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2015届高考数学一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用


2015 届高考数学一轮总复习 6-4 数列的综合问题与数列的应用
基础巩固强化 一、选择题 1.(文)若 a、b、c 成等比数列,则函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的个数是( A.0 [答案] A [解析] 由题意知,b2=ac>0,∴Δ=b2-4ac=-3ac<0,∴f(x)的图象与 x 轴无交点. (理)已知数列{an},{bn}

满足 a1=1,且 an、an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b10 等 于( ) A.24 [答案] D an+2 + [解析] 依题意有 anan+1=2n,所以 an+1an+2=2n 1,两式相除得 =2,所以 a1,a3,a5,?成 an 等比数列,a2,a4,a6,?成等比数列,而 a1=1,a2=2,所以 a10=2×24=32,a11=1×25=32.又 因为 an+an+1=bn,所以 b10=a10+a11=64,故选 D. 2.(文)小正方形按照下图中的规律排列: B.32 C.48 D.64 B.1 C.2 D.不确定 )

每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{an},有以下结论: ①a5=15;②数列{an}是一个等差数列;③数列{an}是一个等比数列;④数列的递推公式为:an =an-1+n(n∈N*),其中正确的为( A.①②④ C.①② [答案] D n?n+1? [解析] 观察图形可知 an=1+2+3+?+n= .∴选 D. 2 (理)某同学在电脑中打出如下若干个圈: ●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?? 若将此若干个圈依此规律继续下去, 得到一系列的圈, 那么在前 2014 个圈中的●的个数是( A.60 B.61 C.62 D.63 [答案] C [解析] 第一次出现●在第 1 个位置; 第二次出现●在第(1+2)个位置; 第三次出现●在第(1+2 +3)个位置;?;第 n 次出现●在第(1+2+3+?+n)个位置.
1

) B.①③④ D.①④

)

n?n+1? n?n+1? 62×?62+1? ∵1+2+3+?+n= ,当 n=62 时, = =1953,2014-1953=61<63, 2 2 2 ∴在前 2014 个圈中的●的个数是 62. 3.(2012· 沈阳市二模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2、a4 是方程 x2-x-2=0 的两个实 数根,则 S5 的值为( 5 A. 2 ) D.-5

5 B.5 C.- 2

[答案] A [解析] ∵a2、a4 是方程 x2-x-2=0 的两实根, ∴a2+a4=1, 5×?a1+a5? 5?a2+a4? 5 ∴S5= = = . 2 2 2 4.(文)已知{an}为等差数列,{bn}为正项等比数列,公式 q≠1,若 a1=b1,a11=b11,则( A.a6=b6 C.a6<b6 [答案] B a1+a11 [解析] a6= ,b6= b1b11= a1a11, 2 由 q≠1 得,a1≠a11. a1+a11 故 a6= > a1a11=b6. 2 (理)(2012· 吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{an}的前 20 项的和是 100,那么 a6· a15 的最大值是( ) B.a6>b6 D.以上都有可能 )

A.25 B.50 C.100 D.不存在 [答案] A [解析] 由条件知,a6+a15=a1+a20= a6+a15 2 1 1 S20= ×100=10,a6>0,a15>0,∴a6· a15≤( ) 10 10 2

=25,等号在 a6=a15=5 时成立,即当 an=5(n∈N*)时,a6· a15 取最大值 25. 5. 已知{an}是等差数列, Sn 为其前 n 项和, 若 S29=S4000, O 为坐标原点, 点 P(1, an), 点 Q(2015, → → a2015),则OP· OQ=( A.2015 C.0 [答案] A 29+4000 [解析] 由 S29=S4000 得到 Sn 关于 n= =2014.5 对称,故 Sn 的最大(或最小)值为 S2014= 2 → → S2015,故 a2015=0,OP· OQ=2015+an· a2015=2015+an×0=2015,故选 A. 1 6.(2013· 江南十校联考)已知函数 f(x)=xa 的图象过点(4,2),令 an= ,n∈N*.记数列 f?n+1?+f?n?
2

) B.-2015 D.1

{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2013=( A. 2012-1 C. 2014-1 [答案] C

) B. 2013-1 D. 2014+1

1 [解析] 由 f(4)=2 可得 4a=2,解得 a= ,则 f(x)=x 2 1 1 ∴an= = = n+1- n, f?n+1?+f?n? n+1+ n

1 2

.

S2013 = a1 + a2 + a3 + ? + a2013 = ( 2 - 1) + ( 3 - 2) + ( 4 - 3) + ? + ( 2014 - 2013) = 2014-1. 二、填空题 7.(文)已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=2,b1=1,a2=b2,2a4= b3,且存在常数 α、β,使得 an=logαbn+β 对每一个正整数 n 都成立,则 αβ=________. [答案] 4
? ? ? ?2+d=q, ?q=2, ?q=4, ? ? [解析] 设{an}的公差为 d, {bn}的公比为 q, 则? 解得 ( 舍去 ) 或 2 ?2?2+3d?=q . ?d=0, ?d=2. ? ? ?

所以 an=2n,bn=4n 1.若 an=logαbn+β 对每一个正整数 n 都成立,则满足 2n=logα4n 1+β,即 2n
- -

=(n-1)logα4+β,因此只有当 α=2,β=2 时上式恒成立,所以 αβ=4. 2 (理)在等比数列{an}中,首项 a1= ,a4=?4(1+2x)dx,则公比 q 为________. 3 ?
1

[答案] 3
2 2 3 a4 [解析] ∵a4=?4(1+2x)dx=(x+x2)|4 1=(4+4 )-(1+1 )=18,∴q = =27, a1 ? 1

∴q=3. 8. 小王每月除去所有日常开支, 大约结余 a 元. 小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来, 每月初存入银行 a 元,存期 1 年(存 12 次),到期取出本和息.假设一年期零存整取的月利率为 r, 每期存款按单利计息.那么,小王存款到期利息为________元. [答案] 78ar [解析] 依题意得,小王存款到期利息为 12ar+11ar+10ar+?+3ar+2ar+ar= 78ar 元. x2 y2 9. (文)已知 m、 n、 m+n 成等差数列, m、 n、 mn 成等比数列, 则椭圆 + =1 的离心率为________. m n [答案] 2 2 12?12+1? ar= 2

[解析] 由 2n=2m+n 和 n2=m2n 可得 m=2,n=4,

3

∴e=

n-m 2 = . 2 n

(理)已知双曲线 an-1y2-anx2=an-1an(n≥2,n∈N*)的焦点在 y 轴上,一条渐近线方程是 y= 2x, 其中数列{an}是以 4 为首项的正项数列,则数列{an}的通项公式是________. [答案] an=2n
+1

y2 x2 [解析] 双曲线方程为 - =1, an an-1 ∵焦点在 y 轴上, 又渐近线方程为 y= 2x, ∴ an = 2, an-1
- +

又 a1=4,∴an=4×2n 1=2n 1. 三、解答题 10.(文)(2013· 浙江萧山五校联考)已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数 f ′(x) =2x+2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2n· an,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求 Tn. [解析] (1)设 f(x)=ax2+bx,f ′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x, ∴Sn=n2+2n, ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1, 又 a1=S1=3,适合上式,∴an=2n+1. (2)bn=(2n+1)· 2n, ∴Tn=3· 21+5· 22+7· 23+?+(2n+1)· 2n , ∴2Tn=3· 22+5· 23+7· 24+?+(2n+1)· 2n 1,


相减得-Tn=3· 21+2· (22+23+?+2n)-(2n+1)· 2n 4· ?1-2n 1? + =6+2· -(2n+1)· 2n 1 1-2


+1

=(1-2n)· 2n 1-2,


∴Tn=(2n-1)· 2n 1+2.


(理)已知函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f ′(x)=6x-2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 b3 bn (2)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an= + 2+ 3+?+ n(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2 2 2 2 [解析] (1)由题意可设 f(x)=ax2+bx+c, 则 f ′(x)=2ax+b=6x-2,∴a=3,b=-2,
4

∵f(x)过原点,∴c=0,∴f(x)=3x2-2x. 依题意得 Sn=3n2-2n.n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5, n=1 时,a1=S1=1 适合上式. ∴an=6n-5(n∈N*). b1 b2 b3 bn (2)∵an= + 2+ 3+?+ n, 2 2 2 2 bn-1 b1 b2 b3 ∴an-1= + 2+ 3+?+ n-1(n≥2). 2 2 2 2 bn 相减得 n=6, 2 ∴bn=6· 2n(n≥2).b1=2a1=2,
?2 ? ∴bn=? n ? 2 ?6·

?n=1?, ?n≥2?.


∴Tn=2+6(22+23+?+2n)=3· 2n 2-22. 能力拓展提升 一、选择题 x2 y2 11.椭圆 + =1 上有 n 个不同的点 P1、P2、?、Pn,椭圆的右焦点为 F,数列{|PnF|}是公差 4 3 1 大于 的等差数列,则 n 的最大值为( 1000 A.2001 C.1999 [答案] B [分析] 公差确定后,首项和末项之差越大,等差数列的项数就越多(即 n 越大),故 P1 与 Pn 取 长轴两端点时 n 取最大值,可依据公差大于 1 列不等式解. 1000 ) B.2000 D.1998

[解析] ∵|PnF|max=a+c=3,|PnF|min=a-c=1, an-a1 3-1 1 d= = > ,n∈N, n-1 n-1 1000 ∴nmax=2000,故选 B. 12.(文)数列{an}是公差 d≠0 的等差数列,数列{bn}是等比数列,若 a1=b1,a3=b3,a7=b5, 则 b11 等于( A.a63 ) B.a36 C.a31 D.a13

[答案] A [解析] 设数列{bn}的首项为 b1,公比为 q,则
2 ? ?a1+2d=a1q , a1 ? 得 d= (q4-q2). 4 4 ?a1+6d=a1q . ?

5

a1 ∴a1+ (q4-q2)=a1q2, 2 a1 ∵q≠1,∴q2=2,d= , 2 于是 b11=a1q10=32a1. a1 设 32a1=a1+(n-1)· ,则 n=63, 2 ∴b11=a63. an 1 (理)(2013· 河北教学质量监测)已知数列{an}满足:a1=1,an+1= (n∈N*).若 bn+1=(n-λ)( a an+2 n +1)(n∈N*),b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数 λ 的取值范围为( A.λ>2 C.λ<2 [答案] C 1 2 1 1 1 1 [解析] 由已知可得 = +1, +1=2( +1), +1=2≠0,则 +1=2n,bn+1=2n(n- an a1 an an+1 an an+1 λ),bn=2n 1(n-1-λ)(n≥2,n∈N*),b1=-λ 也适合上式,故 bn=2n 1(n-1-λ)(n∈N*).由 bn+1>bn,
- -

)

B.λ>3 D.λ<3

得 2n(n-λ)>2n 1(n-1-λ),即 λ<n+1 恒成立,而 n+1 的最小值为 2,故实数 λ 的取值范围为 λ<2.


13.(文)如图,是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是(

)

1 A. 2

2 3 4 B. C. D. 3 4 5

[答案] C [解析] 循环过程为 i=1<4→i=2,m=1,S= 1 1 i=2<4→i=3,m=2,S= + ; 1×2 2×3 1 1 1 i=3<4→i=4,m=3,S= + + ; 1×2 2×3 3×4 i=4<4 不成立,输出 S 的值. 1 ; 1×2

6

故 S=

1 1 1 + + 1×2 2×3 3×4

1 1 1 1 1 1- ?+? - ?+? - ? =? 2 2 3 ? ? ? ? ?3 4? 1 3 =1- = . 4 4 5 (理)已知数列{an}的各项均为正数,如图给出程序框图,当 k=5 时,输出的 S= ,则数列{an} 11 的通项公式为( )

A.an=2n C.an=2n+1 [答案] B

B.an=2n-1 D.an=2n-3

1 1 [解析] 由 ai+1=ai+2 知数列{an}是公差为 2 的等差数列, 由 M= 及 S=S+M 知, S= a1a2 aiai+1 + 1 1 +?+ , a2a3 aiai+1 5 1 1 1 1 1 1 1 由条件 i≤k 不满足时输出 S 及输入 k=5,输出 S= 知, + +? = [( - )+( - 11 a1a2 a2a3 a5a6 2 a1 a2 a2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 )+?( - )]= ( - )= ( - )= = , a3 a5 a 6 2 a1 a6 2 a1 a1+10 a1?a1+10? 11 ∵a1>0,∴a1=1,∴an=2n-1. 二、填空题 14 . (2013· 广 东 佛 山 一 模 ) 我 们 可 以 利 用 数 列 {an} 的 递 推 公 式

,求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是
7

奇数,则 a24+a25=________;研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么第 8 个 5 是该数列的 第________项. [答案] 28 640

[解析] a24+a25=a12+25=a6+25=a3+25=3+25=28. 5=a5=a10=a20=a40=a80=a160=a320=a640. 15.已知数列{an}的通项公式为 an=2n(n∈N*),把数列{an}的各项排列成如图所示的三角形数 阵: 2 2 27
2

23 29 210

24 25 26 28 ?? 记 M(s,t)表示该数阵中第 s 行的第 t 个数,则 M(11,2)对应的数是________(用 2n 的形式表示,n ∈N). [答案] 257 m?m+1? [解析] 由数阵的排列规律知, 第 m 行的最后一个数是数列{an}的第 1+2+3+?+m= 2 10×11 项, 且该行有 m 项, 由此可知第 11 行的第 2 个数是数列{an}的第 +2=57 项, 对应的数是 257. 2 三、解答题 16.(文)已知数列{an}是公差 d≠0 的等差数列,记 Sn 为其前 n 项和. (1)若 a2、a3、a6 依次成等比数列,求其公比 q. S1 S2 Sn 1, ?,P2?2, ?,?,Pn?n, ?(n∈N*)在同一条直线上,并写出此直 (2)若 a1=1,证明点 P1? 1 2 ? ? ? ? ? n? 线方程. [解析] (1)∵a2、a3、a6 依次成等比数列, a3 a6 a6-a3 3d ∴q= = = = =3,即公比 q=3. a2 a3 a3-a2 d n?n-1? (2)证明:∵Sn=na1+ d, 2 n-1 n-1 Sn ∴ =a1+ d=1+ d. n 2 2 Sn x-1 n, ?在直线 y=1+ ∴点 Pn? d 上. n ? ? 2 d ∴点 P1,P2,?,Pn(n∈N*)都在过点(1,1)且斜率为 的直线上. 2 d 此直线方程为 y-1= (x-1).即 dx-2y+2-d=0. 2 (理)在等差数列{an}中, 设 Sn 为它的前 n 项和,若 S15>0,S16<0,且点 A(3,a3)与 B(5,a5)都在
8

斜率为-2 的直线 l 上, (1)求 a1 的取值范围; S1 S2 S15 (2)指出 , ,?, 中哪个值最大,并说明理由. a1 a2 a15 a5-a3 [解析] (1)由已知可得 =-2,则公差 d=-2, 5-3

?S ∴? ?S

15=15a1+

15×14 ×d=15?a1-14?>0, 2 16×15 ×d=16?a1-15?<0. 2

16=16a1+

∴14<a1<15. S8 (2)最大的值是 , a8 ∵S15=15a8>0,S16=8(a8+a9)<0, ∴a8>0,a9<0,即 S8 最大. Si Si 又当 1≤i≤8 时, >0;当 9≤i≤15 时, <0, ai ai ∵数列{an}递减, S1 S2 S8 S8 S9 S15 S8 ∴ ≤ ≤?≤ , ≥ ≥?≥ ? 最大. a1 a2 a8 a8 a9 a15 a8

考纲要求 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 补充说明 1.等比数列综合问题的解题思路 在解答等差、等比数列综合问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.但 用“基本量法”并树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,往往能取得与“巧用性质”相同 的解题效果,既要掌握“通法”,又要注重“特法”. 2.通过数列通项公式观察数列特点和规律,在分析数列通项的基础上,判断求和类型,寻找求 和的方法,将数列拆为基本数列,或转化为基本数列求和.求和过程中同时要对项数作出准确判断. 3.含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论. 4.数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系,优化组合,无形中 加大了综合的力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解,深刻领 悟它在解题中的重大作用, 常用的数学思想方法有: “函数与方程”、 “数形结合”、 “分类讨论”、 “等价转换”等. 备选习题 1 1 1.设正项等比数列{an}的前 n 项之积为 Tn,且 T10=32,则 + 的最小值为( a5 a6
9

)

A.2 2 [答案] B

B. 2

C.2 3 D. 3

1 1 1 1 1 [解析] 由条件知,T10=a1a2?a10=(a5a6)5=32,∵an>0,∴a5a6=2,∴ + = · a5a6· ( + ) a5 a6 2 a5 a 6 1 1 = (a5+a6)≥ ×2 a5a6= 2,等号在 a5=a6= 2时成立. 2 2 2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 a6+a7>0 是 S9≥S3 的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 [答案] A [ 解析 ] ∵ S9≥S3 ? a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9≥0 ? 3(a6 + a7)≥0 ? a6 + a7≥0 ,∴a6 + a7>0 ? a6 + )

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a7≥0,但 a6+a7≥0? / a6+a7>0,故选 A. 1 bn 3.已知数列{an}、{bn}满足 a1= ,an+bn=1,bn+1= ,则 b2014=( 2 1-a2 n 2013 2014 2014 2015 A. B. C. D. 2014 2013 2015 2014 [答案] C 1 1 [解析] ∵an+bn=1,a1= ,∴b1= , 2 2 bn b1 2 ∵bn+1= 2,∴b2= 2= , 1-an 1-a1 3 1 b2 3 1 b3 4 1 1 n ∴a2= ,b3= = ,a3= ,b4= ,bn= ,∴ 2= ,a4= ,?,观察可见 an= 3 4 4 5 5 1-a2 1 - a n + 1 n + 1 2 3 2014 b2014= ,故选 C. 2015 4.(2013· 武汉调研)在如图所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai,j, 且满足 a1,j=2j 1, ai,1=i,


)

ai+1,j+1=ai,j+ai+1,j(i,j∈N*);又记第 3 行的 3,5,8,13,22,39,?,为数列{bn},则 第1行 第2行 第3行 ?? (1)此数表中的第 2 行第 8 列的数为________; (2)数列{bn}的通项公式为________. [答案] (1)129 (2)bn=2n 1+n+1,n∈N*


1 2 3

2 3 5

4 5 8

8 9 13

? ? ?

5.已知 f(x)=a1x+a2x2+?+anxn(n 为正偶数)且{an}为等差数列,f(1)=n2,f(-1)=n,试比较 1? f? ?2?与 3 的大小,并证明你的结论. [解析] 由 f(1)=n2,f(-1)=n 得,a1=1,d=2.

10

1? ?1? ?1?2 ?1?3 ?1?n ∴f? ?2?=?2?+3?2? +5?2? +?+(2n-1)·?2? , 1?n 1 1 1? ?1?2 ?1?3 ?1?n+1 两边同乘以 得, f? = +3?2? +?+(2n-3)? ?2? +(2n-1)?2? , 2 2 ?2? ?2? 1 1? 1- n-1? 2 2 1?3 ? 1 1? 1 ?1?2 1 ?1?n ?1?n+1 1 ? 两式相减得, f? = +2 +2? -(2n-1) n+1. ?2? +?+2?2? -(2n-1)?2? =2+ 2 ?2? 2 ?2? 1 2 1- 2 1? 2n+3 ∴f? ?2?=3- 2n <3.

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