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教学优质课件:第二章 平面向量应用举例


不奋苦而求速效,只落得少日浮夸, 老来窘隘而已。 ——郑板桥

§7 向量应用举例

向量在平面几何中的应用

平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等,是平面几 何中常见的问题,而这些问题都可以由向量的线性运算及 数量积表示出来.因此,平面几何中的某些问题可以用向 量方法来解决,但解决问题的数学思想、方法和技能,需

r />
要我们在实践中去探究、领会和总结.

例1:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。 如图,你能发现平行四边形两条对角线的长度与两条邻 边的长度之间的关系吗?

D

C

D

C

b
A B

特殊化

a
一般化

A

B

探索:ABCD

2 2 2 2 中,该关系 AC ? DB ? 2( AB ? AD ) 是否依然成 2 2 2 2 ? ? 立? 即证 AC ? DB ? 2? AB ? AD ? ? ?

例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知:平行四边形ABCD。 D AB2 ? BC2 ? CD 2 ? DA2 ? AC2 ? BD2 求证: 分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 AB ? a, AD ? b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
2 2

C B

解:设 AB ? a, AD ? b ,则 BC ? b, DA ? a, AC ? a ? b; DB ? a ? b

AB ? BC ? CD ? DA ? 2( a ? b )
2 2 2 2

AC ? BD ? a ? b ? a ? b
2 2

?

? ?
2

?

2

2 2 2 2 ? ? ? ? a ? 2ab ? b ? a ? 2ab ? b ? 2? a ? b ? ? 2? a ? b ? ? ? ? ? ? ∴ AB2 ? BC2 ? CD 2 ? DA2 ? AC2 ? BD2 2 2 2 2

【例 2】 如图所示,在正方形 ABCD 中,E,F 分 别是 AB,BC 的中点,求证:AF⊥DE.

【思维导图】 → → → → 选基底AB,AD或建系 → 证明AF· DE=0 → 从而证得AF⊥DE

【证明】 =0,

→ → 方法一:设 AD=a, AB=b,则|a|=|b|,a· b

→ → → b → → → a 又DE=DA+AE=-a+ ,AF=AB+BF=b+ , 2 2 → → a b 所以AF· DE=(b+2)· (-a+2) 1 2 3 b2 1 2 1 2 =- a - a· b+ =- |a| + |b| =0. 2 4 2 2 2 → → 故AF⊥DE,即AF⊥DE.

方法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边 → → 长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1), AF =(2,1), DE =(1,-2). → → 因为AF· DE=(2,1)· (1,-2)=2-2=0, → → 所以AF⊥DE,即AF⊥DE.

思考1

用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什

么?
几何问题向量化 向量运算关系化

向量关系几何化.

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉

及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、 夹角等问题;

(3)把运算结果“翻译”成几何元素. 简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形

1.用向量法解决平面几何问题,一般来说有两个方 向: (1)几何法:选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向 量作为基底),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的 运算法则、运算律或性质计算;

(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标 化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数 运算. 一般地,存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标 法.

例2 如图, ABCD中,点E、F分别 是AD 、 DC边的中点,BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点,你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗?
D F T C

?

猜想: AR=RT=TC
A

E

R

B



??? ? ???? ? ? ? 由于 AR 与AC 共线,故设r ? n(a ? b ), n ? R

??? ? ? ???? ? ??? ? ? AB ? a , AD ?则 b , AR ? r ,

???? ? ? AC ? a ? b

??? ? ??? ? 又因为 ER与EB

共线,
D E R F T B C

??? ? ???? ? 1? 所以设ER ? mEB ? m(a ? b ) 2

??? ? ???? ??? ? 因为 AR ? AE ? ER
? 1? ? 1? 所以 r ? b ? m (a ? b ) A 2 ? ? 2

? 1 ? 1? 因此n(a ? b ) ? b ? m(a ? b ) 2 2

D E A R

F T

C

B m ?1 ? ? ? 即( n ? m )a ? ( n ? )b ? 0 2
? ? 2

?n ? m ? 0 ? ? 由于向量a , b不共 线,? ? m ?1 n? ?

0

???? 1 ???? ??? ? 1 ???? ???? 1 ???? 所以 AR ? AC ,同理TC ? AC , 于是 RT ? AC 3 3 3

1 解得:n= m = 3

故AT=RT=TC

练习1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析:要证∠ACB=90°,只须证向 量AC ? CB,即 AC ? CB ? 0 。

C

? a

? b
O

B

解:设 AO ? a, OC ? b


AC ? a ? b, CB ? a, ?b ???? ??? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 AC ? CB ? a ? b . a ? b ? a ? b ? a ? b 由此可得:

思考:能否用向量 坐标形式证明?

?

??

?

即 AC ? CB ? 0,得 ∠ACB=90°

?r ?r ?0
2 2

向量在物理中的应用
例3 一架飞机从A地向北偏西60o的方向飞行1000km到 达B地,然后向C地飞行。设C地恰好在A地的南偏西60o, 并且A,C两地相距2000km,求飞机从B地到C地的位移. 分析


要求飞机从B地到C地的位移,需要
解决两个问题: ⑴利用解三角形的知识求线段BC的长度 ⑵求BC与基线的夹角. C
西

B D

60o 60o



A


解:设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意, ??? ? ??? ? ??? ? o AB的方向是北偏西60 , ?AB ?? ????km; AC的方向是 ??? ? o 南偏西60 , ?AC?? ????km.所以?BAC ? 60o .  过点B作东西基线的垂线,交AC 于D, 则ΔABD为正三角形.所以BD ? CD ? 1000km, 1 ?CBD ? ?BCD ? ?BDA ? 30o.所以?ABC ? 90o. 2 ??? ? 3 o BC ? AC sin 60 =2000 ? ?BC? =1000 3km. ? km ? , 2 答:飞机从B地到C 地的位移大小是1000 3km, 方向是南偏西30o .

例4:在生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行 包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越 小越省力!你能从数学的角度解释这个现象吗? 分析:上述的问题跟如图所示 的是同个问题,抽象为数学模 型如下: 用向量F1,F2,表示两个提力, 它们的合向量为F,物体的重力 用向量G来表示, F1,F2的夹 角为θ,如右图所示,只要分清 F,G和θ三者的关系,就得到 了问题得数学解释! F1 θ F

F2

G

解:不妨设 F1 = F2 ,由向量的 平行四 边形法则,力的平衡以及直角三角形的知识, 可以知道: G F1 = ( *) θ 2cos 2 F 通过上面的式子,有:当θ由0? 到180? 逐渐变 θ θ cos 大时, 由0? 到90? 逐渐变大, 2 的值由大逐 2 渐变小,因此 : F1 由小逐渐变大,即F1 ,F2之间 的夹角越大越费力,夹角越小越省力! 探究:

F

F2

1

F2 θ cos θ 2

G

(1)θ为何值时, F1 最小,最小值是多少? G θ 答:在(*)式中,当θ =0? 时, cos 2 最大, F1 最小且等于 2 (2)F1 能等于 G 吗?为什么? 答:在(*)中,当 cos θ = 1 即θ=120? 时,F1 = G 2 2

小结: (1)、为了能用数学描述这个问题,我们要先把这一物 理问题转化成数学问题。如上题目,只考虑绳子和物体的 受力平衡,画出相关图形! (2)、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题, 用向量的有关法则解决问题! (3)、用数学的结果解决物理问题,回答相关的物理现象。

例4 已知力 F 与水平方向的夹角为300(斜向上),大小 ? 为50N,一个质量为8kg的木块受力 F 的作用在动摩擦因数
? μ=0.02的水平平面上运动了20m.问力 F 和摩擦力

?

的功分别为多少?(g=10m/s2) 分析 本题是向量在物理学中“力学问题” 上应用的例子,可以清楚地看出向量的 直接作用,根据向量数量积的几何意义, 可知对物体所做的功即是表示力的向量 和表示位移的向量的数量积.

? f 所做 ?
F
?? ? F2
300

? f
?? G

?? F 1

? 解:设木块的位移为s,则 ?? ? ?? ? 3 o F?s? ?F??? s cos30 ? 50 ? 20 ? ? 500 3 ? J ? . 2 ?? ?? ? 将力F 分解,它的铅垂线方向上的分力F1的大小为 ?? ? ?? 1 o ?F1???F? sin30 ? 50 ? ? 25 ? N ? , 2 所以,摩擦力f 的大小为 ?? ?? ?? ?f? ? ?? G ? F 1 ? ? ? 80 ? 25 ? ? 0.02 ? 1.1 ? N ? . ?? ? ?? ? 因此 f ? s ? ?f? ? ?? s cos 180o ? 1.1 ? 20 ? ? ?1? ? ?22 ? J ? . ?? ?? 答   F 和 f 所做的功分别是500 3J 和-22J .

?

?

技巧点拨:
1.将物理中的矢量用向量表示, 2.找出向量与向量的夹角, 3.利用向量的数量积计算功.

例5 .一条河的两岸平行,河宽d ? 500m,一艘船从A ?? 出发航行到河的正对岸B处.航行的速度 v1 ? ?? 10km / h,水流的速度 v 2 ? 2km / h,问行驶航程最 短时,所用的时间是多少?

思路分析
? ?? ?? 如图,已知v ? v1 ? v 2, ?? v1 ? 10km / h, ?? v 2 ? 2km / h , ? ?? v ? v 2,求t .

B
?? v1

? v

?? v2

A

? ?? 解:由已知条件得:v ? v2 ? 0

? ? 2 ? 2 | v |? | v1 | ? | v2 | ? 96( km / h),
所以 d 0.5 t? ? ? ? 60 ? 3.1(min). |v | 96

技巧点拨: 1.计算速度的合速度, 2.计算时间必须使速度的方向和位移的方 向一致.

→ → → 若 O 是△ABC 所在平面内一点, 且满足|OB-OC|=|OB → → +OC-2OA|,则对△ABC 的形状最准确的描述为( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 )

→ → → → → → → → 解析: 因为OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+ → → → → → → → → → → AC,OB-OC=CB=AB-AC,于是|AB+AC|=|AB-AC|, → →2 → →2 → → 所以|AB+AC| =|AB-AC| ,即AB· AC=0,从而 AB⊥AC.故 选 B.

答案:B


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