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2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练18 排列、组合、二项式定理与概率 理


训练 18

排列、组合、二项式定理与概率
(时间:45 分钟 满分:75 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2012·陕西八校三模)某同学忘记了自己的 QQ 号,但记得 QQ 号是由一个 2,一个 5,两 个 8 组成的四位数,于是用这四个数随意排成一个四位数,输入电脑尝试,那么他找到 自己的 QQ 号最

多尝试次数为 ( A.6 B.12 C.18 D.24 ).

? 2 1?5 2.(2012·天津)在?2x - ? 的二项展开式中,x 的系数为 ?
x?
( A.10 B.-10 C.40 D.-40 3.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种 颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方 法种数为 ( ). ).

A.64

B.72

C.84

D.96

4.(2012·石家庄质检)如图,已知函数 y=sin x,x∈[-π ,π ]与 x 轴围成的区域记为

M(图中阴影部分),若随机向圆 O:x2+y2=π 2 内投入一米粒,则该米粒落在区域 M 内的
概率是 ( ).

A. C.

4 2 π 2 2 π

B. D.

4 3 π 2 3 π

5.(2012·北京丰台区二模)盒子中装有形状、大小完全相同的 3 个红球和 2 个白球,从中
1

随机取出一个记下颜色后放回,当红球取到 2 次时停止取球.那么取球次数恰为 3 次的 概率是( 18 A. 125 44 C. 125 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.学校要安排 4 名学生在周六、周日参加社会实践活动,每天至少 1 人,则学生甲被安排 在周六的不同排法的种数为________(用数字作答). 7.(2012·东莞三模)若(1+mx) =a0+a1x+a2x +?+a6x ,且 a1+a2+?+a6=63,则实数
6 2 6

). B. D. 36 125 81 125

m 的值为________.
8.(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目, 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示). 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)已知(1+2 x) 的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的 2 倍,而又等于它 5 后一项系数的 . 6 求展开式中所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和. 10.(12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个 球,该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率. 11.(12 分)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 10 名工人,其中有 6 名 女工人.现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核. (1)求从甲、乙两组各抽取的人数; (2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (3)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率. 参考答案 训练 18 排列、组合、二项式定理与概率 1.B [C4A2=6×2=12.] 2.D 1?r ? 2 1?5 r 2 5-r? r 5-r [因为二项式?2x - ? 展开式的第 r+1 项为 Tr+1=C5(2x ) ?- ? =C5·2 ×(-
2 2

n

?

x?

? x?

1) x

r 10-3r

,当 r=3 时,含有 x,其系数为 C5·2 ×(-1) =-40.]

3

2

3

3.C [将四种颜色编号为①②③④,A 有 4 种涂法,设涂①,B 有 3 种涂法,设涂②.
2

下面分三类: 若 C 涂①,则 D 可涂②③④,共 3 种涂法; 若 C 涂③,则 D 可涂②④,共 2 种涂法; 若 C 涂④,则 D 可涂②③,共 2 种涂法. 于是不同的涂法种数为 4×3×(3+2+2)=84.] SM 2 2 3 4.C [SM=2?π sin xdx=2,SO=π ·π =π ,所以该米粒落在区域 M 内的概率是 = 3= SO π ?
0

2 2.] π 5.B [从 5 个球中随机取出一个球放回,连续取 3 次的所有取法有 5×5×5=125 种,有两 36 1 2 次取红球的所有取法有 3A2·A3=36 种.所以概率为 .] 125 6.解析 本题考查排列组合知识,由题意知:A3·A2+1=7. 答案 7 7.解析 令 x=0 得,a0=1. 令 x=1,则(1+m) =a0+a1+a2+?+a6=64,∴m+1=±2, ∴m=1 或-3. 答案 1 或-3 8.解析 根据条件求出基本事件的个数,再利用古典概型的概率计算公式求解.因为每人 都从三个项目中选择两个,有(C3) 种选法,其中“有且仅有两人选择的项目完全相同” 的基本事件有 C3C3C2个,故所求概率为 答案 2 3
2 1 1 2 3 6 1 2

C2C1C1 2 3 3 2 2 3= . ? C3? 3

9.解 根据题意,设该项为第 r+1 项,则有

?Cn2 =2Cn 2 , ? ? r r 5 r+1 r+1 ?Cn2 =6Cn 2 , ?

r r

r-1 r-1

?Cn=Cn , ? 即? r 5 r+1 ?Cn=3Cn , ?

r

r-1

?n=2r-1, ? 亦即? n! 5 n! ?r!? n-r? !=3×? r+1? !? n-r-1? !, ?
解得?
?r=4, ? ? ?n=7.
7 7

令 x=1 得展开式中所有项的系数和为(1+2) =3 =2 187. 所有项的二项式系数和为 2 =128.
7

3

10.解 (1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个.从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个. 2 1 因此所求事件的概率 P= = . 6 3 (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号 为 n, 其一切可能的结果(m, n)有: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个. 又满足条件 n≥m+2 的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个,所以满足条件 n≥m+2 3 的事件的概率为 P1= . 16 3 13 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1- = . 16 16 11.解 (1)由于甲、乙两组各有 10 名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核,则从每组各抽取 2 名工人. (2)记 A 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人,则 P(A)=

C1C1 8 4 6 = . C2 15 10

(3)Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人,i=0,1,2. Bj 表示事件:从乙组抽取的 2 名工人中恰有 j 名男工人,j=0,1,2. B 表示事件:抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人. Ai 与 Bj 独立,i,j=0,1,2,且 B=A0·B2+A1·B1+A2·B0. 故 P(B)=P(A0·B2+A1·B1+A2·B0) =P(A0)·P(B2)+P(A1)·P(B1)+P(A2)·P(B0) =

C2 C2 C1C1 C1C1 C2 C2 31 4 4 4 6 6 4 6 6 · + · 2 + 2· 2= . C2 C2 C2 C10 C10 C10 75 10 10 10

4


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