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第十章排列组合和二项式定理(第5课)排列(3)


高中数学教案

第十章排列组合和二项式定理(第 5 课时)



题:

10 2 排列 (三)
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教学目的: 1 熟练掌握排列数公式; 2.熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法; 3.能运用已学的排列知识,正确地解决简单的实际问题

教学重点:分析和解决排列问题的基本方法 教学难点:分析和解决排列问题的基本方法 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 分类计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法
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中有 m 1 种不同的方法,在第二类办法中有 m 2 种不同的方法,??,在第 n 类 办法中有 m n 种不同的方法 那么完成这件事共有 N ? m 1 ? m 2 ? ? ? m n 种不
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同的方法

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2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m 1 种不同的方法,做第二步有 m 2 种不同的方法,??,做第 n 步有 m n 种不同的 方法,那么完成这件事有 N ? m 1 ? m 2 ? ? ? m n 种不同的方法
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3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被 取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 ..... 元素的一个排列 .... 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排
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列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 A n 表示
m

m

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5.排列数公式: An ? n ( n ? 1)( n ? 2) ? ( n ? m ? 1) ( m , n ? N , m ? n ) 说明: (1)公式特征:第一个因数是 n ,后面每一个因数比它前面一个 少 1,最后一个因数是 n ? m ? 1 ,共有 m 个因数; (2)全排列:当 n ? m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列
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?

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全排列数: An ? n ( n ? 1)( n ? 2) ? 2 ? 1 ? n ! (叫做 n 的阶乘)
n
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6 阶乘的概念: n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个 全排列,这时 An ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? 3 ? 2 ? 1 ;把正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n
n

的阶乘 表示: n ! , 即 An ? n ! 规定 0 ! ? 1 .
n
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7.排列数的另一个计算公式: A n =

m

n!
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(n ? m )!

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二、讲解范例: 例 1. (1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共 有多少种不同的送法? (2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种 不同的送法? 解: (1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学,对应于从 5 个元素中 任取 3 个元素的一个排列, 因此不同送法的种数是:A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 , 所以,
3

共有 60 种不同的送法 (2) 由于有 5 种不同的书, 送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法, 因此送给 3 名同学,每人各 1 本书的不同方法种数是: 5 ? 5 ? 5 ? 125 ,所以, 共有 125 种不同的送法 说明:本题两小题的区别在于:第(1)小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 给 3 位同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题;而第(2)小题中,给每 人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 种, 各人得到那种书相互之间没有联系, 要用分步计数原理进行计算 例 2.某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号, 每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可 以表示多少种不同的信号?
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解:分 3 类:第一类用 1 面旗表示的信号有 A3 种; 第二类用 2 面旗表示的信号有 A 3 种; 第三类用 3 面旗表示的信号有 A 3 种, 由分类计数原理,所求的信号种数是: A3 ? A3 ? A3 ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 15 ,
1 2 3 3 2

1

答:一共可以表示 15 种不同的信号

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例 3.将 4 位司机、 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆 汽车分别有一位司机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案? 分析:解决这个问题可以分为两步,第一步:把 4 位司机分配到四辆不同班 次的公共汽车上,即从 4 个不同元素中取出 4 个元素排成一列,有 A 4 种方法; 第二步:把 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,也有 A 4 种方法, 利用分步计数原理即得分配方案的种数
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4

4

解:由分步计数原理,分配方案共有 N ? A4 ? A4 ? 5 7 6 (种)
4 4

答:共有 576 种不同的分配方案 例 4.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解法 1:用分步计数原理:
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所求的三位数的个数是: A9 ? A9 ? 9 ? 9 ? 8 ? 6 4 8
1 2

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解法 2:符合条件的三位数可以分成三类:每一位 数字都不是 0 的三位数有 A 9 个, 个位数 字是 0 的三位数有 A 9 个, 十位数字是 0 的三位数有 A 9 个, 由分类计数原理,符合条件的三位数的个数是: A9 ? A9 ? A9 ? 6 4 8 .
3 2 2 2 2 3

解法 3:从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A1 0 ,其中以 0 为排头的排列数为 A 9 ,因此符合条件的三位数的个数是 A1 0 ? A9 ? 6 4 8 - A 9 .
2 3 2 2

3

说明:解决排列应用题,常用的思考方法有直接法和间接法 直接法:通过 对问题进行恰当的分类和分步,直接计算符合条件的排列数如解法 1,2;间接 法:对于有限制条件的排列应用题,可先不考虑限制条件,把所有情况的种数 求出来,然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法 3.对于有限制条件的 排列应用题,要恰当地确定分类与分步的标准,防止重复与遗漏 例 5. (1)7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
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解:问题可以看作:7 个元素的全排列 A 7 =5040. (2)7 位同学站成两排(前 3 后 4) ,共有多少种不同的排法? 解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040.

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第十章排列组合和二项式定理(第 5 课时)

(3)7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? 解:问题可以看作:余下的 6 个元素的全排列—— A 6 =720. (4)7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有 A 2 种; 第二步 余下的 5 名同学进行全排列有 A 5 种,所以,共有 A 2 ? A5 =240 种排
5
2
5

6

2

列方法 (5)7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 解法 1(直接法) :第一步从(除去甲、乙)其余的 5 位同学中选 2 位同学站
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在排头和排尾有 A 5 种方法;第二步从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列(全排 列)有 A 5 种方法,所以一共有 A 5 A 5 =2400 种排列方法
6 5 2 5
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2

解法 2: (排除法)若甲站在排头有 A 6 种方法;若乙站在排尾有 A 6 种方法; 若甲站在排头且乙站在排尾则有 A 5 种方法,所以,甲不能站在排头,乙不能排 在排尾的排法共有 A 7 - 4 A6 +2 A 5 =2400 种. 说明:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法” ,对某 些特殊元素可以优先考虑 三、课堂练习: 1.将 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,没格填一个数字,则 每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法( )种. C . 11 A. 6 B . 9 D . 23 2. 5 列火车停在某车站并排的五条轨道上, 有 若快车 A 不能停在第三条轨道上, 货车 B 不能停在第一条轨道上,则五列火车的停车方法有( )种. C .120 A .78 B .72 D .96 3.由 0,3,5,7 这五个数组成无重复数字的三位数,其中是 5 的倍数的共有 多少个( ) C . 24 A .9 B .21 D .42
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6

5

7

6

5

4 . 从 ?9 ,? 5 , 0 , 1, 2 , 3 , 7 个 数 中 , 每 次 选 不 重 复 的 三 个 数 作 为 直 线 方 程 七
ax ? by ? c ? 0 的系数,则倾斜角为钝角的直线共有( )条.
A.

14

B .30

C . 70

D .60

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第十章排列组合和二项式定理(第 5 课时)

5.从 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的 3 块土地上进行实验,有 _____种不同的种植方法 6.9 位同学排成三排,每排 3 人,其中甲不站在前排,乙不站在后排,这样的 排法种数共有 种 7. (1)由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的正整数? (2)由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字,并且比 13000 大的 正整数? 8.学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的出场顺序,除第 1 个节目和最后 1 个节目已确定外,4 个音乐节目要求排在第 2、5、7、10 的位置,3 个舞蹈节目 要求排在第 3、6、9 的位置,2 个曲艺节目要求排在第 4、8 的位置,共有多少 种不同的排法? 9.某产品的加工需要经过 5 道工序, (1)如果其中某一工序不能放在最后加工,有多少种排列加工顺序的方法? (2)如果其中某两工序不能放在最前,也不能放在最后,有多少种排列加工顺 序的方法? 10.一天的课表有 6 节课,其中上午 4 节,下午 2 节,要排语文、数学、外语、 微机、体育、地理六节课,要求上午不排体育,数学必须排在上午,微机必须 排在下午,共有多少种不同的排法? 11. 由数字 0,1,2,3,4, (1)可组成多少个没有重复数字且比 20000 大的 自然数?(2)2 不在千位,且 4 不在十位的五位数有多少个? 答案:1. B 2. A 3. B 4. C 5. 24 6. 166320 7.⑴325; ⑵114 8. 288 9.⑴96; ⑵36 10. 48
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11. (1) A3 A 4 ? 7 2 ,(2) A4 A4 ? 2 A3 A3 ? A2 A2 ? 64 ) (
1 4 1 4 1 3 1 2

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四、小结 :分析和解决排列问题的基本方法;对于“在”与“不在”的问题的 处理方法 五、课后作业:
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六、板书设计(略) 七、课后记:
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