ?

2

y 2x x· y =3+2 2, 以下同解法一.

[类题通法] 1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定, 三相等”的原则,即 a+b (1)一正:符合基本不等式 ≥ ab 成立的前提条件, 2 a>0,b>0; (2)二定:化不等式的一边为定值; (3)三相等:必须存在取“=”号的条件,即“=”号成 立. 以上三点缺一不可. 2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若 是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是 恰当变形,合理拆分项或配凑因式.

[活学活用] (1)已知lg a+lg b=2,求a+b的最小值; (2)已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值; 1 9 (3)已知x>0,y>0,x+ y=1,求x+y的最小值. 解:(1)由lg a+lg b=2可得lg ab=2,
即ab=100,且a>0,b>0, 因此由基本不等式可得a+b≥2 ab=2 100 =20, 当且仅当a=b=10时,a+b取到最小值20.

(2)∵x>0,y>0,2x+3y=6,
? 1 1? ?2x+3y?2 ∴xy= (2x· 3y)≤ · 6 6? 2 ? ? ?

1 ?6?2 3 ? ? = , = · 6 ?2? 2 当且仅当2x=3y, 3 3 即x= ,y=1时,xy取到最大值 . 2 2 1 9 (3)∵x+y =1,
?1 9? ∴x+y=(x+y)×?x+y ? ? ?

9x y y 9x =1+ y +x+9=x+ y +10.

又∵x>0,y>0, y 9x ∴x+ y +10≥2 y 9x x× y +10=16,

y 9x 当且仅当x= y ,即y=3x时,等号成立. y=3x, ? ? ? ?x=4, 由?1 9 得? ? + = 1 , ?y=12, ? x y ? 即当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.

利用基本不等式解应用题
[例3] 如图所示,动物园要围成相同面积的

长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各 面用钢筋网围成. (1)现有36 m长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽各设计 为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设 计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?

[解]

(1)设每间虎笼长为x m,宽为y m,则由条件得

4x+6y=36, 即2x+3y=18,设每间虎笼面积为S,则S=xy. 由于2x+3y≥2 2x· 3y=2 6xy, 27 ∴2 6xy≤18,得xy≤ , 2 27 即S≤ ,当且仅当2x=3y时,等号成立, 2
? ?2x+3y=18, 由? ? ?2x=3y, ? ?x=4.5, 解得? ? ?y=3,

故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m时,可使面积最大.

(2)法一:由条件知S=xy=24,设钢筋网总长为l,则l= 4x+6y. ∵2x+3y≥2 2x· 3y=2 6xy=24,

∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48, 当且仅当2x=3y时,等号成立.
? ?2x=3y, 由? ? ?xy=24, ? ?x=6, 解得? ? ?y=4.

故每间虎笼长6 m,宽4

m时,可使钢筋网总长最小.

24 法二:由xy=24,得x= y .
?16 ? 96 ∴l=4x+6y= y +6y=6? y +y?≥6×2 ? ?

16 y=48, y·

16 当且仅当 y =y,即y=4时,等号成立.此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长最小.

[类题通法] 在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路 和方法: (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函 数; (2)建立相应的函数关系, 把实际问题抽象成函数的最大 值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)根据实际背景写出答案.

[活学活用] 某汽车公司购买了4辆大客车,每辆200 万元,用于长途 客运,预计每辆车每年收入约100 万元,每辆车第一年各种

费用约为16 万元,且从第二年开始每年比上一年所需费用要 增加16 万元. (1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的 函数关系式. (2)这4辆车运营多少年,可使年平均运营利润最大?

解:(1)依题意,每辆车x年总收入为100x万元, 总支出为200+16×(1+2+?+x) 1 =200+ x(x+1)· 16. 2
? ? 1 16? ∴y=4?100x-200-2x?x+1?· ? ?

=16(-2x2+23x-50). (2)年平均利润为
? ? ? 50? 25?? y ?23-2x- ?=16?23-2?x+ ??. = 16 x? x ?? x ? ? ?

又x∈N*, 25 ∴x+ x ≥2 25 x· x =10,

当且仅当x=5时,等号成立, y 此时x≤16×(23-20)=48. ∴运营5年可使年平均运营利润最大,最大利润为48 万元.

7.基本不等式应用中的易误点

[典例] 值是 7 A. 2 9 C. 2

1 4 已知a>0,b>0,a+b=2,则y= a + b 的最小 ( B. 4 D.5 )

[解析]

∵a+b=2,

a+ b ∴ =1. 2 a+b? 1 4 ?1 4?? ? ? ∴a+b=?a+b?? ? ?? 2 ? ? 5 ?2a b ? = + ? b + 2a ? 2 ? ? 5 ≥ +2 2 2a b 9 = b· 2a 2

? ? 2a b ?当且仅当 = ,即b=2a时,等号成立?. b 2a ? ?

1 4 9 故y=a+b的最小值为 . 2

[答案]

C

[易错防范] 1.解答本题易两次利用基本不等式,如 ∵a>0,b>0,a+b=2, ?a+b?2 ∴ab≤ =1. 4 1 4 又 y=a+b≥2 又 ab≤1, ∴y≥4 1 =4. 1 4 ab=4 1 ab,

但它们成立的条件不同,一个是a=b,另一个是b=4a,这显 然是不能同时成立的,故不正确. 2.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提 “一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这 三个条件缺一不可. 3.在运用重要不等式时,还要特别注意“拆”“拼”“凑” 等技巧,使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件.

[成功破障] (福建高考)下列不等式一定成立的是 1 A.lg(x + )>lg x(x>0) 4
2

(

)

1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1

? 1? 1 2 解析:取x= ,则lg ?x +4? =lg x,故排除A;取x= 2 ? ?

3π 1 ,则sin x=-1,故排除B;取x=0,则 2 =1,故排 2 x +1 除D.
答案:C

[随堂即时演练]
1 1.已知f(x)=x+x-2(x<0),则f(x)有 A.最大值为0 C.最大值为-4 B.最小值为0 D.最小值为-4 ( )

? 1 ? ? 解析:∵x<0,∴f(x)=-??-x?+?-x?? ?-2≤-2-2=-4, ? ?

1 当且仅当-x= ,即x=-1时取等号. -x 答案:C

2.若a>b>0,则下列不等式成立的是 a+b A.a>b> > ab 2 a+b C.a> >b> ab 2 a+b B.a> > ab>b 2 a+ b D.a> ab> >b 2

(

)

a+a a+b 解析:a= > > ab> b· b=b,因此只有B项正确. 2 2

答案:B

3.若x,y∈R+,且x+4y=1,则x· y的最大值为________.
解析:1=x+4y≥2 4xy=4 xy, 1 ∴xy≤ ,当且仅当x=4y时等号成立. 16

1 答案: 16

2 5 4.已知x>0,y>0,lg x+lg y=1,则z=x+y 的最小值为 ________.
解析:由已知条件lg x+lg y=1,可得xy=10. 2 5 则x+ y≥2
?2 5? 10 ? + ?最小值=2, = 2 ,故 xy ?x y ?

当且仅当2y=5x时取等号. 又xy=10,即x=2,y=5时等号成立.

答案:2

5.已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等,求证: bc ac ab a + b + c >a+b+c.
证明:∵a>0,b>0,c>0, bc ac ∴ a + b ≥2 ac ab b + c ≥2 bc ab a + c ≥2 abc2 ab =2c, a2bc bc =2a, b2ac ac =2b.

又a,b,c不全相等,故上述等号至少有一个不成立. bc ac ab ∴ a + b + c >a+b+c.

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