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正余弦定理应用举例


监利一中 2016—2017 学年高三数学大一轮复习导学案

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使用时间:2016-9

专题研究

正、余弦定理应用举例

[专题要点] 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角. 在视

线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如 图①). (2)方位角. 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α (如图②). (3)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

[专题讲解] 题型一 测量距离问题 例 1 如图所示,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离,在这一岸定一基线 CD,现已测出 CD=a 和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求 AB 的长.

题型二 测量高度问题 例 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 米后,望见塔在东北方向,若沿途测 得塔顶的最大仰角为 30°,求塔高.

探究 2 本题有两处易错点:①图形中为空间关系,极易当做平面问题处理,从而致错; ②对仰角、俯角等概念理解不够深入,从而把握不准已知条件而致错. 探究 1 这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理, 在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求 解.注意:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当 思考题 1 (2014·四川理)如图所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分 别为 67°,30°,此时气球的高是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于________ m.(用四舍 五入法将结果精确到个位. 参考数据: sin67°≈0.92, cos67°≈0.39, sin37°≈0.60, cos37°≈0.80, 3≈1.73) 思考题 2 (1)在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30°,测得湖中影子的俯 角为 45°,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( ) A.2.7 m B. 17.3 m C. 37.3 m D. 373 m

(2)如图所示,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°.从 C 点测得∠MCA= 60°,已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m.

题型三 测量角度问题 例 3 如图所示,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3) 海里的两个观测点.现位于 A 点北偏东 45°, B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时, 该救援船到达 D 点需要多长时间? 应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤是: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立 一个解斜三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解; (4)检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.

探究 3 首先应明确方位角的含义,在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据 题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步可将实际问题转化成可 用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 思考题 3 如图所示,福建省福清石竹山原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了一条索 道 AC.小明在山脚 B 处看索道 AC,此时张角∠ABC=120°;从 B 处攀登 200 m 到达 D 处, 回头看索道 AC,此时张角∠ADC=150°;从 D 处再攀登 300 m 到达 C 处.则石竹山这条 索道 AC 长为________.


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