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唐山市2011年高三第一次模拟考试理科数学试题


唐 市 山 2010~ 2011学 度 三 级 一 模 考 年 高 年 第 次 拟 试

理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符 合题目要求.
(1 ) 已知复数 z 的实部为 2 , 虚部为-1 , 则 =

(A) 2-i
(2 )

抛物线

(B) 2+i
的焦点坐标是

(C) l+2i

(D) -l+2i

(A) (C)
(3 ) 函数 (A).

(B) (D)
的图象与函数 的图象关于直线对称,则 (B)t

(C).
( 4 ) 正方体,

(D) 中,直线
0

与平面

所成的角为

(A) 30。 (B) 45。 (C) 60° (D) 90
( 5 ) 若 0<a<l<b,则

(A) (C)
(6)
(A)

(B) (D)

是奇函数且在( O , 2 ) 内单调递增 是奇函数且在( O , 2 ) 内单调递减 是偶函数且在( O , 2 ) 内单调递增 是偶函数且在( O , 2 ) 内单调递减 的最大值为

(B)

(C)

(D)

(7 ) 函数.

(A)

(B)

(C)

(D)

(8 ) 3 名工作人员安排在正月初一至初五的 5 天值班,每天有且只有 1 人值班,每人至多值班 2 天,则不同 的安排方法共有

(A) 30 种
(9 ) 若 ,则

(B) 60 种
=

(C) 90 种

(D) 180 种

(A)
( 1 0 ) 当直线

(B)
与曲线

(C)

(D)
有 3 个公共点时,实数 k 的取值范围是

(A)

(B)

C)

(D)

( 1 1 ) 四面体的一条棱长为;c , 其余棱长均为 3 , 当该四面体体积最大时,经过这个四面体所有顶点的球的表 面积为

(A)

(B)

(C)

(D)
, O 是平面 A B C D 内任一点, ,当点

( 1 2 ) 在平行四边形 A B C D 中, P 在以 A 为圆心, (A)

丨为半径的圆上时,有 . (B)

(C) ?

(D)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡上.
(13)

的展开式中, 项的系数为__________.(用数字作答)

(14) 若x,

y 满足约束条件

,则

的最大值为__________.

(15) 等差数列

的前 n 项和为

,若

,则当 n=__________时,

最大.
(16) 双曲线

的左、右焦点分别为

为双曲线右支上—点,PF2 与圆

切于点 G,且 G 为

的中点,则该双曲线的离心率 e=__________

三、解答趣:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分 10 分)

'中,三个内角 A、 B, C 的对边分别为 a、 b、 c,且



,求

(18) (本小题满分 12 分)

一项试验有两套方案,每套方案试验成功的概率都是

,试验不成功的概率都是

甲随机地从两套方

案中选取一套进行这项试验,共试验了 3 次,每次实验相互独立,且要从两套方案中等可能地选择一 套. ( I ) 求 3 次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率: (II)记 3 次试验中,都选择了第一套方案并试难成功的次数为 X,求 X 的分布列和期望EX.

(19) (本小题满分 12 分)

如图,直三棱柱
余弦值为 (I )求证:CD=2;

中,AC=BC=1, AAi=3

D为CCi 上的点,二面角 A-A1B-D 的

( I I ) 求点 A 到平面 A1BD 的距离.

(20) 已知

(本小题满分 12 分) . 丨的通项: ? 恒成立,求 c 的取值范围.

( I )求数列

( I I ) 若对任意,

(21)

(本小题满分 12 分) 与直线 相交于 A 、 B 两点,且 O A 丄 OB( O 为坐标原点).

椭圆 E:

( I ) 求椭圆 E 与圆

的交点坐标:

(II)当

时,求椭圆 E 的方程.

(22) (本小题满分 12 分) 已知函数. .

( I )求证: (II)是否存在常数 a 使得当 时, 恒成立?若存在,求 a 的取值范围,若不存在,说明理由.

唐山市 2010~2011 学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学参考答案
一、 选择题: A 卷:CCBAC BBCAA DB B 卷:DCBAD BBCAC DA 二、填空题: (13)-160 (14)9 (15)12 或 13 (16) 5 三、解答题: (17)解: 由 4b=5csin B 及正弦定理,得 4sin B=5sin Csin B, 5 4 又 sin B= 1-cos2B= 3 ≠0,∴sin C= 5 , 3 而 90?<B<180?,则 0?<C<90?,∴cos C= 5 ,????????????6 分 ∴cos A=cos=-cos(B+C) 5 4 2 3 6+4 5 =sin Bsin C-cos Bcos C= 3 × 5 + 3 × 5 = 15 .??????????10 分 (18)解: 记事件“一次试验中,选择第 i 套方案并试验成功”为 Ai,i=1,2,则 1 2 1 P (Ai)=C1× 3 = 3 . 2 (Ⅰ)3 次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率 1 3 1 3 2 P=P (A1·A1·A1+A2·A2·A2)= 3 + 3 =27.????????????4 分 1 (Ⅱ)X 的可能值为 0,1,2,3,则 X~B 3, 3 , k 2 3-k k 1 P (X=k)=C3 3 3 ,k=0,1,2,3.???????????????8 分

( ) ( ) (

)

( )( )

X 的分布列为 X P 0 8 27 1 4 9 2 2 9 3 1 27

?10 分 1 EX=3× 3 =1.??????????????????????????12 分 (19)解法一: (Ⅰ)取 AB 中点 E,A1B1 中点 G,连结 EG,交 A1B 于 F,连结 CE、C1G,作 DM⊥GE 于 M. ∵平面 C1GEC⊥平面 A1ABB1,∴DM⊥平面 A1ABB1. 作 MN⊥A1B 于 N,连结 DN,则 MN 为 DN 在平面 A1ABB1 上的射影,则∠DNM 为二面角 B1-A1B-D 的 平面角.???????????????????????4 分 3 2 22 ∴cos ∠DNM= 6 ,DM=C1G= 2 ,∴MN= 22 . A1G 22 1 ∵sin ∠MFN= A F = 11 ,∴MF= 2 ,∴DC=2.??????????7 分 1 (Ⅱ)在△A1BD 中,A1D= 2,BD= 5,A1B= 11. A1D2+BD2-A1B2 10 15 cos ∠A1DB= =- 5 ,sin ∠A1DB= 5 , 2A1D·DB 1 6 S△A1BD= 2 A1D·BDsin ∠A1DB= 2 , 1 3 2 2 又 S△A1AB= 2 × 2×3= 2 ,点 D 到面 A1AB 的距离 DM=CE= 2 , 设点 A 到平面 A1BD 的距离为 d,则 1 1 2 6 3 S△A1BD·d= 3 S△A1AB× 2 ,∴d= 2 . 6 故点 A 到平面 A1BD 的距离为 2 .??????????????????12 分
C1 A1 G B1 A1 D N F D M B1 z C1

C C A E B x A B y

解法二: (Ⅰ)分别以 CA、CB、CC1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 C—xyz,则 A (1,0,0)、 B (0,1,0)、A1(1,0,3).设 D (0,0,a). m=(1,1,0)是面 A1AB 的法向量,设 n=(x,y,z)是平面 A1BD 的法向量.

→ DA1=(1,0,3-a),→=(0,1,-a), DB → 由DA ·n=0,→·n=0,得 x+(3-a)z=0,y-az=0, DB
1

取 x=3-a,得 y=-a,z=-1,得 n=(3-a,-a,-1).????????4 分 |m·n| |3-2a| 3 3 由题设,|cos ?m,n?|= |m||n| = =|- 6 |= 6 , 2 2 2× (3-a) +a +1 解得 a=2,或 a=1,?????????????????????????6 分 所以 DC=2 或 DC=1.但当 DC=1 时,显然二面角 A-A1B-D 为锐角,故舍去. 综上,DC=2 ???????????????????????????7 分 → (Ⅱ)由(Ⅰ) ,n=(1,-2,-1)为面 A BD 的法向量,又AA =(0,0,3),
1 1

→ |AA1·n| ________ 6 所以点 A 到平面 A1BD 的距离为 d= = 2 .??????????12 分 |n| (20)解: + cn 1 an+1 an an+1 an 1 1 1 (Ⅰ)∵an+1=can+ ,∴ n+1 = cn + , n +1 - c n = n - . n(n+1) c n(n+1) c n+1 an a1 a2 a1 a3 a2 an an-1 ∴ cn = c1 + c2 - c1 + c3 - c2 +?+ cn - n-1 c 1 1 1 1 1 1 =0+1- 2 + 2 - 3 +?+ - n =1- n , n-1 n-1 n ∴an= n c .???????????????????????????6 分 n n+1 n-1 n (Ⅱ)an+1>an 即 c > n c. n+1 当 c<0 时,上面不等式显然不恒成立; n2-1 1 当 c>0 时,上面不等式等价于 c> n2 =1-n2.????????????9 分 1 1 1-n2是 n 的增函数,lim 1-n2 =1, n→∞ ∴c≥1. 综上,c 的取值范围是.???????12 分

(

) (

)

(

)

(

)


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