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《双曲线的参数方程》参考课件1


双曲线的参数方程

双曲线的参数方程
设M ( x, y)
a

y
A o B

B'

在?OAA '中,x ?
| OA | a | OA ' |? ? ? cos ? cos ?

?

?M
A' x

a ? sec ? ,

b

在?OBB '中,y ? | BB ' |?| OB | ? tan ? ? b ? tan ?.

? x ? a sec ? 所以M的轨迹方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ?
x2 y2 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

y

双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b
2 2

a

A B'

?

?M
A' x

说明:

? 3? 通常规定? ? [o,2? )且? ? ,? ? 。 2 2

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

o B
b

⑴ 这里参数

? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.

x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 ? 2 ? 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.

sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到,所以双曲线的参数方程

x2 y 2 如图,设M 为双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0)任意一点,O为原点, 例 2、 a b 过点M 作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点。 探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论? 解:双曲线的渐近线方程为:y ? ? b x. a y 不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为(asec? ,btan?), b A 则直线MA的方程为:y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ). ① M x a b 将y= x代入①,解得点A的横坐标为 O a a B xA = (sec? ? tan?). 2 a 同理可得,点B的横坐标为xB = (sec? ? tan?). 2 b 设?AOx=? ,则tan? ? . a xA xB ? sin2? ? ?= 所以MAOB的面积为 S?MAOB =|OA||OB|sin2 cos? cos? a2(sec2? -tan2? ) a2 a2 b ab = ? sin2 ? = ? tan ? ? ? ? . 4cos2? 2 2 a 2
由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值,与点M在双曲线上的位置无关。

本节小结:
? x ? a sec ? (?为参数) ? 双曲线的参数方程为: ? y ? b tan ?

作业:p34-3


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