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河南省郑州市2014年高中毕业年级第一次质量预测数学(理)答案


2014 年高中毕业年级第一次质量预测 数学(理科)
一、选择题 ADACB DBCBB AB 二、填空题 13. [?1,3) ; 三、解答题 17.解:(1) 因为 AD ? AC ,所以 sin ?BAC ? sin( 即 cos ?BAD ? 14. 5 ; 15. 8? ; 16. a ? ?

参考答案

1 . 2

? ?BAD) ? cos ?BAD ,

?
2

2 2 ,…………………………….2 分 3
2 2 2

在 ?ABD 中,由余弦定理可知 BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ? cos ?BAD , 即 AD ? 8 AD ? 15 ? 0 ,
2

解之得 AD ? 5 或 AD ? 3. ……………………………………………….6 分 由于 AB ? AD ,所以 AD ? 3. …………………………………………………..7 分 (2) 在 ?ABD 中,由正弦定理可知 又由 cos ?BAD ?

BD AB , ? sin ?BAD sin ?ADB

2 2 1 可知 sin ?BAD ? , 3 3
AB sin ?BAD 6 ? , BD 3

所以 sin ?ADB ?

因为 ?ADB ? ?DAC ? ?C ? 所以 cos C ?

?
2

? ?C ,

6 . .……………………………………………………..12 分 3

18.解:随机猜对问题 A 的概率 P ? 1

1 1 ,随机猜对问题 B 的概率 P2 ? .………… 2 分 4 3 ⑴设参与者先回答问题 A ,且恰好获得奖金 a 元为事件 M , 1 3 1 则 P( M ) ? P (1 ? P2 ) ? ? ? , 1 3 4 4 1 即参与者先回答问题 A ,其恰好获得奖金 a 元的概率为 . ………………4 分 4
⑵参与者回答问题的顺序有两种,分别讨论如下:

1/6

①先回答问题 A ,再回答问题 B .参与者获奖金额 ? 可取 0, a, a ? b , 则 P ?? ? 0 ? ? 1 ? P ? 1

2 1 1 , P ?? ? a ? ? P ?1 ? P2 ? ? , P ?? ? a ? b ? ? PP2 ? . 1 1 3 4 12

②先回答问题 B ,再回答问题 A ,参与者获奖金额? ,可取 0, b, a ? b ,

3 1 1 , P ?? ? b ? ? P2 ?1 ? P ? ? , P ?? ? a ? b ? ? P2 P ? . 1 1 4 6 12 3 1 1 a b E? ? 0 ? ? b ? ? ? a ? b ? ? ? ? . ………… 10 分 4 6 12 12 4 3a ? 2b E? ? E? ? . 12 a 2 于是,当 ? ,时 E? ? E? ,即先回答问题 A,再回答问题 B,获奖的期望值较大; b 3 a 2 a 2 当 ? ,时 E? ? E? ,两种顺序获奖的期望值相等;当 ? ,时 E? ? E? ,先回答问 b 3 b 3
则 P ?? ? 0 ? ? 1 ? P2 ? 题 B,再回答问题 A,获奖的期望值较大.…………………………12 分 19.解:(1)证明:由题意 tan ?ABD ?

AD 2 AB 2 ? , tan ?AB1 B ? ? , AB 2 BB1 2

注意到 0 ? ?ABD, ?AB1 B ?

?
2

,所以 ?ABD ? ?AB1B ,

所以 ?ABD ? ?BAB1 ? ?AB1 B ? ?BAB1 ? 所以 AB1 ? BD , 又 CO ? 侧面 ABB1 A1 ,? AB1 ? CO.

?
2

,

……………………3 分

又 BD 与 CO 交于点 O ,所以 AB1 ? 面CBD , 又因为 BC ? 面CBD ,所以 BC ? AB1 .……………………………6 分 (2)如图,分别以 OD, OB1 , OC 所在的直线为 x, y, z 轴, 以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz

z
C
C1

则 A(0, ?

3 6 , 0) , B(? , 0, 0) , 3 3

B

B1
C (0, 0, 3 2 3 6 ) , B1 (0, , 0) , D( , 0, 0) , 3 3 6
A
又因为 CC1 ? 2 AD ,所以 C1 (

y

O
D

???? ?

????

6 2 3 3 , , ). 3 3 3
2/6

x

A1

…………8 分

所以 AB ? (?

??? ?

???? ???? ? 6 3 3 3 6 2 3 3 , , 0) , AC ? (0, , , ). , ) , DC1 ? ( 3 3 6 3 3 3 3
?

设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则根据 AB ? n ? 0, AC ? n ? 0 可得 n ? (1, 2, ? 2) 是平面 ABC 的一个法向量,

??? ? ?

???? ?

?

???? ? ? | DC1 ? n | 3 55 ? 设直线 C1 D 与平面 ABC 所成角为 ? ,则 sin ? ? ???? ? ? . ………………12 分 55 | DC1 || n |
20.⑴解:由题知 | CA | ? | CB |?| CP | ? | CQ | ? | AP | ? | BQ |? 2 | CP | ? | AB |? 4 ?| AB |, 所以曲线 M 是以 A, B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点) ,

设曲线 M :
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) , a 2 b2
2

则 a ? 4, b ? a ? (

| AB | 2 ) ?3, 2

x2 y 2 所以曲线 M : ? ? 1( y ? 0) 为所求.---------------4 分 4 3
⑵解:注意到直线 BC 的斜率不为 0 ,且过定点 B(1,0) , 设 lBC : x ? my ? 1, C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) , 由?

? x ? my ? 1,
2 2 ?3x ? 4 y ? 12,

消 x 得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ,所以 y1,2 ?
2 2

?3m ? 6 m2 ? 1 , 3m2 ? 4

6m ? ? y1 ? y2 ? ? 3m 2 ? 4 , ? 所以 ? -------------------------------------8 分 ?y y ? ? 9 , ? 1 2 3m 2 ? 4 ?
因为 AC ? (my1 ? 2, y1 ), AD ? (my2 ? 2, y2 ) ,所以

????

????

???? ???? AC ? AD ? (my1 ? 2)(my2 ? 2) ? y1 y2 ? (m 2 ? 1) y1 y2 ? 2m( y1 ? y2 ) ? 4 ?? 9(m 2 ? 1) 12m 2 7 ? 9m 2 ? 2 ?4? . 3m 2 ? 4 3m ? 4 3m 2 ? 4

3/6

注意到点 A 在以 CD 为直径的圆上,所以 AC ? AD ? 0 ,即 m ? ?

??? ???? ?

7 ,-----11 分 3

所以直线 BC 的方程 3x ? 7 y ? 3 ? 0 或 3x ? 7 y ? 3 ? 0 为所求.------12 分 21.⑴解:注意到函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 所以 f ( x) ? g ( x) 恒成立 ? 设 h( x) ? ln x ?

k ( x ? 1) ( x ? 0) , x 1 k x?k 则 h?( x) ? ? 2 ? , x x x2

f ( x) g ( x) 恒成立, ? x x

------------2 分

当 k ? 0 时, h?( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,所以 h( x ) 是 (0, ??) 上的增函数, 注意到 h(1) ? 0 ,所以 0 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 不合题意.-------4 分 当 k ? 0 时,若 0 ? x ? k , h?( x) ? 0 ;若 x ? k , h?( x) ? 0 . 所以 h( x ) 是 (0, k ) 上的减函数,是 (k , ??) 上的增函数, 故只需 h( x) min ? h(k ) ? ln k ? k ? 1 ? 0 . 令 u( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 0) , --------6 分

u?( x) ?

1 1? x , ?1 ? x x

当 0 ? x ? 1 时, u?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, u?( x) ? 0 . 所以 u ( x ) 是 (0,1) 上的增函数,是 (1, ??) 上的减函数. 故 u ( x) ? u (1) ? 0 当且仅当 x ? 1 时等号成立. 所以当且仅当 k ? 1 时, h( x) ? 0 成立,即 k ? 1 为所求. --------8 分

⑵解:由⑴知当 k ? 0 或 k ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ,即 h( x) ? 0 仅有唯一解 x ? 1 ,不合题意; 当 0 ? k ? 1时, h( x ) 是 (k , ??) 上的增函数,对 x ? 1 ,有 h( x) ? h(1) ? 0 , 所以 f ( x) ? g ( x) 没有大于 1 的根,不合题意. 当 k ? 1 时,由 f ?( x) ? g ?( x) 解得 x0 ? e 则 ke
k ?1

---------8 分
k ?1

k ?1

,若存在 x1 ? kx0 ? ke

,

ln(kek ?1 ) ? k (kek ?1 ? 1) ,即 ln k ? 1 ? e1?k ? 0 ,
4/6

令 v( x) ? ln x ? 1 ? e
x

1? x

( x ? 1) , v?( x) ?
x

1 1? x e x ? ex , ?e ? x xe x

令 s( x) ? e ? ex, s?( x) ? e ? e ,当 x ? 1 时,总有 s?( x) ? 0 , 所以 s ( x ) 是 (1, ??) 上的增函数,即 s( x) ? e ? ex ? s(1) ? 0 ,
x

故 v?( x) ? 0 , v ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数, 所以 v( x) ? v(1) ? 0 ,即 ln k ? 1 ? e 综上可知,不存在满足条件的实数 k . 22.解:⑴? A, B, C, D 四点共圆,
1?k

? 0 在 (1, ??) 无解.
----------------------12 分

? ?EDC ? ?EBF ,又 ?AEB 为公共角,
∴ ?ECD ∽ ?EAB, ∴
2

DC EC ED ? ? . AB EA EB

EC ED EC ED 1 1 1 ? DC ? ∴? . ? . ? . ? . ? ? EA EB EB EA 4 2 8 ? AB ?
∴ DC ? 2 . . ……………………………………………………………… 6 分 AB 4 ⑵? EF ? FA ? FB ,
2

又? ?EFA ? ?BFE , ? ?FEA ? ?EBF , 又? A, B, C, D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,? ?FEA ? ?EDC ,

EF FB , ? FA FE ? ?FAE ∽ ?FEB ,

?

? EF / /CD. .…………………………………………………… 10 分
23.解:⑴ C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1, C2 :
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 16 9

曲线 C1 为圆心是 (?2,1) ,半径是 1 的圆. 曲线 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆. ……4 分

? 2 s, ? x ? ?4 ? ? 2 ⑵曲线 C2 的左顶点为 (?4,0) ,则直线 l 的参数方程为 ? ( s 为参数) 2 ?y ? s, ? ? 2
将其代入曲线 C1 整理可得: s ? 3 2s ? 4 ? 0 ,设 A, B 对应参数分别为 s1 , s2 ,
2

则 s1 ? s2 ? 3 2, s1s2 ? 4.
5/6

所以 | AB |?| s1 ? s2 |?

( s1 ? s2 ) 2 ? 4 s1s2 ? 2 . ……………………………10 分

24.解:⑴因为 x ? 4 ? x ? a ? ( x ? 4) ? ( x ? a) ? a ? 4 , 因为 a ? 4 ,所以当且仅当 a ? x ? 4 时等号成立,故

a ? 4 ? 3,? a ? 1 为所求.……………………4 分
⑵不等式 f ( x) ? 3 ? x 即不等式 x ? 4 ? x ? a ? 3 ? x (a ? 4) , ①当 x ? a 时,原不等式可化为 4 ? x ? a ? x ? 3 ? x, 即 x ? a ? 1. 所以,当 x ? a 时,原不等式成立. ②当 a ? x ? 4 时,原不等式可化为 4 ? x ? x ? a ? 3 ? x. 即 x ? a ?1. 所以,当 a ? x ? 4 时,原不等式成立. ③当 x ? 4 时,原不等式可化为 x ? 4 ? x ? a ? 3 ? x.

a?7 a?7 , 由于 a ? 4 时 4 ? . 3 3 所以,当 x ? 4 时,原不等式成立.
即x? 综合①②③可知: 不等式 f ( x) ? 3 ? x 的解集为 R. ……………………10 分

6/6


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