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2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式


课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式 1.已知 x 为正数,下列各题求得的最值正确的是( 3 4 4 A.y=x2+2x+ 3≥3 x2· 2x· 3=6,∴ymin=6. x x 3 1 1 3 3 B.y=2+x+x≥3 2· x· x=3 2,∴ymin=3 2. 1 C.y=2+x+x≥4,∴ymin=4. D.y=x(1-x)(1-2x) 1 3x+?1-x?+?1-2x??3 8 ≤ ? 3? 3 ? =81, ∴ymax= 8 . 81 ) a+b+c? 3 解析:选 C A、B、D 在使用不等式 a+b+c≥3 abc(a,b,c∈R+)和 abc≤? ? 3 ? 3 (a,b,c∈R+)都不能保证等号成立,最值取不到. 1? 1 C 中,∵x>0,∴y=2+x+x=2+? ?x+x?≥2+2=4, 1 当且仅当 x=x,即 x=1 时,等号成立. a b c 2.已知 a,b,c 为正数,则b+c +a有( A.最小值 3 ) D.最大值 2 B.最大值 3 C.最小值 2 3 a b c a b c 解析:选 A b+c +a≥3 b×c ×a=3, a b c 当且仅当b=c =a,即 a=b=c 时,等号成立. 3.若 logxy=-2,则 x+y 的最小值是( 3 3 2 A. 2 8 3 B. 3 3 3 C. 2 2 2 D. 3 ) 1 1 解析:选 A 由 logxy=-2,得 y= 2.而 x+y=x+ 2= x x 3 1 33 2 3 xx 1 x x 1 x 1 3 + + ≥3 · · =3 = ,当且仅当 = 2,即 x= 2时,等号成立. 2 2 x2 2 2 x2 4 2 2 x 4.已知圆柱的轴截面周长为 6,体积为 V,则下列不等式总成立的是( A.V≥π 1 C.V≥ π 8 B.V≤π 1 D.V≤ π 8 ) 6-4r 解析:选 B 设圆柱底面半径为 r,则圆柱的高 h= ,所以圆柱的体积为 V=πr2· h 2 6-4r r+r+3-2r?3 =πr2· =πr2(3-2r)≤π? 2 3 ? ? =π. 当且仅当 r=3-2r,即 r=1 时,等号成立. 5.若 a>2,b>3,则 a+b+ 1 的最小值为________. ?a-2??b-3? 解析:∵a>2,b>3,∴a-2>0,b-3>0, 则 a+b+ 1 ?a-2??b-3? 1 +5 ?a-2??b-3? 1 +5=8. ?a-2??b-3? =(a-2)+(b-3)+ 3 ≥3 ?a-2?×?b-3?× 当且仅当 a-2=b-3= 答案:8 1 ,即 a=3,b=4 时,等号成立. ?a-2??b-3? 6.设 0<x<1,则 x(1-x)2 的最大值为 ________. 解析:∵0<x<1,∴1-x>0. 1 1 2x+?1-x?+?1+x??3 故 x(1-x)2= ×2x(1-x)(1-x)≤ ? 2 2? 3 ? 1 8 4 1 = × = (当且仅当 x= 时,等号成立). 2 27 27 3 答案: 4 27 1 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值 ?x-a?2 7.已知关于 x 的不等式 2x+ 为________. 解析:2x+ 1 1 =(x-a)+(x-a)+ +2a. ?x-a?2 ?x-a?2 ∵x-a>0, ∴2x+ 3 1 1 1 ?x-a??x-a? +2a=3+2a,当且仅当 x-a= 即 x=a 2≥3 ?x-a?

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