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1.3.1柱体、锥体、台体的表面


第一课时 柱体、锥体、台体的表面积
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)了解柱体、锥体与台体的表面积(不要求记忆公式). (2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积. (3)培养学生空间想象能力和思维能力. 2.过程与方法 让学生经历几何体的侧面展开过程,感知几何 体的形状,培养转化化归能力. 3.情感、态度与价值观 通过学习,使学生感受到几面体表面积的求解过程,激

发学生探索创新的意识,增强学 习的积极性. (二)教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算. 难点:展开图与空间几何体的转化. (三)教学方法 学导式:学生分析交流与教师引导、讲授相结合. 教学环节 教学内容 问题:现有一棱长为 1 的正方体盒 师生互动 学生先思考讨论,然后 设计意图

子 AC′, 一只蚂蚁从 A 点出发经侧面到 回答. 达 A′点,问这只蚂蚁走边的最短路程 学生:将正方 体沿 是多少? D′ A′ 新课导入 A D B C′ B′ C A 则 AA? ? 17 即所求. 师:( 肯定后 )这个题考 查的是正方体展开 图的应 用,这节课,我们围绕几何 体的展开图讨论几 何体的 表面积. AA ′展开得到一个由四个 小正方形组成的大 矩形如 图 A′ 情境生动, 激发热情 教师顺势 带出主题.

1.空间多面体的展开图与表面积 的计算. ( 1 )探索三棱 柱、三棱锥、三棱台 的展开图. ( 2 )已知棱长 为 a,各面均为等边 三角形 S – ABC (图 1.3—2),求它的表面积. 解:先求△SBC 的面积,过点 S 作 SD⊥BC,交 B 于 D,因为 BC = a,
a 3 SD ? SB 2 ? BD 2 ? a 2 ? ( ) 2 ? a 2 2

师:在初中,我们已知 学习了正方体和长方体的 让 学 生 经 表面积以及它们的展开图, 历 几 何 体 你知道上述几何体 的展开 图与其表面积的关系吗 ? 展开过程 感知几何

生:相等 . 体的形状. 师:对于一个一般的多 推 而 面,你会怎样求它 的表面 积.[来源:学. 科. 网] 是各个面的面积之和,我们 可以把它展成平面图形,利 用平面图形求面积 的方法 求解. 师: (肯定)棱柱、棱 锥、棱台边是由多个平面图 形围成的多面体,它们的展 开图是什么?如何 计算它 们的体积? …… 广之, 培养 探索意识

生:多面体的表面积就 会

1 1 3 3 2 BC ? SD ? a ? a? a . 2 2 2 4 ∴四面体 S – ABC 的表面积

∴S

SBC

?

S ? 4?

3 2 a ? 3a2 . 4

探索新知

生: 它的表面积都等于 表面积与侧面积之和. 师以三棱柱、三棱锥、 三棱台为例,利用多媒体设 备投放它们的展开图,并肯 定学生说法. 师:下面让我们体会简 单多面体的表面积的计算. 师打出投影片、学生阅 读、分析题目、整理思想. 生: 由于四面体 S – ABC 的四个面都全等的 等边三 角形,所以四面体的表面积 等于其中任何一个面积的 4 倍. 学生分析,教师板书解 答过程.

2.圆柱、圆锥、圆台的表面积 (1 )圆柱、圆锥、圆台的表面积 公式的推导 S 圆柱 = 2 ? r (r + 1) S 圆锥 = ? r (r + 1) S 圆台 = ? (r12 + r2 + r1 l + rl ) (2) 讨论圆台的表面积公式与圆 柱及圆锥表面积公式之间的变化关系
S 圆台= ? ( r +r +rl+r′l)
12 2

师:圆柱、圆锥的侧面 展开图是什么? 生: 圆柱的侧面展开图 是一个矩形,圆锥的侧面展 开图是一个扇形. 师:如果它们的底面半 径均是 r,母线长均为 l,则 它们的表面积是多少? 师:打出投影片(教材 图 1.3.3 和图 1.3—4) 生 1 :圆柱的底面积为 ? r 2 ,侧面面积为 2? rl ,因 此,圆柱的表面积: 让 学 生 自 己推 生 2 :圆锥的底面积为? r , 加 侧面积为 ? rl ,因此,圆锥 导公式, 深学生对 的表面积: 公式的认 S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l ) 识. 师: (肯定)圆台的侧面 展开图 用联系的
2

r=1 S 圆柱=2 ? r( r+l)

r=0 S 圆锥= ? r( r+l)

(3)例题分析 例 2 如图所示, 一个圆台形花盆盆口直 径为 20cm, 盆底直 径为 15cm, 底部渗 水 圆 孔 直 径 为 1.5cm , 盆 壁 长 15cm. 为了美化花盆的外观,需要涂油 漆. 已知每平方米用 100 毫升油漆,涂

S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r (r ? l )

100 个这样的花盆需要多少油漆 ( ? 取 3.14, 结果精确到 1 毫升, 可用计算 器)? 是一个扇环,如果它的上、 观点看待 探索新知 分 析:只要求出每一个花盆外壁的表面 下底面半径分别为 r 、r′, 三者之间 更 积, 就可求出油漆的用量. 而花盆外壁的 母线长为 l,则它的侧面面积 的关系, 表面积等于花盆的侧面面积加上下底 类似于梯形的面积计算 S 侧 加方便于 学生对空 面面积,再减去底面圆孔的面积. 1 = (2? r ? ? 2? r )l ? ? (r ? r ?)l 间几何体 解:如图所示,由圆台的表积公式得一 2 个花盆外壁的表面积
15 15 20 1.5 S ? ? ? [( )2 ? ?15 ? ?15] ? ? ? ( )2 2 2 2 2

所 以 它 的 表 面 积 为 [ 来 的了解和 掌握, 灵活 源:Z+xx+k.Com]
S ? ? (r12 ? r 2 ? r ?l ? rl ) 现 在

≈1000(cm ) = 0.1(m ). 涂 100 个花盆需油漆:0.1×100× 100

2

2

运用公式 解决问题.

请大家研究这三个表面积公

=1000(毫升). 式的关系. 答:涂 100 个这样的花盆约需要 1000 学生讨论,教师给予适当引 毫升油漆. 导最后学生归纳结论. 师:下面我们共同解决一个 实际问题. (师放投影片,并读题) 师:本题只要求出花盆外壁 的表面积,就可求出油漆的 用量,你会怎样用它的表面 积. 生:花盆的表积等于花盆的 侧面面积加上底面面积,再

减去底面圆孔的面积 .( 学生 分析、教师板书

1.练习圆锥的表面积为 a cm2 ,且 它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆 锥的底面直径.

学生独立完成

随堂练习

2 .如图是一种机 器零件,零件下面是六棱柱(底面是正 六边形,侧面是全等的矩形)形,上面 是圆柱(尺寸如图,单位:mm)形. 电 镀这种零件需要用锌,已知每平方米用 锌 0.11kg , 问电镀 10 000 个零件需锌多 少千克(结果精确到 0.01kg ) 答案:1.
2 3? 3a? m;

2.1.74 千克. 1.柱体、锥体、台体展开图及表 归纳总结 面积公式 1. 2.柱体、锥体、台体表面积公式 的关系. 作业[来 源:学+科+ 网] 备用例题 例 1 直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为 Q1 ,Q2 ,求直平行六面体的 侧面积. 【分析】 解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征, 直平行六面体是侧棱与底 面垂直的平行六面体,它的两个对角面是矩形. 【解析】如图所示,设底面边长为 a,侧棱长为 l,两条底面对角线 的长分别为 c,d,即 BD = c,AC = d,则 ? ?c ? l ? Q1 (1) ? (2) ?d ? l ? Q2 ? 1 1 ?( c)2 ? ( d )2 ? a 2 (3) ? 2 2 由(1)得 c ?
Q1 Q Q Q ,由(2)得 d ? 2 ,代入(3)得 ( 1 )2 ? ( 2 )2 ? a 2 , l l 2l 2l

学生总结,老师补充、完善

学生独立完成 1.3 第一课时 习案

固化知识 提升能力

2 2 ? 4l 2 a 2 ,∴ 2la ? Q12 ? Q2 ∴ Q12 ? Q2 .

2 ∴S 侧 = 4al ? 2 Q12 ? Q2 .

例 2 一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表 面积. 【解析】由三视图知正三棱柱的高为 2mm. 由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为 2 3 mm. 设底面边长为 a,则
3 a ? 2 3 ,∴a = 4. 2

∴正三棱柱的表面积为
1 S = S 侧 + 2S 底 = 3×4×2 + 2× ? 4 ? 2 3 2
? 24 ? 8 3 (mm ).
2

例 3 有一根长为 10cm,底面半 径是 0.5cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 8 圈, 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端, 则铁丝的最短长度为多少厘米? (精 确到 0.01cm) 【解析】如图,把圆柱表面 及缠绕其上的铁丝展开在平面上,得 到矩形 ABCD . 由题意知,BC=10cm,AB = 2 ? ? 0.5?8 ? 8? cm,点 A 与点 C 就是 铁丝的起止位置,故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度. ∴AC = 102 ? (8? )2 ? 27.05 (cm). 所以,铁丝的最短长度约为 27.05cm. 【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为平面几何问题. 探究几何体 表面上最短距离,常将几何体的表面或侧面展开,化折(曲)为直,使空间图形问题转化为 平面图形问题. 空间问题平面化,是解决立体几何问题基本的、常用的方法. 例 4.粉碎机的下料是正四棱台形如图,它的两底面边长 分别是 80mm 和 440mm,高是 200mm. 计算制造这一下料斗 所需铁板是多少? 【分析】 问题的实质是求四棱台的侧面积,欲求侧面积, 需求出斜高,可在有关的直角梯形中求出斜高. 【解析】如图所示,O、O1 是两底面积的中心,则 OO1 是高,设 EE1 是斜高,在直角梯 形 OO1 E1E 中, 图 4—3—2

EE1 = E1 F 2 ? EF 2 = OO12 ? (EO ? E1O1 )2 ∵边数 n = 4,两底边长 a = 440,a′= 80,斜高 h′=269. ∴S 正棱台侧 =
1 1 1 2 (c ? ? c) ? h ? ? n(a ? ? a) ? h ? = ? 4 ? (440 ? 80) ? 269 ? 2.8 ?105 (mm ) 2 2 2
5 2

答:制造这一下料斗约需铁板 2.8×10 mm .

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1.3 空间几何体的表面积与体积 教学设计 教案

7、作业 习题 1.3 A 组 1.3 课堂小结 课堂小结 本节课学习了柱体锥体台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。用 联系的关点看待三者之间的关系,...

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