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高中数学---椭圆知识点小结


高二数学椭圆
1、椭圆的第一定义:平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) ,这
个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若 ( PF 1

? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ;若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形.

2、椭圆的标准方程
x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; 2 a b 2 y x2 2 2 2 2).当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c ? a ? b ; a b x2 y2 y2 x2 3:椭圆 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的区别和联系 a b a b
1).当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程: 标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0)

图形

焦点 焦距 范围 对称性 性质 顶点 轴长 离心率

F1 (?c,0) , F2 (c,0)

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

F1 F2 ? 2c
x ? a, y ? b
(? a,0) , (0,?b)
长轴长= 2 a ,短轴长= 2b

F1 F2 ? 2c
x ?b, y ? a
(0,? a) , (?b,0)
c (0 ? e ? 1) a

关于 x 轴、 y 轴和原点对称

e?

准线方程 焦半径

x??

a2 c

y??

a2 c

PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0

PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的简单几何性质 a2 b2 x2 y2 (1)对称性:对于椭圆标准方程 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) :是以 x 轴、 y 轴为对 a b

4、椭圆:

称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称 为椭圆的中心。 (2)范围:椭圆上所有的点都位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形内,所以 椭圆上点的坐标满足 x

? a, y ? b。

(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 A1 (?a,0) , A2 (a,0) , B1 (0,?b) , a2 b2
-1-

B2 (0, b) 。 ③线段 A1 A2 , B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2 ? 2a , B1 B2 ? 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆的
长半轴长和短半轴长。 (4)离心率:①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ? 所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。 e 越接近 1,则 c 就越接近 a ,从而 b ? 合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。
2 2

2c c ? 。②因为 (a ? c ? 0) , 2a a

a 2 ? c 2 越小,因此椭圆越扁;反之, e 越

接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,这时两个焦点重

注意:

x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 的图像中线段的几何特征(如下图): a b ( PF1 ? PF2

? 2a )

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

? e;

( PM1 ? PM 2 ?

2a 2 ) c

5、椭圆的另一个定义:到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

?e

椭圆及其标准方程
1.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为 16 25
(B)(±3, 0) (C)(0, ±5) (D)(±4, 0)

(A)(0, ±3)

x2 y 2 ? ? 1 中,下列 a, b, c 全部正确的一项是 2.在方程 100 64
(A)a=100, b=64, c=36 (B)a=10, b=6, c=8 (C)a=10, b=8, c=6 3.已知 a=4, b=1,焦点在 x 轴上的椭圆方程是 (A) (D)a=100, c=64, b=36

x2 y2 x2 y2 ? y 2 ? 1 (B) x 2 ? ? 1 (C) ? y 2 ? 1 (D) x 2 ? ?1 4 4 16 16

4.已知焦点坐标为(0, -4), (0, 4),且 a=6 的椭圆方程是

x2 y 2 ? ?1 (A) 36 20
5.若椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (C) ? ?1 (B) 20 36 36 16

x2 y 2 ? ?1 (D) 16 36

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 100 36

(A)4 (B)194 (C)94 (D)14 6.已知 F1, F2 是定点,| F1 F2|=8, 动点 M 满足|M F1|+|M F2|=8,则点 M 的轨迹是 (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 7.当 a+b=10, c=2 5 时的椭圆的标准方程是 .

2

8.已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为 2,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP’,则线段 PP’的中点 M 的轨 迹方程为 . .

9.经过点 M( 3 , -2), N(-2 3 , 1)的椭圆的标准方程是

10.椭圆的两焦点为 F1(-4, 0), F2(4, 0),点 P 在椭圆上,已知△PF1F2 的面积的最大值为 12,求此椭圆的方程。

11.在面积为 1 的△PMN 中,tan∠PMN= 程。

1 , tan∠MNP=-2, 适当建立坐标系,求以 M, N 为焦点,且过点 P 的椭圆方 2

12. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)长轴的右端点为 A, 若椭圆上存在一点 P, 使∠APO=90° , 求此椭圆的离心率的取值范围。 a2 b2

13.已知定点 A(-2,

x2 y 2 ? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M,使|AM|+2|MF|取得最小值。 3 ),F 是椭圆 ? 16 12

3

1.过点(3, -2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同焦点的椭圆的方程是 (A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ?1 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? 25 10 15 10 5 10 10 15
a 2 y =1 的一个焦点是(-2, 0),则 a= 2
(B)

2.若椭圆 a2x2-

(A)

1? 3 4

?1 ? 3 4

(C)

1? 5 4

(D)

?1 ? 5 4

3.若△ABC 顶点 B, C 的坐标分别为(-4, 0), (4, 0),AC, AB 边上的中线长之和为 30,则△ABC 的重心 G 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) (A) 100 36
4.点 P 为椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) (C) ? ? 1( x ? 0) (B) 100 84 100 36

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) (D) 100 84

x2 y 2 ? ? 1 上一点,以点 P 以及焦点 F1, F2 为顶点的三角形的面积为 1,则点 P 的坐标是 5 4

(A)(±

15 15 15 15 , 1) (B)( , ±1) (C)( , 1) (D)(± , ±1) 2 2 2 2
x 2 ? ( y ? 3) 2 =10 为不含根式的形式是(


2 2 5.化简方程 x ? ( y ? 3) ?

(A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 25 16 25 9 16 25 9 25 x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是( m?2 m?5


6.椭圆

(A)(±7, 0) (B)(0, ±7) (C)(± 7 ,0) (D)(0, ± 7 ) 7.过椭圆 4x2+2y2=1 的一个焦点 F1 的弦 AB 与另一个焦点 F2 围成的三角形△ABF2 的周长是 . .

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,F1 和 F2 是其焦点,若∠F1PF2=60° 8.P 为椭圆 ,则△F1PF2 的面积为 100 64
9.椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标为 c,则椭圆的离心率为 a2 b2
(D)不可能表示椭圆

.

10.方程 Ax2+By2=C 表示椭圆的条件是 (A)A, B 同号且 A≠B (B)A, B 同号且 C 与异号 (C)A, B, C 同号且 A≠B 11.已知椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 中,F1, F2 分别为它的两个焦点,则下列说法正确的有( 49 9

)①焦点在 x 轴上,其坐

标为(±7, 0); ② 若椭圆上有一点 P 到 F1 的距离为 10, 则 P 到 F2 的距离为 4; ③焦点在 y 轴上, 其坐标为(0, ±2 10 ); ④ a=49, b=9, c=40, (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 12.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为( (A)



3 5

(B)

1 3

2

(C)

3 4

(D)

9 10


13.若点 P 到两定点 F1(-2, 0), F2(2, 0)的距离之和为 4,则点 P 的轨迹是( (A)椭圆 (B)直线 (C)线段 (D)两点
4

x2 y2 ? ? 1,若其焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围是( 14.设椭圆的标准方程为 k ?3 5?k
(A)k>3 (B)3<k<5 (C)4<k<5 (D)3<k<4



15.若 AB 为过椭圆

x2 y2 ? ? 1 中心的弦,F(c, 0)为椭圆的右焦点,则△AFB 面积的最大值是( a2 b2



(A)b2 (B)bc (C)ab (D)ac 16.已知 A(4, 2.4)为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点,则点 A 到该椭圆的左焦点的距离是______________. 25 16

17 .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 , F2, 点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则 |PF1| 是 |PF2| 的 12 3

倍。 18 .线段 |AB|=4 , |PA|+|PB|=6, M 是 AB 的中点,当点 P 在同一平面内运动时, PM 长度的最大值、最小值分别 为 . 2 2 19.设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1, 0)是圆内一定点,Q 为圆周上任意一点,AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线的交 点为 M,则点 M 的轨迹方程为 . 20.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为 18,焦距为 6,那么椭圆的方程为( )

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? 1 (C) ? ?1或 ? ? ? 1 (B) ? ? 1 (D) ? ?1 (A) 25 16 25 16 9 16 16 25 16 25
21.已知 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点,P 到一条准线的距离为 P 到相应焦点的距离之比为( 9 16
5 4
(C)



(A)

4 5

(B)

1 4

7

(D)

4 7

7


22.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为( (A)

3 2

(B)

3 3

(C)

1 3

6

(D)

1 6

6

23. 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上取三点, 其横坐标满足 x1+x3=2x2, 三点顺次与某一焦点连接的线段长是 r1, r2, r3, 则有 ( a2 b2
(B)r1, r2, r3 成等比数列 (C)



(A)r1, r2, r3 成等差数列

1 1 1 , , 成等差数列 r1 r2 r3

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 r1 r2 r3

24.曲线

x2 y 2 x2 y2 ? ?1与 ? ? 1 (k<9)有相同的( 25 9 25 ? k 9 ? k



(A)短轴 (B)焦点 (C)准线 (D)离心率 25.椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 a, b, c,则其焦点到相应准线的距离 P 是( (A)



a2 c

(B)

b2 c

(C)

b2 a

(D)

a2 b


x2 y2 b 26.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左焦点 F 到过顶点 A(-a, 0), B(0, b)的直线的距离等于 ,则椭圆的离心率为( a b 7

5

(A)

1 2

(B)

4 5

(C)

7? 7 6

(D)

7? 7 6

27.设 F1(-c, 0), F2(c, 0)是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点,P 是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点,且∠ a2 b2
) (A)

PF1F2=5∠PF2F1,则该椭圆的离心率为(

1 3

6

(B)

3 2

(C)

2 2

(D)

2 3

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 e= ,则 k 的值等于 28.若椭圆 2 k ?8 9
29.若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成 120° 角,则该椭圆的离心率为 30.椭圆

. .

1 x2 y 2 ? ? 1 上有 n 个不同的点 P1, P2, P3,……, Pn,椭圆的右焦点为 F,数列{|PnF|}是公差大于 的等差数 100 4 3
) (A)199 (B)200 (C)198 (D)201

列,则 n 的最大值为(

31.点 P 是长轴在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点,F1, F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为 c,则|PF1|·|PF2| a2 b2
l D B P Q A F O x y

的最大值与最小值之差一定是( ) (A)1 (B)a2 (C)b2 (D)c2 32.一个圆心在椭圆右焦点 F2,且过椭圆的中心 O(0, 0),该圆与椭圆交于点 P,设 F1 是椭圆 的左焦点,直线 PF1 恰和圆相切于点 P,则椭圆的离心率是( ) (A) 3 -1 (B)2- 3 (C)

2 2

(D)

3 2

33.椭圆短轴的两端点为 B1, B2,过其左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的比例中项(O 为中 心),则

| PF1 | 等于( | OB2 |

) (A) 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

2 3

34.如图,已知椭圆中心在原点,F 是焦点,A 为顶点,准线 l 交 x 轴于点 B,点 P, Q 在椭圆上,且 PD⊥l 于 D,QF ⊥AO, 则椭圆的离心率是①

| PF | | QF | | AO | | AF | | FO | ;② ;③ ;④ ;⑤ ,其中正确的个数是 | PD | | BF | | BO | | AB | | AO |

(A)1 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 35.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1, F2 的连线的夹角为直角,则 Rt△PF1F2 的面积为 49 24

.

36.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 e 满足 0<e≤

3 ,则长轴的最大值等于 2
.

.

37.若椭圆的一个焦点分长轴为 3 : 2 的两段,则其离心率为

6


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